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Theorem lmmbrf 19176
Description: Express the binary relation "sequence  F converges to point  P " in a metric space using an abitrary set of upper integers. This version of lmmbr2 19173 presupposes that  F is a function. (Contributed by NM, 20-Jul-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmmbr.2  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
lmmbr.3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
lmmbr3.5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
lmmbr3.6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
lmmbrf.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  A )
lmmbrf.8  |-  ( ph  ->  F : Z --> X )
Assertion
Ref Expression
lmmbrf  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( A D P )  <  x ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, x, D    j, F, k, x    P, j, k, x   
j, X, k, x   
x, J    j, M    ph, j, k, x    j, Z, k, x
Allowed substitution hints:    A( x, j, k)    J( j, k)    M( x, k)

Proof of Theorem lmmbrf
StepHypRef Expression
1 lmmbr.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
2 lmmbrf.8 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : Z --> X )
3 elfvdm 5724 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  e.  dom  * Met )
4 cnex 9035 . . . . . 6  |-  CC  e.  _V
53, 4jctir 525 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( X  e.  dom  * Met  /\  CC  e.  _V )
)
6 lmmbr3.5 . . . . . . 7  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
7 uzssz 10469 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
8 zsscn 10254 . . . . . . . 8  |-  ZZ  C_  CC
97, 8sstri 3325 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  CC
106, 9eqsstri 3346 . . . . . 6  |-  Z  C_  CC
1110jctr 527 . . . . 5  |-  ( F : Z --> X  -> 
( F : Z --> X  /\  Z  C_  CC ) )
12 elpm2r 7001 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  dom  * Met  /\  CC  e.  _V )  /\  ( F : Z --> X  /\  Z  C_  CC ) )  ->  F  e.  ( X  ^pm  CC )
)
135, 11, 12syl2an 464 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F : Z --> X )  ->  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )
141, 2, 13syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X 
^pm  CC ) )
1514biantrurd 495 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) )  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  ( P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) ) ) ) )
166uztrn2 10467 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
1716adantll 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  k  e.  Z )
18 lmmbrf.7 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  A )
1918oveq1d 6063 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( F `  k
) D P )  =  ( A D P ) )
2019breq1d 4190 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ( F `  k ) D P )  <  x  <->  ( A D P )  <  x
) )
2120adantrl 697 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z ) )  -> 
( ( ( F `
 k ) D P )  <  x  <->  ( A D P )  <  x ) )
22 fdm 5562 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : Z --> X  ->  dom  F  =  Z )
232, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  F  =  Z )
2423eleq2d 2479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( k  e.  dom  F  <-> 
k  e.  Z ) )
2524biimpar 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  dom  F )
262ffvelrnda 5837 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  X )
2725, 26jca 519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X ) )
2827biantrurd 495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ( F `  k ) D P )  <  x  <->  ( (
k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X )  /\  ( ( F `
 k ) D P )  <  x
) ) )
29 df-3an 938 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x )  <-> 
( ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X )  /\  (
( F `  k
) D P )  <  x ) )
3028, 29syl6bbr 255 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ( F `  k ) D P )  <  x  <->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D P )  <  x ) ) )
3130adantrl 697 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z ) )  -> 
( ( ( F `
 k ) D P )  <  x  <->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) ) )
3221, 31bitr3d 247 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z ) )  -> 
( ( A D P )  <  x  <->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) ) )
3332anassrs 630 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( A D P )  <  x  <->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D P )  <  x ) ) )
3417, 33syldan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( A D P )  < 
x  <->  ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D P )  <  x ) ) )
3534ralbidva 2690 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( A D P )  <  x  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) ) )
3635rexbidva 2691 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( A D P )  <  x  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) ) )
3736ralbidv 2694 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( A D P )  <  x  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) ) )
3837anbi2d 685 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( A D P )  <  x )  <-> 
( P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D P )  <  x ) ) ) )
39 lmmbr.2 . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
40 lmmbr3.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
4139, 1, 6, 40lmmbr3 19174 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D P )  <  x ) ) ) )
42 3anass 940 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) )  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  ( P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) ) ) )
4341, 42syl6bb 253 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  ( P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) ) ) ) )
4415, 38, 433bitr4rd 278 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( A D P )  <  x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2674   E.wrex 2675   _Vcvv 2924    C_ wss 3288   class class class wbr 4180   dom cdm 4845   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6048    ^pm cpm 6986   CCcc 8952    < clt 9084   ZZcz 10246   ZZ>=cuz 10452   RR+crp 10576   * Metcxmt 16649   MetOpencmopn 16654   ~~> tclm 17252
This theorem is referenced by:  lmnn  19177  h2hlm  22444  lmclim2  26362  heibor1lem  26416  rrncmslem  26439
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-map 6987  df-pm 6988  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-sup 7412  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-xneg 10674  df-xadd 10675  df-xmul 10676  df-topgen 13630  df-psmet 16657  df-xmet 16658  df-bl 16660  df-mopn 16661  df-top 16926  df-bases 16928  df-topon 16929  df-lm 17255
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