Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmhmima Structured version   Unicode version

Theorem lmhmima 16115
 Description: The image of a subspace under a homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmhmima.x
lmhmima.y
Assertion
Ref Expression
lmhmima LMHom

Proof of Theorem lmhmima
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmghm 16099 . . . 4 LMHom
21adantr 452 . . 3 LMHom
3 lmhmlmod1 16101 . . . . 5 LMHom
43adantr 452 . . . 4 LMHom
5 simpr 448 . . . 4 LMHom
6 lmhmima.x . . . . 5
76lsssubg 16025 . . . 4 SubGrp
84, 5, 7syl2anc 643 . . 3 LMHom SubGrp
9 ghmima 15018 . . 3 SubGrp SubGrp
102, 8, 9syl2anc 643 . 2 LMHom SubGrp
11 eqid 2435 . . . . . . . . . 10
12 eqid 2435 . . . . . . . . . 10
1311, 12lmhmf 16102 . . . . . . . . 9 LMHom
1413adantr 452 . . . . . . . 8 LMHom
15 ffn 5583 . . . . . . . 8
1614, 15syl 16 . . . . . . 7 LMHom
1711, 6lssss 16005 . . . . . . . 8
185, 17syl 16 . . . . . . 7 LMHom
19 fvelimab 5774 . . . . . . 7
2016, 18, 19syl2anc 643 . . . . . 6 LMHom
2120adantr 452 . . . . 5 LMHom Scalar
22 simpll 731 . . . . . . . . . 10 LMHom Scalar LMHom
23 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Scalar Scalar
24 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Scalar Scalar
2523, 24lmhmsca 16098 . . . . . . . . . . . . . . 15 LMHom Scalar Scalar
2625adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14 LMHom Scalar Scalar
2726fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . 13 LMHom Scalar Scalar
2827eleq2d 2502 . . . . . . . . . . . 12 LMHom Scalar Scalar
2928biimpa 471 . . . . . . . . . . 11 LMHom Scalar Scalar
3029adantrr 698 . . . . . . . . . 10 LMHom Scalar Scalar
3118sselda 3340 . . . . . . . . . . 11 LMHom
3231adantrl 697 . . . . . . . . . 10 LMHom Scalar
33 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11 Scalar Scalar
34 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11
35 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11
3623, 33, 11, 34, 35lmhmlin 16103 . . . . . . . . . 10 LMHom Scalar
3722, 30, 32, 36syl3anc 1184 . . . . . . . . 9 LMHom Scalar
3822, 13, 153syl 19 . . . . . . . . . 10 LMHom Scalar
39 simplr 732 . . . . . . . . . . 11 LMHom Scalar
4039, 17syl 16 . . . . . . . . . 10 LMHom Scalar
414adantr 452 . . . . . . . . . . 11 LMHom Scalar
42 simprr 734 . . . . . . . . . . 11 LMHom Scalar
4323, 34, 33, 6lssvscl 16023 . . . . . . . . . . 11 Scalar
4441, 39, 30, 42, 43syl22anc 1185 . . . . . . . . . 10 LMHom Scalar
45 fnfvima 5968 . . . . . . . . . 10
4638, 40, 44, 45syl3anc 1184 . . . . . . . . 9 LMHom Scalar
4737, 46eqeltrrd 2510 . . . . . . . 8 LMHom Scalar
4847anassrs 630 . . . . . . 7 LMHom Scalar
49 oveq2 6081 . . . . . . . 8
5049eleq1d 2501 . . . . . . 7
5148, 50syl5ibcom 212 . . . . . 6 LMHom Scalar
5251rexlimdva 2822 . . . . 5 LMHom Scalar
5321, 52sylbid 207 . . . 4 LMHom Scalar
5453impr 603 . . 3 LMHom Scalar
5554ralrimivva 2790 . 2 LMHom Scalar
56 lmhmlmod2 16100 . . . 4 LMHom
5756adantr 452 . . 3 LMHom
58 eqid 2435 . . . 4 Scalar Scalar
59 lmhmima.y . . . 4
6024, 58, 12, 35, 59islss4 16030 . . 3 SubGrp Scalar
6157, 60syl 16 . 2 LMHom SubGrp Scalar
6210, 55, 61mpbir2and 889 1 LMHom
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  wrex 2698   wss 3312  cima 4873   wfn 5441  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  cbs 13461  Scalarcsca 13524  cvsca 13525  SubGrpcsubg 14930   cghm 14995  clmod 15942  clss 16000   LMHom clmhm 16087 This theorem is referenced by:  lmhmlsp  16117  lmhmrnlss  16118 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-subg 14933  df-ghm 14996  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-lmhm 16090
 Copyright terms: Public domain W3C validator