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Theorem lmmbrf 18786
Description: Express the binary relation "sequence  F converges to point  P " in a metric space using an abitrary set of upper integers. This version of lmmbr2 18783 presupposes that  F is a function. (Contributed by NM, 20-Jul-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmmbr.2  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
lmmbr.3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
lmmbr3.5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
lmmbr3.6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
lmmbrf.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  A )
lmmbrf.8  |-  ( ph  ->  F : Z --> X )
Assertion
Ref Expression
lmmbrf  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( A D P )  <  x ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, x, D    j, F, k, x    P, j, k, x   
j, X, k, x   
x, J    j, M    ph, j, k, x    j, Z, k, x
Allowed substitution hints:    A( x, j, k)    J( j, k)    M( x, k)

Proof of Theorem lmmbrf
StepHypRef Expression
1 lmmbr.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
2 lmmbrf.8 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : Z --> X )
3 elfvdm 5634 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  e.  dom  * Met )
4 cnex 8905 . . . . . 6  |-  CC  e.  _V
53, 4jctir 524 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( X  e.  dom  * Met  /\  CC  e.  _V )
)
6 lmmbr3.5 . . . . . . 7  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
7 uzssz 10336 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
8 zsscn 10121 . . . . . . . 8  |-  ZZ  C_  CC
97, 8sstri 3264 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  CC
106, 9eqsstri 3284 . . . . . 6  |-  Z  C_  CC
1110jctr 526 . . . . 5  |-  ( F : Z --> X  -> 
( F : Z --> X  /\  Z  C_  CC ) )
12 elpm2r 6873 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  dom  * Met  /\  CC  e.  _V )  /\  ( F : Z --> X  /\  Z  C_  CC ) )  ->  F  e.  ( X  ^pm  CC )
)
135, 11, 12syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F : Z --> X )  ->  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )
141, 2, 13syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X 
^pm  CC ) )
1514biantrurd 494 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) )  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  ( P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) ) ) ) )
166uztrn2 10334 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
1716adantll 694 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  k  e.  Z )
18 lmmbrf.7 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  A )
1918oveq1d 5957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( F `  k
) D P )  =  ( A D P ) )
2019breq1d 4112 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ( F `  k ) D P )  <  x  <->  ( A D P )  <  x
) )
2120adantrl 696 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z ) )  -> 
( ( ( F `
 k ) D P )  <  x  <->  ( A D P )  <  x ) )
22 fdm 5473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : Z --> X  ->  dom  F  =  Z )
232, 22syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  F  =  Z )
2423eleq2d 2425 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( k  e.  dom  F  <-> 
k  e.  Z ) )
2524biimpar 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  dom  F )
26 ffvelrn 5743 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : Z --> X  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k
)  e.  X )
272, 26sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  X )
2825, 27jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X ) )
2928biantrurd 494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ( F `  k ) D P )  <  x  <->  ( (
k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X )  /\  ( ( F `
 k ) D P )  <  x
) ) )
30 df-3an 936 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x )  <-> 
( ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X )  /\  (
( F `  k
) D P )  <  x ) )
3129, 30syl6bbr 254 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ( F `  k ) D P )  <  x  <->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D P )  <  x ) ) )
3231adantrl 696 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z ) )  -> 
( ( ( F `
 k ) D P )  <  x  <->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) ) )
3321, 32bitr3d 246 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z ) )  -> 
( ( A D P )  <  x  <->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) ) )
3433anassrs 629 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( A D P )  <  x  <->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D P )  <  x ) ) )
3517, 34syldan 456 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( A D P )  < 
x  <->  ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D P )  <  x ) ) )
3635ralbidva 2635 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( A D P )  <  x  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) ) )
3736rexbidva 2636 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( A D P )  <  x  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) ) )
3837ralbidv 2639 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( A D P )  <  x  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) ) )
3938anbi2d 684 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( A D P )  <  x )  <-> 
( P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D P )  <  x ) ) ) )
40 lmmbr.2 . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
41 lmmbr3.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
4240, 1, 6, 41lmmbr3 18784 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D P )  <  x ) ) ) )
43 3anass 938 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) )  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  ( P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) ) ) )
4442, 43syl6bb 252 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  ( P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) ) ) ) )
4515, 39, 443bitr4rd 277 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( A D P )  <  x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619   E.wrex 2620   _Vcvv 2864    C_ wss 3228   class class class wbr 4102   dom cdm 4768   -->wf 5330   ` cfv 5334  (class class class)co 5942    ^pm cpm 6858   CCcc 8822    < clt 8954   ZZcz 10113   ZZ>=cuz 10319   RR+crp 10443   * Metcxmt 16462   MetOpencmopn 16467   ~~> tclm 17056
This theorem is referenced by:  lmnn  18787  h2hlm  21668  lmclim2  25798  heibor1lem  25856  rrncmslem  25879
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901  ax-pre-sup 8902
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-er 6744  df-map 6859  df-pm 6860  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-sup 7281  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-div 9511  df-nn 9834  df-2 9891  df-n0 10055  df-z 10114  df-uz 10320  df-q 10406  df-rp 10444  df-xneg 10541  df-xadd 10542  df-xmul 10543  df-topgen 13437  df-xmet 16469  df-bl 16471  df-mopn 16472  df-top 16736  df-bases 16738  df-topon 16739  df-lm 17059
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