Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmle Structured version   Unicode version

Theorem lmle 19256
 Description: If the distance from each member of a converging sequence to a given point is less than or equal to a given amount, so is the convergence value. (Contributed by NM, 23-Dec-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmle.1
lmle.3
lmle.4
lmle.6
lmle.7
lmle.8
lmle.9
lmle.10
Assertion
Ref Expression
lmle
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem lmle
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmle.1 . . . 4
2 lmle.4 . . . . 5
3 lmle.3 . . . . . 6
43mopntopon 18471 . . . . 5 TopOn
52, 4syl 16 . . . 4 TopOn
6 lmle.6 . . . 4
7 lmrel 17296 . . . . 5
8 lmle.7 . . . . 5
9 releldm 5104 . . . . 5
107, 8, 9sylancr 646 . . . 4
111, 5, 6, 10lmff 17367 . . 3
12 eqid 2438 . . . 4
135adantr 453 . . . 4 TopOn
14 simprl 734 . . . . . 6
1514, 1syl6eleq 2528 . . . . 5
16 eluzelz 10498 . . . . 5
1715, 16syl 16 . . . 4
188adantr 453 . . . 4
19 fvres 5747 . . . . . . 7
2019adantl 454 . . . . . 6
21 simprr 735 . . . . . . 7
2221ffvelrnda 5872 . . . . . 6
2320, 22eqeltrrd 2513 . . . . 5
241uztrn2 10505 . . . . . . 7
2514, 24sylan 459 . . . . . 6
26 lmle.10 . . . . . . 7
2726adantlr 697 . . . . . 6
2825, 27syldan 458 . . . . 5
29 oveq2 6091 . . . . . . 7
3029breq1d 4224 . . . . . 6
3130elrab 3094 . . . . 5
3223, 28, 31sylanbrc 647 . . . 4
33 lmle.8 . . . . . 6
34 lmle.9 . . . . . 6
35 eqid 2438 . . . . . . 7
363, 35blcld 18537 . . . . . 6
372, 33, 34, 36syl3anc 1185 . . . . 5
3837adantr 453 . . . 4
3912, 13, 17, 18, 32, 38lmcld 17369 . . 3
4011, 39rexlimddv 2836 . 2
41 oveq2 6091 . . . . 5
4241breq1d 4224 . . . 4
4342elrab 3094 . . 3
4443simprbi 452 . 2
4540, 44syl 16 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  crab 2711   class class class wbr 4214   cdm 4880   cres 4882   wrel 4885  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083  cxr 9121   cle 9123  cz 10284  cuz 10490  cxmt 16688  cmopn 16693  TopOnctopon 16961  ccld 17082  clm 17292 This theorem is referenced by:  nvlmle  22190  minvecolem4  22384 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-topgen 13669  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-cld 17085  df-ntr 17086  df-cls 17087  df-lm 17295
 Copyright terms: Public domain W3C validator