Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmhmfgsplit Unicode version

Theorem lmhmfgsplit 26690
 Description: If the kernel and range of a homomorphism of left modules are finitely generated, then so is the domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmhmfgsplit.z
lmhmfgsplit.k
lmhmfgsplit.u s
lmhmfgsplit.v s
Assertion
Ref Expression
lmhmfgsplit LMHom LFinGen LFinGen LFinGen

Proof of Theorem lmhmfgsplit
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 958 . . 3 LMHom LFinGen LFinGen LFinGen
2 lmhmlmod2 15999 . . . . 5 LMHom
323ad2ant1 977 . . . 4 LMHom LFinGen LFinGen
4 lmhmrnlss 16017 . . . . 5 LMHom
543ad2ant1 977 . . . 4 LMHom LFinGen LFinGen
6 lmhmfgsplit.v . . . . 5 s
7 eqid 2366 . . . . 5
8 eqid 2366 . . . . 5
96, 7, 8islssfg 26674 . . . 4 LFinGen
103, 5, 9syl2anc 642 . . 3 LMHom LFinGen LFinGen LFinGen
111, 10mpbid 201 . 2 LMHom LFinGen LFinGen
12 simpl1 959 . . . . . . 7 LMHom LFinGen LFinGen LMHom
13 eqid 2366 . . . . . . . 8
14 eqid 2366 . . . . . . . 8
1513, 14lmhmf 16001 . . . . . . 7 LMHom
16 ffn 5495 . . . . . . 7
1712, 15, 163syl 18 . . . . . 6 LMHom LFinGen LFinGen
18 elpwi 3722 . . . . . . 7
1918ad2antrl 708 . . . . . 6 LMHom LFinGen LFinGen
20 simprrl 740 . . . . . 6 LMHom LFinGen LFinGen
21 fipreima 7308 . . . . . 6
2217, 19, 20, 21syl3anc 1183 . . . . 5 LMHom LFinGen LFinGen
23 eqid 2366 . . . . . . . . . . 11
24 eqid 2366 . . . . . . . . . . 11
25 lmhmfgsplit.z . . . . . . . . . . 11
26 lmhmfgsplit.k . . . . . . . . . . 11
27 simpll1 995 . . . . . . . . . . 11 LMHom LFinGen LFinGen LMHom
28 lmhmlmod1 16000 . . . . . . . . . . . . . 14 LMHom
29283ad2ant1 977 . . . . . . . . . . . . 13 LMHom LFinGen LFinGen
3029ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12 LMHom LFinGen LFinGen
31 inss1 3477 . . . . . . . . . . . . . . 15
3231sseli 3262 . . . . . . . . . . . . . 14
33 elpwi 3722 . . . . . . . . . . . . . 14
3432, 33syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
3534ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . 12 LMHom LFinGen LFinGen
36 eqid 2366 . . . . . . . . . . . . 13
3713, 23, 36lspcl 15943 . . . . . . . . . . . 12
3830, 35, 37syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11 LMHom LFinGen LFinGen
3913, 36, 8lmhmlsp 16016 . . . . . . . . . . . . 13 LMHom
4027, 35, 39syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12 LMHom LFinGen LFinGen
41 fveq2 5632 . . . . . . . . . . . . 13
4241ad2antll 709 . . . . . . . . . . . 12 LMHom LFinGen LFinGen
43 simp2rr 1026 . . . . . . . . . . . . 13 LMHom LFinGen LFinGen
44433expa 1152 . . . . . . . . . . . 12 LMHom LFinGen LFinGen
4540, 42, 443eqtrd 2402 . . . . . . . . . . 11 LMHom LFinGen LFinGen
4623, 24, 25, 26, 13, 27, 38, 45kercvrlsm 26687 . . . . . . . . . 10 LMHom LFinGen LFinGen
4746oveq2d 5997 . . . . . . . . 9 LMHom LFinGen LFinGen s s
4813ressid 13411 . . . . . . . . . . 11 s
4929, 48syl 15 . . . . . . . . . 10 LMHom LFinGen LFinGen s
5049ad2antrr 706 . . . . . . . . 9 LMHom LFinGen LFinGen s
5147, 50eqtr2d 2399 . . . . . . . 8 LMHom LFinGen LFinGen s
52 lmhmfgsplit.u . . . . . . . . 9 s
53 eqid 2366 . . . . . . . . 9 s s
54 eqid 2366 . . . . . . . . 9 s s
5526, 25, 23lmhmkerlss 16018 . . . . . . . . . . 11 LMHom
56553ad2ant1 977 . . . . . . . . . 10 LMHom LFinGen LFinGen
5756ad2antrr 706 . . . . . . . . 9 LMHom LFinGen LFinGen
58 simpll2 996 . . . . . . . . 9 LMHom LFinGen LFinGen LFinGen
59 inss2 3478 . . . . . . . . . . . 12
6059sseli 3262 . . . . . . . . . . 11
6160ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10 LMHom LFinGen LFinGen
6236, 13, 53islssfgi 26676 . . . . . . . . . 10 s LFinGen
6330, 35, 61, 62syl3anc 1183 . . . . . . . . 9 LMHom LFinGen LFinGen s LFinGen
6423, 24, 52, 53, 54, 30, 57, 38, 58, 63lsmfgcl 26678 . . . . . . . 8 LMHom LFinGen LFinGen s LFinGen
6551, 64eqeltrd 2440 . . . . . . 7 LMHom LFinGen LFinGen LFinGen
6665expr 598 . . . . . 6 LMHom LFinGen LFinGen LFinGen
6766rexlimdva 2752 . . . . 5 LMHom LFinGen LFinGen LFinGen
6822, 67mpd 14 . . . 4 LMHom LFinGen LFinGen LFinGen
6968expr 598 . . 3 LMHom LFinGen LFinGen LFinGen
7069rexlimdva 2752 . 2 LMHom LFinGen LFinGen LFinGen
7111, 70mpd 14 1 LMHom LFinGen LFinGen LFinGen
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 935   wceq 1647   wcel 1715  wrex 2629   cin 3237   wss 3238  cpw 3714  csn 3729  ccnv 4791   crn 4793  cima 4795   wfn 5353  wf 5354  cfv 5358  (class class class)co 5981  cfn 7006  cbs 13356   ↾s cress 13357  c0g 13610  clsm 15155  clmod 15837  clss 15899  clspn 15938   LMHom clmhm 15986  LFinGenclfig 26671 This theorem is referenced by:  lmhmlnmsplit  26691 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-oadd 6625  df-er 6802  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-sca 13432  df-vsca 13433  df-0g 13614  df-mnd 14577  df-submnd 14626  df-grp 14699  df-minusg 14700  df-sbg 14701  df-subg 14828  df-ghm 14891  df-cntz 15003  df-lsm 15157  df-cmn 15301  df-abl 15302  df-mgp 15536  df-rng 15550  df-ur 15552  df-lmod 15839  df-lss 15900  df-lsp 15939  df-lmhm 15989  df-lfig 26672
 Copyright terms: Public domain W3C validator