Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmhmplusg Unicode version

Theorem lmhmplusg 15850
 Description: The pointwise sum of two linear functions is linear. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lmhmplusg.p
Assertion
Ref Expression
lmhmplusg LMHom LMHom LMHom

Proof of Theorem lmhmplusg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2316 . 2
2 eqid 2316 . 2
3 eqid 2316 . 2
4 eqid 2316 . 2 Scalar Scalar
5 eqid 2316 . 2 Scalar Scalar
6 eqid 2316 . 2 Scalar Scalar
7 lmhmlmod1 15839 . . 3 LMHom
87adantr 451 . 2 LMHom LMHom
9 lmhmlmod2 15838 . . 3 LMHom
109adantr 451 . 2 LMHom LMHom
114, 5lmhmsca 15836 . . 3 LMHom Scalar Scalar
1211adantr 451 . 2 LMHom LMHom Scalar Scalar
13 lmodabl 15721 . . . 4
1410, 13syl 15 . . 3 LMHom LMHom
15 lmghm 15837 . . . 4 LMHom
1615adantr 451 . . 3 LMHom LMHom
17 lmghm 15837 . . . 4 LMHom
1817adantl 452 . . 3 LMHom LMHom
19 lmhmplusg.p . . . 4
2019ghmplusg 15187 . . 3
2114, 16, 18, 20syl3anc 1182 . 2 LMHom LMHom
22 simpll 730 . . . . . 6 LMHom LMHom Scalar LMHom
23 simprl 732 . . . . . 6 LMHom LMHom Scalar Scalar
24 simprr 733 . . . . . 6 LMHom LMHom Scalar
254, 6, 1, 2, 3lmhmlin 15841 . . . . . 6 LMHom Scalar
2622, 23, 24, 25syl3anc 1182 . . . . 5 LMHom LMHom Scalar
27 simplr 731 . . . . . 6 LMHom LMHom Scalar LMHom
284, 6, 1, 2, 3lmhmlin 15841 . . . . . 6 LMHom Scalar
2927, 23, 24, 28syl3anc 1182 . . . . 5 LMHom LMHom Scalar
3026, 29oveq12d 5918 . . . 4 LMHom LMHom Scalar
319ad2antrr 706 . . . . 5 LMHom LMHom Scalar
3211fveq2d 5567 . . . . . . 7 LMHom Scalar Scalar
3332ad2antrr 706 . . . . . 6 LMHom LMHom Scalar Scalar Scalar
3423, 33eleqtrrd 2393 . . . . 5 LMHom LMHom Scalar Scalar
35 eqid 2316 . . . . . . . 8
361, 35lmhmf 15840 . . . . . . 7 LMHom
3736ad2antrr 706 . . . . . 6 LMHom LMHom Scalar
38 ffvelrn 5701 . . . . . 6
3937, 24, 38syl2anc 642 . . . . 5 LMHom LMHom Scalar
401, 35lmhmf 15840 . . . . . . 7 LMHom
4140ad2antlr 707 . . . . . 6 LMHom LMHom Scalar
42 ffvelrn 5701 . . . . . 6
4341, 24, 42syl2anc 642 . . . . 5 LMHom LMHom Scalar
44 eqid 2316 . . . . . 6 Scalar Scalar
4535, 19, 5, 3, 44lmodvsdi 15699 . . . . 5 Scalar
4631, 34, 39, 43, 45syl13anc 1184 . . . 4 LMHom LMHom Scalar
4730, 46eqtr4d 2351 . . 3 LMHom LMHom Scalar
48 ffn 5427 . . . . 5
4937, 48syl 15 . . . 4 LMHom LMHom Scalar
50 ffn 5427 . . . . 5
5141, 50syl 15 . . . 4 LMHom LMHom Scalar
52 fvex 5577 . . . . 5
5352a1i 10 . . . 4 LMHom LMHom Scalar
547ad2antrr 706 . . . . 5 LMHom LMHom Scalar
551, 4, 2, 6lmodvscl 15693 . . . . 5 Scalar
5654, 23, 24, 55syl3anc 1182 . . . 4 LMHom LMHom Scalar
57 fnfvof 6132 . . . 4
5849, 51, 53, 56, 57syl22anc 1183 . . 3 LMHom LMHom Scalar
59 fnfvof 6132 . . . . 5
6049, 51, 53, 24, 59syl22anc 1183 . . . 4 LMHom LMHom Scalar
6160oveq2d 5916 . . 3 LMHom LMHom Scalar
6247, 58, 613eqtr4d 2358 . 2 LMHom LMHom Scalar
631, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 21, 62islmhmd 15845 1 LMHom LMHom LMHom
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1633   wcel 1701  cvv 2822   wfn 5287  wf 5288  cfv 5292  (class class class)co 5900   cof 6118  cbs 13195   cplusg 13255  Scalarcsca 13258  cvsca 13259   cghm 14729  cabel 15139  clmod 15676   LMHom clmhm 15825 This theorem is referenced by:  nmhmplusg  18318  mendrng  26648 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-of 6120  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-2 9849  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-plusg 13268  df-0g 13453  df-mnd 14416  df-grp 14538  df-minusg 14539  df-ghm 14730  df-cmn 15140  df-abl 15141  df-mgp 15375  df-rng 15389  df-ur 15391  df-lmod 15678  df-lmhm 15828
 Copyright terms: Public domain W3C validator