MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmicsym Unicode version

Theorem lmicsym 15825
Description: Module isomorphism is symmetric. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lmicsym  |-  ( R 
~=ph𝑚  S  ->  S  ~=ph𝑚 
R )

Proof of Theorem lmicsym
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brlmic 15821 . 2  |-  ( R 
~=ph𝑚  S 
<->  ( R LMIso  S )  =/=  (/) )
2 n0 3464 . . 3  |-  ( ( R LMIso  S )  =/=  (/) 
<->  E. f  f  e.  ( R LMIso  S ) )
3 lmimcnv 15820 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( R LMIso  S
)  ->  `' f  e.  ( S LMIso  R ) )
4 brlmici 15822 . . . . 5  |-  ( `' f  e.  ( S LMIso 
R )  ->  S  ~=ph𝑚  R )
53, 4syl 15 . . . 4  |-  ( f  e.  ( R LMIso  S
)  ->  S  ~=ph𝑚  R )
65exlimiv 1666 . . 3  |-  ( E. f  f  e.  ( R LMIso  S )  ->  S  ~=ph𝑚 
R )
72, 6sylbi 187 . 2  |-  ( ( R LMIso  S )  =/=  (/)  ->  S  ~=ph𝑚 
R )
81, 7sylbi 187 1  |-  ( R 
~=ph𝑚  S  ->  S  ~=ph𝑚 
R )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4   E.wex 1528    e. wcel 1684    =/= wne 2446   (/)c0 3455   class class class wbr 4023   `'ccnv 4688  (class class class)co 5858   LMIso clmim 15777    ~=ph𝑚 clmic 15778
This theorem is referenced by:  lmisfree  26724
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-suc 4398  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-1o 6479  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-ghm 14681  df-lmod 15629  df-lmhm 15779  df-lmim 15780  df-lmic 15781
  Copyright terms: Public domain W3C validator