Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmhmvsca Unicode version

Theorem lmhmvsca 15818
 Description: The pointwise scalar product of a linear function and a constant is linear, over a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmhmvsca.v
lmhmvsca.s
lmhmvsca.j Scalar
lmhmvsca.k
Assertion
Ref Expression
lmhmvsca LMHom LMHom

Proof of Theorem lmhmvsca
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmhmvsca.v . 2
2 eqid 2296 . 2
3 lmhmvsca.s . 2
4 eqid 2296 . 2 Scalar Scalar
5 lmhmvsca.j . 2 Scalar
6 eqid 2296 . 2 Scalar Scalar
7 lmhmlmod1 15806 . . 3 LMHom
9 lmhmlmod2 15805 . . 3 LMHom
114, 5lmhmsca 15803 . . 3 LMHom Scalar
12113ad2ant3 978 . 2 LMHom Scalar
13 fvex 5555 . . . . . . 7
141, 13eqeltri 2366 . . . . . 6
1514a1i 10 . . . . 5 LMHom
16 simpl2 959 . . . . 5 LMHom
17 eqid 2296 . . . . . . . 8
181, 17lmhmf 15807 . . . . . . 7 LMHom
19183ad2ant3 978 . . . . . 6 LMHom
20 ffvelrn 5679 . . . . . 6
2119, 20sylan 457 . . . . 5 LMHom
22 fconstmpt 4748 . . . . . 6
2322a1i 10 . . . . 5 LMHom
2419feqmptd 5591 . . . . 5 LMHom
2515, 16, 21, 23, 24offval2 6111 . . . 4 LMHom
26 eqidd 2297 . . . . 5 LMHom
27 oveq2 5882 . . . . 5
2821, 24, 26, 27fmptco 5707 . . . 4 LMHom
2925, 28eqtr4d 2331 . . 3 LMHom
30 simp2 956 . . . . 5 LMHom
31 lmhmvsca.k . . . . . 6
3217, 5, 3, 31lmodvsghm 15702 . . . . 5
3310, 30, 32syl2anc 642 . . . 4 LMHom
34 lmghm 15804 . . . . 5 LMHom
35343ad2ant3 978 . . . 4 LMHom
36 ghmco 14718 . . . 4
3733, 35, 36syl2anc 642 . . 3 LMHom
3829, 37eqeltrd 2370 . 2 LMHom
39 simpl1 958 . . . . . 6 LMHom Scalar
40 simpl2 959 . . . . . 6 LMHom Scalar
41 simprl 732 . . . . . . 7 LMHom Scalar Scalar
4212fveq2d 5545 . . . . . . . . 9 LMHom Scalar
4331, 42syl5eq 2340 . . . . . . . 8 LMHom Scalar
4443adantr 451 . . . . . . 7 LMHom Scalar Scalar
4541, 44eleqtrrd 2373 . . . . . 6 LMHom Scalar
46 eqid 2296 . . . . . . 7
4731, 46crngcom 15371 . . . . . 6
4839, 40, 45, 47syl3anc 1182 . . . . 5 LMHom Scalar
4948oveq1d 5889 . . . 4 LMHom Scalar
5010adantr 451 . . . . 5 LMHom Scalar
5119adantr 451 . . . . . 6 LMHom Scalar
52 simprr 733 . . . . . 6 LMHom Scalar
53 ffvelrn 5679 . . . . . 6
5451, 52, 53syl2anc 642 . . . . 5 LMHom Scalar
5517, 5, 3, 31, 46lmodvsass 15670 . . . . 5
5650, 40, 45, 54, 55syl13anc 1184 . . . 4 LMHom Scalar
5717, 5, 3, 31, 46lmodvsass 15670 . . . . 5
5850, 45, 40, 54, 57syl13anc 1184 . . . 4 LMHom Scalar
5949, 56, 583eqtr3d 2336 . . 3 LMHom Scalar
601, 4, 2, 6lmodvscl 15660 . . . . . 6 Scalar
61603expb 1152 . . . . 5 Scalar
628, 61sylan 457 . . . 4 LMHom Scalar
6314a1i 10 . . . . 5 LMHom Scalar
64 ffn 5405 . . . . . . 7
6519, 64syl 15 . . . . . 6 LMHom
6665adantr 451 . . . . 5 LMHom Scalar
674, 6, 1, 2, 3lmhmlin 15808 . . . . . . . 8 LMHom Scalar
68673expb 1152 . . . . . . 7 LMHom Scalar
69683ad2antl3 1119 . . . . . 6 LMHom Scalar
7069adantr 451 . . . . 5 LMHom Scalar
7163, 40, 66, 70ofc1 6116 . . . 4 LMHom Scalar
7262, 71mpdan 649 . . 3 LMHom Scalar
73 eqidd 2297 . . . . . 6 LMHom Scalar
7463, 40, 66, 73ofc1 6116 . . . . 5 LMHom Scalar
7552, 74mpdan 649 . . . 4 LMHom Scalar
7675oveq2d 5890 . . 3 LMHom Scalar
7759, 72, 763eqtr4d 2338 . 2 LMHom Scalar
781, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 38, 77islmhmd 15812 1 LMHom LMHom
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696  cvv 2801  csn 3653   cmpt 4093   cxp 4703   ccom 4709   wfn 5266  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874   cof 6092  cbs 13164  cmulr 13225  Scalarcsca 13227  cvsca 13228   cghm 14696  ccrg 15354  clmod 15643   LMHom clmhm 15792 This theorem is referenced by:  mendlmod  27604 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-grp 14505  df-ghm 14697  df-cmn 15107  df-mgp 15342  df-cring 15357  df-lmod 15645  df-lmhm 15795
 Copyright terms: Public domain W3C validator