Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmhmpreima Structured version   Unicode version

Theorem lmhmpreima 16126
 Description: The inverse image of a subspace under a homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmhmima.x
lmhmima.y
Assertion
Ref Expression
lmhmpreima LMHom

Proof of Theorem lmhmpreima
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmghm 16109 . . . 4 LMHom
21adantr 453 . . 3 LMHom
3 lmhmlmod2 16110 . . . 4 LMHom
4 lmhmima.y . . . . 5
54lsssubg 16035 . . . 4 SubGrp
63, 5sylan 459 . . 3 LMHom SubGrp
7 ghmpreima 15029 . . 3 SubGrp SubGrp
82, 6, 7syl2anc 644 . 2 LMHom SubGrp
9 lmhmlmod1 16111 . . . . . 6 LMHom
109ad2antrr 708 . . . . 5 LMHom Scalar
11 simprl 734 . . . . 5 LMHom Scalar Scalar
12 cnvimass 5226 . . . . . . . 8
13 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11
14 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11
1513, 14lmhmf 16112 . . . . . . . . . 10 LMHom
1615adantr 453 . . . . . . . . 9 LMHom
17 fdm 5597 . . . . . . . . 9
1816, 17syl 16 . . . . . . . 8 LMHom
1912, 18syl5sseq 3398 . . . . . . 7 LMHom
2019sselda 3350 . . . . . 6 LMHom
2120adantrl 698 . . . . 5 LMHom Scalar
22 eqid 2438 . . . . . 6 Scalar Scalar
23 eqid 2438 . . . . . 6
24 eqid 2438 . . . . . 6 Scalar Scalar
2513, 22, 23, 24lmodvscl 15969 . . . . 5 Scalar
2610, 11, 21, 25syl3anc 1185 . . . 4 LMHom Scalar
27 simpll 732 . . . . . 6 LMHom Scalar LMHom
28 eqid 2438 . . . . . . 7
2922, 24, 13, 23, 28lmhmlin 16113 . . . . . 6 LMHom Scalar
3027, 11, 21, 29syl3anc 1185 . . . . 5 LMHom Scalar
313ad2antrr 708 . . . . . 6 LMHom Scalar
32 simplr 733 . . . . . 6 LMHom Scalar
33 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12 Scalar Scalar
3422, 33lmhmsca 16108 . . . . . . . . . . 11 LMHom Scalar Scalar
3534adantr 453 . . . . . . . . . 10 LMHom Scalar Scalar
3635fveq2d 5734 . . . . . . . . 9 LMHom Scalar Scalar
3736eleq2d 2505 . . . . . . . 8 LMHom Scalar Scalar
3837biimpar 473 . . . . . . 7 LMHom Scalar Scalar
3938adantrr 699 . . . . . 6 LMHom Scalar Scalar
40 ffun 5595 . . . . . . . . 9
4116, 40syl 16 . . . . . . . 8 LMHom
4241adantr 453 . . . . . . 7 LMHom Scalar
43 simprr 735 . . . . . . 7 LMHom Scalar
44 fvimacnvi 5846 . . . . . . 7
4542, 43, 44syl2anc 644 . . . . . 6 LMHom Scalar
46 eqid 2438 . . . . . . 7 Scalar Scalar
4733, 28, 46, 4lssvscl 16033 . . . . . 6 Scalar
4831, 32, 39, 45, 47syl22anc 1186 . . . . 5 LMHom Scalar
4930, 48eqeltrd 2512 . . . 4 LMHom Scalar
50 ffn 5593 . . . . . 6
51 elpreima 5852 . . . . . 6
5216, 50, 513syl 19 . . . . 5 LMHom
5352adantr 453 . . . 4 LMHom Scalar
5426, 49, 53mpbir2and 890 . . 3 LMHom Scalar
5554ralrimivva 2800 . 2 LMHom Scalar
569adantr 453 . . 3 LMHom
57 lmhmima.x . . . 4
5822, 24, 13, 23, 57islss4 16040 . . 3 SubGrp Scalar
5956, 58syl 16 . 2 LMHom SubGrp Scalar
608, 55, 59mpbir2and 890 1 LMHom
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  ccnv 4879   cdm 4880  cima 4883   wfun 5450   wfn 5451  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083  cbs 13471  Scalarcsca 13534  cvsca 13535  SubGrpcsubg 14940   cghm 15005  clmod 15952  clss 16010   LMHom clmhm 16097 This theorem is referenced by:  lmhmlsp  16127  lmhmkerlss  16129  lnmepi  27162 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-subg 14943  df-ghm 15006  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-lmhm 16100
 Copyright terms: Public domain W3C validator