MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmicrcl Structured version   Unicode version

Theorem lmicrcl 16174
Description: Isomorphism implies the right side is a module. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
lmicrcl  |-  ( R 
~=ph𝑚  S  ->  S  e.  LMod )

Proof of Theorem lmicrcl
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brlmic 16171 . . 3  |-  ( R 
~=ph𝑚  S 
<->  ( R LMIso  S )  =/=  (/) )
2 n0 3622 . . 3  |-  ( ( R LMIso  S )  =/=  (/) 
<->  E. f  f  e.  ( R LMIso  S ) )
31, 2bitri 242 . 2  |-  ( R 
~=ph𝑚  S 
<->  E. f  f  e.  ( R LMIso  S ) )
4 lmimlmhm 16167 . . . 4  |-  ( f  e.  ( R LMIso  S
)  ->  f  e.  ( R LMHom  S ) )
5 lmhmlmod2 16139 . . . 4  |-  ( f  e.  ( R LMHom  S
)  ->  S  e.  LMod )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( f  e.  ( R LMIso  S
)  ->  S  e.  LMod )
76exlimiv 1645 . 2  |-  ( E. f  f  e.  ( R LMIso  S )  ->  S  e.  LMod )
83, 7sylbi 189 1  |-  ( R 
~=ph𝑚  S  ->  S  e.  LMod )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4   E.wex 1551    e. wcel 1727    =/= wne 2605   (/)c0 3613   class class class wbr 4237  (class class class)co 6110   LModclmod 15981   LMHom clmhm 16126   LMIso clmim 16127    ~=ph𝑚 clmic 16128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2716  df-rex 2717  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-nul 3614  df-if 3764  df-sn 3844  df-pr 3845  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-id 4527  df-suc 4616  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-1o 6753  df-lmhm 16129  df-lmim 16130  df-lmic 16131
  Copyright terms: Public domain W3C validator