MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmicrcl Unicode version

Theorem lmicrcl 16102
Description: Isomorphism implies the right side is a module. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
lmicrcl  |-  ( R 
~=ph𝑚  S  ->  S  e.  LMod )

Proof of Theorem lmicrcl
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brlmic 16099 . . 3  |-  ( R 
~=ph𝑚  S 
<->  ( R LMIso  S )  =/=  (/) )
2 n0 3601 . . 3  |-  ( ( R LMIso  S )  =/=  (/) 
<->  E. f  f  e.  ( R LMIso  S ) )
31, 2bitri 241 . 2  |-  ( R 
~=ph𝑚  S 
<->  E. f  f  e.  ( R LMIso  S ) )
4 lmimlmhm 16095 . . . 4  |-  ( f  e.  ( R LMIso  S
)  ->  f  e.  ( R LMHom  S ) )
5 lmhmlmod2 16067 . . . 4  |-  ( f  e.  ( R LMHom  S
)  ->  S  e.  LMod )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( f  e.  ( R LMIso  S
)  ->  S  e.  LMod )
76exlimiv 1641 . 2  |-  ( E. f  f  e.  ( R LMIso  S )  ->  S  e.  LMod )
83, 7sylbi 188 1  |-  ( R 
~=ph𝑚  S  ->  S  e.  LMod )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4   E.wex 1547    e. wcel 1721    =/= wne 2571   (/)c0 3592   class class class wbr 4176  (class class class)co 6044   LModclmod 15909   LMHom clmhm 16054   LMIso clmim 16055    ~=ph𝑚 clmic 16056
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-id 4462  df-suc 4551  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-1o 6687  df-lmhm 16057  df-lmim 16058  df-lmic 16059
  Copyright terms: Public domain W3C validator