MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmhmrnlss Structured version   Unicode version

Theorem lmhmrnlss 16116
Description: The range of a homomorphism is a submodule. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
lmhmrnlss  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  ran  F  e.  ( LSubSp `  T )
)

Proof of Theorem lmhmrnlss
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . . 4  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
2 eqid 2435 . . . 4  |-  ( Base `  T )  =  (
Base `  T )
31, 2lmhmf 16100 . . 3  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  F :
( Base `  S ) --> ( Base `  T )
)
4 ffn 5583 . . 3  |-  ( F : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
)  ->  F  Fn  ( Base `  S )
)
5 fnima 5555 . . 3  |-  ( F  Fn  ( Base `  S
)  ->  ( F " ( Base `  S
) )  =  ran  F )
63, 4, 53syl 19 . 2  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  ( F " ( Base `  S
) )  =  ran  F )
7 lmhmlmod1 16099 . . . 4  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  S  e.  LMod )
8 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  S )  =  (
LSubSp `  S )
91, 8lss1 16005 . . . 4  |-  ( S  e.  LMod  ->  ( Base `  S )  e.  (
LSubSp `  S ) )
107, 9syl 16 . . 3  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  ( Base `  S )  e.  (
LSubSp `  S ) )
11 eqid 2435 . . . 4  |-  ( LSubSp `  T )  =  (
LSubSp `  T )
128, 11lmhmima 16113 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( S LMHom 
T )  /\  ( Base `  S )  e.  ( LSubSp `  S )
)  ->  ( F " ( Base `  S
) )  e.  (
LSubSp `  T ) )
1310, 12mpdan 650 . 2  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  ( F " ( Base `  S
) )  e.  (
LSubSp `  T ) )
146, 13eqeltrrd 2510 1  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  ran  F  e.  ( LSubSp `  T )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   ran crn 4871   "cima 4873    Fn wfn 5441   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13459   LModclmod 15940   LSubSpclss 15998   LMHom clmhm 16085
This theorem is referenced by:  lmhmfgsplit  27116  lmhmlnmsplit  27117
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-2 10048  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-ress 13466  df-plusg 13532  df-0g 13717  df-mnd 14680  df-grp 14802  df-minusg 14803  df-sbg 14804  df-subg 14931  df-ghm 14994  df-mgp 15639  df-rng 15653  df-ur 15655  df-lmod 15942  df-lss 15999  df-lmhm 16088
  Copyright terms: Public domain W3C validator