MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmhmlmod2 Structured version   Unicode version

Theorem lmhmlmod2 16100
Description: A homomorphism of left modules has a left module as codomain. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
lmhmlmod2  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  T  e.  LMod )

Proof of Theorem lmhmlmod2
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . 3  |-  (Scalar `  S )  =  (Scalar `  S )
2 eqid 2435 . . 3  |-  (Scalar `  T )  =  (Scalar `  T )
31, 2lmhmlem 16097 . 2  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  (Scalar `  T )  =  (Scalar `  S ) ) ) )
4 simplr 732 . 2  |-  ( ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  (Scalar `  T )  =  (Scalar `  S )
) )  ->  T  e.  LMod )
53, 4syl 16 1  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  T  e.  LMod )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5446  (class class class)co 6073  Scalarcsca 13524    GrpHom cghm 14995   LModclmod 15942   LMHom clmhm 16087
This theorem is referenced by:  lmhmco  16111  lmhmplusg  16112  lmhmvsca  16113  lmhmf1o  16114  lmhmima  16115  lmhmpreima  16116  lmhmlsp  16117  lmhmkerlss  16119  reslmhm  16120  islmim  16126  lmicrcl  16135  lmhmclm  19103  lmhmfgima  27150  lnmepi  27151  lmhmfgsplit  27152  lmhmlnmsplit  27153  lindfmm  27265  lindsmm  27266
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-lmhm 16090
  Copyright terms: Public domain W3C validator