Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmhmplusg Structured version   Unicode version

Theorem lmhmplusg 16120
 Description: The pointwise sum of two linear functions is linear. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lmhmplusg.p
Assertion
Ref Expression
lmhmplusg LMHom LMHom LMHom

Proof of Theorem lmhmplusg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . 2
2 eqid 2436 . 2
3 eqid 2436 . 2
4 eqid 2436 . 2 Scalar Scalar
5 eqid 2436 . 2 Scalar Scalar
6 eqid 2436 . 2 Scalar Scalar
7 lmhmlmod1 16109 . . 3 LMHom
87adantr 452 . 2 LMHom LMHom
9 lmhmlmod2 16108 . . 3 LMHom
109adantr 452 . 2 LMHom LMHom
114, 5lmhmsca 16106 . . 3 LMHom Scalar Scalar
1211adantr 452 . 2 LMHom LMHom Scalar Scalar
13 lmodabl 15991 . . . 4
1410, 13syl 16 . . 3 LMHom LMHom
15 lmghm 16107 . . . 4 LMHom
1615adantr 452 . . 3 LMHom LMHom
17 lmghm 16107 . . . 4 LMHom
1817adantl 453 . . 3 LMHom LMHom
19 lmhmplusg.p . . . 4
2019ghmplusg 15461 . . 3
2114, 16, 18, 20syl3anc 1184 . 2 LMHom LMHom
22 simpll 731 . . . . . 6 LMHom LMHom Scalar LMHom
23 simprl 733 . . . . . 6 LMHom LMHom Scalar Scalar
24 simprr 734 . . . . . 6 LMHom LMHom Scalar
254, 6, 1, 2, 3lmhmlin 16111 . . . . . 6 LMHom Scalar
2622, 23, 24, 25syl3anc 1184 . . . . 5 LMHom LMHom Scalar
27 simplr 732 . . . . . 6 LMHom LMHom Scalar LMHom
284, 6, 1, 2, 3lmhmlin 16111 . . . . . 6 LMHom Scalar
2927, 23, 24, 28syl3anc 1184 . . . . 5 LMHom LMHom Scalar
3026, 29oveq12d 6099 . . . 4 LMHom LMHom Scalar
319ad2antrr 707 . . . . 5 LMHom LMHom Scalar
3211fveq2d 5732 . . . . . . 7 LMHom Scalar Scalar
3332ad2antrr 707 . . . . . 6 LMHom LMHom Scalar Scalar Scalar
3423, 33eleqtrrd 2513 . . . . 5 LMHom LMHom Scalar Scalar
35 eqid 2436 . . . . . . . 8
361, 35lmhmf 16110 . . . . . . 7 LMHom
3736ad2antrr 707 . . . . . 6 LMHom LMHom Scalar
3837, 24ffvelrnd 5871 . . . . 5 LMHom LMHom Scalar
391, 35lmhmf 16110 . . . . . . 7 LMHom
4039ad2antlr 708 . . . . . 6 LMHom LMHom Scalar
4140, 24ffvelrnd 5871 . . . . 5 LMHom LMHom Scalar
42 eqid 2436 . . . . . 6 Scalar Scalar
4335, 19, 5, 3, 42lmodvsdi 15973 . . . . 5 Scalar
4431, 34, 38, 41, 43syl13anc 1186 . . . 4 LMHom LMHom Scalar
4530, 44eqtr4d 2471 . . 3 LMHom LMHom Scalar
46 ffn 5591 . . . . 5
4737, 46syl 16 . . . 4 LMHom LMHom Scalar
48 ffn 5591 . . . . 5
4940, 48syl 16 . . . 4 LMHom LMHom Scalar
50 fvex 5742 . . . . 5
5150a1i 11 . . . 4 LMHom LMHom Scalar
527ad2antrr 707 . . . . 5 LMHom LMHom Scalar
531, 4, 2, 6lmodvscl 15967 . . . . 5 Scalar
5452, 23, 24, 53syl3anc 1184 . . . 4 LMHom LMHom Scalar
55 fnfvof 6317 . . . 4
5647, 49, 51, 54, 55syl22anc 1185 . . 3 LMHom LMHom Scalar
57 fnfvof 6317 . . . . 5
5847, 49, 51, 24, 57syl22anc 1185 . . . 4 LMHom LMHom Scalar
5958oveq2d 6097 . . 3 LMHom LMHom Scalar
6045, 56, 593eqtr4d 2478 . 2 LMHom LMHom Scalar
611, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 21, 60islmhmd 16115 1 LMHom LMHom LMHom
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2956   wfn 5449  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081   cof 6303  cbs 13469   cplusg 13529  Scalarcsca 13532  cvsca 13533   cghm 15003  cabel 15413  clmod 15950   LMHom clmhm 16095 This theorem is referenced by:  nmhmplusg  18791  mendrng  27477 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-plusg 13542  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-ghm 15004  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-lmod 15952  df-lmhm 16098
 Copyright terms: Public domain W3C validator