Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmmbr Unicode version

Theorem lmmbr 18684
 Description: Express the binary relation "sequence converges to point " in a metric space. Definition 1.4-1 of [Kreyszig] p. 25. The condition allows us to use objects more general than sequences when convenient; see the comment in df-lm 16959. (Contributed by NM, 7-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmmbr.2
lmmbr.3
Assertion
Ref Expression
lmmbr
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem lmmbr
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmmbr.3 . . . 4
2 lmmbr.2 . . . . 5
32mopntopon 17985 . . . 4 TopOn
41, 3syl 15 . . 3 TopOn
54lmbr 16988 . 2
6 rpxr 10361 . . . . . . . . . . . 12
72blopn 18046 . . . . . . . . . . . 12
86, 7syl3an3 1217 . . . . . . . . . . 11
9 blcntr 17964 . . . . . . . . . . 11
10 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . 14
11 feq3 5377 . . . . . . . . . . . . . . 15
1211rexbidv 2564 . . . . . . . . . . . . . 14
1310, 12imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . 13
1413rspcva 2882 . . . . . . . . . . . 12
1514impancom 427 . . . . . . . . . . 11
168, 9, 15syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
17163expa 1151 . . . . . . . . 9
1817adantlrl 700 . . . . . . . 8
1918impancom 427 . . . . . . 7
2019ralrimiv 2625 . . . . . 6
212mopni2 18039 . . . . . . . . . . 11
22 r19.29 2683 . . . . . . . . . . . 12
23 fss 5397 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2423expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . 15
2524reximdv 2654 . . . . . . . . . . . . . 14
2625impcom 419 . . . . . . . . . . . . 13
2726rexlimivw 2663 . . . . . . . . . . . 12
2822, 27syl 15 . . . . . . . . . . 11
2921, 28sylan2 460 . . . . . . . . . 10
30293exp2 1169 . . . . . . . . 9
3130impcom 419 . . . . . . . 8
3231adantlr 695 . . . . . . 7
3332ralrimiv 2625 . . . . . 6
3420, 33impbida 805 . . . . 5
3534pm5.32da 622 . . . 4
36 df-3an 936 . . . 4
37 df-3an 936 . . . 4
3835, 36, 373bitr4g 279 . . 3
391, 38syl 15 . 2
405, 39bitrd 244 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  wrex 2544   wss 3152   class class class wbr 4023   crn 4690   cres 4691  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858   cpm 6773  cc 8735  cxr 8866  cuz 10230  crp 10354  cxmt 16369  cbl 16371  cmopn 16372  TopOnctopon 16632  clm 16956 This theorem is referenced by:  lmmbr2  18685  lmcau  18738 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-lm 16959
 Copyright terms: Public domain W3C validator