Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmhmlsp Unicode version

Theorem lmhmlsp 15822
 Description: Homomorphisms preserve spans. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmhmlsp.v
lmhmlsp.k
lmhmlsp.l
Assertion
Ref Expression
lmhmlsp LMHom

Proof of Theorem lmhmlsp
StepHypRef Expression
1 lmhmlsp.v . . . . . 6
2 eqid 2296 . . . . . 6
31, 2lmhmf 15807 . . . . 5 LMHom
43adantr 451 . . . 4 LMHom
5 ffun 5407 . . . 4
64, 5syl 15 . . 3 LMHom
7 lmhmlmod1 15806 . . . . 5 LMHom
87adantr 451 . . . 4 LMHom
9 lmhmlmod2 15805 . . . . . . 7 LMHom
109adantr 451 . . . . . 6 LMHom
11 imassrn 5041 . . . . . . 7
12 frn 5411 . . . . . . . 8
134, 12syl 15 . . . . . . 7 LMHom
1411, 13syl5ss 3203 . . . . . 6 LMHom
15 eqid 2296 . . . . . . 7
16 lmhmlsp.l . . . . . . 7
172, 15, 16lspcl 15749 . . . . . 6
1810, 14, 17syl2anc 642 . . . . 5 LMHom
19 eqid 2296 . . . . . 6
2019, 15lmhmpreima 15821 . . . . 5 LMHom
2118, 20syldan 456 . . . 4 LMHom
22 incom 3374 . . . . . . 7
23 simpr 447 . . . . . . . . 9 LMHom
24 fdm 5409 . . . . . . . . . 10
254, 24syl 15 . . . . . . . . 9 LMHom
2623, 25sseqtr4d 3228 . . . . . . . 8 LMHom
27 df-ss 3179 . . . . . . . 8
2826, 27sylib 188 . . . . . . 7 LMHom
2922, 28syl5req 2341 . . . . . 6 LMHom
30 dminss 5111 . . . . . . 7
3130a1i 10 . . . . . 6 LMHom
3229, 31eqsstrd 3225 . . . . 5 LMHom
332, 16lspssid 15758 . . . . . . 7
3410, 14, 33syl2anc 642 . . . . . 6 LMHom
35 imass2 5065 . . . . . 6
3634, 35syl 15 . . . . 5 LMHom
3732, 36sstrd 3202 . . . 4 LMHom
38 lmhmlsp.k . . . . 5
3919, 38lspssp 15761 . . . 4
408, 21, 37, 39syl3anc 1182 . . 3 LMHom
41 funimass2 5342 . . 3
426, 40, 41syl2anc 642 . 2 LMHom
431, 19, 38lspcl 15749 . . . . 5
448, 23, 43syl2anc 642 . . . 4 LMHom
4519, 15lmhmima 15820 . . . 4 LMHom
4644, 45syldan 456 . . 3 LMHom
471, 38lspssid 15758 . . . . 5
488, 23, 47syl2anc 642 . . . 4 LMHom
49 imass2 5065 . . . 4
5048, 49syl 15 . . 3 LMHom
5115, 16lspssp 15761 . . 3
5210, 46, 50, 51syl3anc 1182 . 2 LMHom
5342, 52eqssd 3209 1 LMHom
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1632   wcel 1696   cin 3164   wss 3165  ccnv 4704   cdm 4705   crn 4706  cima 4708   wfun 5265  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  cbs 13164  clmod 15643  clss 15705  clspn 15744   LMHom clmhm 15792 This theorem is referenced by:  lmhmfgima  27285  lmhmfgsplit  27287  frlmup3  27355  lindfmm  27400  lmimlbs  27409 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-subg 14634  df-ghm 14697  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-lmhm 15795
 Copyright terms: Public domain W3C validator