MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmhmlmod1 Unicode version

Theorem lmhmlmod1 15806
Description: A homomorphism of left modules has a left module as domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
lmhmlmod1  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  S  e.  LMod )

Proof of Theorem lmhmlmod1
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . . 4  |-  (Scalar `  S )  =  (Scalar `  S )
2 eqid 2296 . . . 4  |-  (Scalar `  T )  =  (Scalar `  T )
31, 2lmhmlem 15802 . . 3  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  (Scalar `  T )  =  (Scalar `  S ) ) ) )
43simpld 445 . 2  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod ) )
54simpld 445 1  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  S  e.  LMod )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   ` cfv 5271  (class class class)co 5874  Scalarcsca 13227    GrpHom cghm 14696   LModclmod 15643   LMHom clmhm 15792
This theorem is referenced by:  islmhm2  15811  lmhmco  15816  lmhmplusg  15817  lmhmvsca  15818  lmhmf1o  15819  lmhmima  15820  lmhmpreima  15821  lmhmlsp  15822  lmhmrnlss  15823  reslmhm  15825  reslmhm2  15826  reslmhm2b  15827  lmhmeql  15828  lspextmo  15829  islmim  15831  lmiclcl  15839  lmhmclm  18600  kercvrlsm  27284  lmhmfgima  27285  lmhmfgsplit  27287  lmhmlnmsplit  27288  lindfmm  27400  lindsmm  27401
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-lmhm 15795
  Copyright terms: Public domain W3C validator