Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmisfree Unicode version

Theorem lmisfree 27312
Description: A module has a basis iff it is isomorphic to a free module. In settings where isomorphic objects are not distinguished, it is common to define "free module" as any module with a basis; thus for instance lbsex 15918 might be described as "every vector space is free." (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmisfree.j  |-  J  =  (LBasis `  W )
lmisfree.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
Assertion
Ref Expression
lmisfree  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( J  =/=  (/)  <->  E. k  W  ~=ph𝑚  ( F freeLMod  k ) ) )
Distinct variable groups:    k, F    k, J    k, W

Proof of Theorem lmisfree
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3464 . . 3  |-  ( J  =/=  (/)  <->  E. j  j  e.  J )
2 vex 2791 . . . . . . . 8  |-  j  e. 
_V
32enref 6894 . . . . . . 7  |-  j  ~~  j
4 lmisfree.f . . . . . . . 8  |-  F  =  (Scalar `  W )
5 lmisfree.j . . . . . . . 8  |-  J  =  (LBasis `  W )
64, 5lbslcic 27311 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  j  e.  J  /\  j  ~~  j )  ->  W  ~=ph𝑚  ( F freeLMod  j ) )
73, 6mp3an3 1266 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  j  e.  J )  ->  W  ~=ph𝑚  ( F freeLMod  j ) )
8 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  j  ->  ( F freeLMod  k )  =  ( F freeLMod  j ) )
98breq2d 4035 . . . . . . 7  |-  ( k  =  j  ->  ( W  ~=ph𝑚  ( F freeLMod  k )  <->  W 
~=ph𝑚  ( F freeLMod  j ) ) )
102, 9spcev 2875 . . . . . 6  |-  ( W 
~=ph𝑚  ( F freeLMod  j )  ->  E. k  W  ~=ph𝑚  ( F freeLMod  k ) )
117, 10syl 15 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  j  e.  J )  ->  E. k  W  ~=ph𝑚  ( F freeLMod  k )
)
1211ex 423 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( j  e.  J  ->  E. k  W  ~=ph𝑚  ( F freeLMod  k )
) )
1312exlimdv 1664 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( E. j  j  e.  J  ->  E. k  W  ~=ph𝑚  ( F freeLMod  k ) ) )
141, 13syl5bi 208 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( J  =/=  (/)  ->  E. k  W  ~=ph𝑚  ( F freeLMod  k )
) )
15 lmicsym 15825 . . . 4  |-  ( W 
~=ph𝑚  ( F freeLMod  k )  -> 
( F freeLMod  k )  ~=ph𝑚  W )
16 lmiclcl 15823 . . . . 5  |-  ( W 
~=ph𝑚  ( F freeLMod  k )  ->  W  e.  LMod )
174lmodrng 15635 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  e. 
Ring )
18 vex 2791 . . . . . . 7  |-  k  e. 
_V
19 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( F freeLMod  k )  =  ( F freeLMod  k )
20 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( F unitVec 
k )  =  ( F unitVec  k )
21 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  (LBasis `  ( F freeLMod  k ) )  =  (LBasis `  ( F freeLMod  k ) )
2219, 20, 21frlmlbs 27249 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  Ring  /\  k  e.  _V )  ->  ran  ( F unitVec  k )  e.  (LBasis `  ( F freeLMod  k ) ) )
2317, 18, 22sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  ran  ( F unitVec  k )  e.  (LBasis `  ( F freeLMod  k )
) )
24 ne0i 3461 . . . . . 6  |-  ( ran  ( F unitVec  k )  e.  (LBasis `  ( F freeLMod  k ) )  ->  (LBasis `  ( F freeLMod  k )
)  =/=  (/) )
2523, 24syl 15 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  (LBasis `  ( F freeLMod  k ) )  =/=  (/) )
2616, 25syl 15 . . . 4  |-  ( W 
~=ph𝑚  ( F freeLMod  k )  -> 
(LBasis `  ( F freeLMod  k ) )  =/=  (/) )
2721, 5lmiclbs 27307 . . . 4  |-  ( ( F freeLMod  k )  ~=ph𝑚  W  -> 
( (LBasis `  ( F freeLMod  k ) )  =/=  (/)  ->  J  =/=  (/) ) )
2815, 26, 27sylc 56 . . 3  |-  ( W 
~=ph𝑚  ( F freeLMod  k )  ->  J  =/=  (/) )
2928exlimiv 1666 . 2  |-  ( E. k  W  ~=ph𝑚  ( F freeLMod  k )  ->  J  =/=  (/) )
3014, 29impbid1 194 1  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( J  =/=  (/)  <->  E. k  W  ~=ph𝑚  ( F freeLMod  k ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   _Vcvv 2788   (/)c0 3455   class class class wbr 4023   ran crn 4690   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ~~ cen 6860  Scalarcsca 13211   Ringcrg 15337   LModclmod 15627    ~=ph𝑚 clmic 15778  LBasisclbs 15827   freeLMod cfrlm 27212   unitVec cuvc 27213
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-prds 13348  df-pws 13350  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-ghm 14681  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-lmhm 15779  df-lmim 15780  df-lmic 15781  df-lbs 15828  df-sra 15925  df-rgmod 15926  df-nzr 16010  df-dsmm 27198  df-frlm 27214  df-uvc 27215  df-lindf 27276  df-linds 27277
  Copyright terms: Public domain W3C validator