Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmhmlsp Structured version   Unicode version

Theorem lmhmlsp 16118
 Description: Homomorphisms preserve spans. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmhmlsp.v
lmhmlsp.k
lmhmlsp.l
Assertion
Ref Expression
lmhmlsp LMHom

Proof of Theorem lmhmlsp
StepHypRef Expression
1 lmhmlsp.v . . . . . 6
2 eqid 2436 . . . . . 6
31, 2lmhmf 16103 . . . . 5 LMHom
43adantr 452 . . . 4 LMHom
5 ffun 5586 . . . 4
64, 5syl 16 . . 3 LMHom
7 lmhmlmod1 16102 . . . . 5 LMHom
87adantr 452 . . . 4 LMHom
9 lmhmlmod2 16101 . . . . . . 7 LMHom
109adantr 452 . . . . . 6 LMHom
11 imassrn 5209 . . . . . . 7
12 frn 5590 . . . . . . . 8
134, 12syl 16 . . . . . . 7 LMHom
1411, 13syl5ss 3352 . . . . . 6 LMHom
15 eqid 2436 . . . . . . 7
16 lmhmlsp.l . . . . . . 7
172, 15, 16lspcl 16045 . . . . . 6
1810, 14, 17syl2anc 643 . . . . 5 LMHom
19 eqid 2436 . . . . . 6
2019, 15lmhmpreima 16117 . . . . 5 LMHom
2118, 20syldan 457 . . . 4 LMHom
22 incom 3526 . . . . . . 7
23 simpr 448 . . . . . . . . 9 LMHom
24 fdm 5588 . . . . . . . . . 10
254, 24syl 16 . . . . . . . . 9 LMHom
2623, 25sseqtr4d 3378 . . . . . . . 8 LMHom
27 df-ss 3327 . . . . . . . 8
2826, 27sylib 189 . . . . . . 7 LMHom
2922, 28syl5req 2481 . . . . . 6 LMHom
30 dminss 5279 . . . . . 6
3129, 30syl6eqss 3391 . . . . 5 LMHom
322, 16lspssid 16054 . . . . . . 7
3310, 14, 32syl2anc 643 . . . . . 6 LMHom
34 imass2 5233 . . . . . 6
3533, 34syl 16 . . . . 5 LMHom
3631, 35sstrd 3351 . . . 4 LMHom
37 lmhmlsp.k . . . . 5
3819, 37lspssp 16057 . . . 4
398, 21, 36, 38syl3anc 1184 . . 3 LMHom
40 funimass2 5520 . . 3
416, 39, 40syl2anc 643 . 2 LMHom
421, 19, 37lspcl 16045 . . . . 5
438, 23, 42syl2anc 643 . . . 4 LMHom
4419, 15lmhmima 16116 . . . 4 LMHom
4543, 44syldan 457 . . 3 LMHom
461, 37lspssid 16054 . . . . 5
478, 23, 46syl2anc 643 . . . 4 LMHom
48 imass2 5233 . . . 4
4947, 48syl 16 . . 3 LMHom
5015, 16lspssp 16057 . . 3
5110, 45, 49, 50syl3anc 1184 . 2 LMHom
5241, 51eqssd 3358 1 LMHom
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   cin 3312   wss 3313  ccnv 4870   cdm 4871   crn 4872  cima 4874   wfun 5441  wf 5443  cfv 5447  (class class class)co 6074  cbs 13462  clmod 15943  clss 16001  clspn 16040   LMHom clmhm 16088 This theorem is referenced by:  lmhmfgima  27151  lmhmfgsplit  27153  frlmup3  27221  lindfmm  27266  lmimlbs  27275 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-er 6898  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-nn 9994  df-2 10051  df-ndx 13465  df-slot 13466  df-base 13467  df-sets 13468  df-ress 13469  df-plusg 13535  df-0g 13720  df-mnd 14683  df-grp 14805  df-minusg 14806  df-sbg 14807  df-subg 14934  df-ghm 14997  df-mgp 15642  df-rng 15656  df-ur 15658  df-lmod 15945  df-lss 16002  df-lsp 16041  df-lmhm 16091
 Copyright terms: Public domain W3C validator