Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmle Unicode version

Theorem lmle 18743
 Description: If the distance from each member of a converging sequence to a given point is less than or equal to a given amount, so is the convergence value. (Contributed by NM, 23-Dec-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmle.1
lmle.3
lmle.4
lmle.6
lmle.7
lmle.8
lmle.9
lmle.10
Assertion
Ref Expression
lmle
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem lmle
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmle.1 . . . 4
2 lmle.4 . . . . 5
3 lmle.3 . . . . . 6
43mopntopon 18001 . . . . 5 TopOn
52, 4syl 15 . . . 4 TopOn
6 lmle.6 . . . 4
7 lmrel 16976 . . . . 5
8 lmle.7 . . . . 5
9 releldm 4927 . . . . 5
107, 8, 9sylancr 644 . . . 4
111, 5, 6, 10lmff 17045 . . 3
12 eqid 2296 . . . . . 6
135adantr 451 . . . . . 6 TopOn
14 simprl 732 . . . . . . . 8
1514, 1syl6eleq 2386 . . . . . . 7
16 eluzelz 10254 . . . . . . 7
1715, 16syl 15 . . . . . 6
188adantr 451 . . . . . 6
19 fvres 5558 . . . . . . . . 9
2019adantl 452 . . . . . . . 8
21 simprr 733 . . . . . . . . 9
22 ffvelrn 5679 . . . . . . . . 9
2321, 22sylan 457 . . . . . . . 8
2420, 23eqeltrrd 2371 . . . . . . 7
251uztrn2 10261 . . . . . . . . 9
2614, 25sylan 457 . . . . . . . 8
27 lmle.10 . . . . . . . . 9
2827adantlr 695 . . . . . . . 8
2926, 28syldan 456 . . . . . . 7
30 oveq2 5882 . . . . . . . . 9
3130breq1d 4049 . . . . . . . 8
3231elrab 2936 . . . . . . 7
3324, 29, 32sylanbrc 645 . . . . . 6
34 lmle.8 . . . . . . . 8
35 lmle.9 . . . . . . . 8
36 eqid 2296 . . . . . . . . 9
373, 36blcld 18067 . . . . . . . 8
382, 34, 35, 37syl3anc 1182 . . . . . . 7
3938adantr 451 . . . . . 6
4012, 13, 17, 18, 33, 39lmcld 17047 . . . . 5
4140expr 598 . . . 4
4241rexlimdva 2680 . . 3
4311, 42mpd 14 . 2
44 oveq2 5882 . . . . 5
4544breq1d 4049 . . . 4
4645elrab 2936 . . 3
4746simprbi 450 . 2
4843, 47syl 15 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1632   wcel 1696  wrex 2557  crab 2560   class class class wbr 4039   cdm 4705   cres 4707   wrel 4710  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  cxr 8882   cle 8884  cz 10040  cuz 10246  cxmt 16385  cmopn 16388  TopOnctopon 16648  ccld 16769  clm 16972 This theorem is referenced by:  nvlmle  21281  minvecolem4  21475 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-lm 16975
 Copyright terms: Public domain W3C validator