Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmnn Unicode version

Theorem lmnn 18705
 Description: A condition that implies convergence. (Contributed by NM, 8-Jun-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmnn.2
lmnn.3
lmnn.4
lmnn.5
lmnn.6
Assertion
Ref Expression
lmnn
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem lmnn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmnn.4 . 2
2 rpreccl 10393 . . . . . . . 8
32adantl 452 . . . . . . 7
43rpred 10406 . . . . . 6
53rpge0d 10410 . . . . . 6
6 flge0nn0 10964 . . . . . 6
74, 5, 6syl2anc 642 . . . . 5
8 nn0p1nn 10019 . . . . 5
97, 8syl 15 . . . 4
10 lmnn.3 . . . . . . . 8
1110ad2antrr 706 . . . . . . 7
12 lmnn.5 . . . . . . . . 9
1312ad2antrr 706 . . . . . . . 8
14 nnuz 10279 . . . . . . . . . 10
1514uztrn2 10261 . . . . . . . . 9
169, 15sylan 457 . . . . . . . 8
17 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8
1813, 16, 17syl2anc 642 . . . . . . 7
191ad2antrr 706 . . . . . . 7
20 xmetcl 17912 . . . . . . 7
2111, 18, 19, 20syl3anc 1182 . . . . . 6
2216nnrecred 9807 . . . . . . 7
2322rexrd 8897 . . . . . 6
24 rpxr 10377 . . . . . . 7
2524ad2antlr 707 . . . . . 6
26 lmnn.6 . . . . . . . 8
2726adantlr 695 . . . . . . 7
2816, 27syldan 456 . . . . . 6
294adantr 451 . . . . . . . 8
309nnred 9777 . . . . . . . . 9
3130adantr 451 . . . . . . . 8
3216nnred 9777 . . . . . . . 8
33 flltp1 10948 . . . . . . . . 9
3429, 33syl 15 . . . . . . . 8
35 eluzle 10256 . . . . . . . . 9
3635adantl 452 . . . . . . . 8
3729, 31, 32, 34, 36ltletrd 8992 . . . . . . 7
38 simplr 731 . . . . . . . 8
39 rpregt0 10383 . . . . . . . . 9
40 nnrp 10379 . . . . . . . . . 10
4140rpregt0d 10412 . . . . . . . . 9
42 ltrec1 9659 . . . . . . . . 9
4339, 41, 42syl2an 463 . . . . . . . 8
4438, 16, 43syl2anc 642 . . . . . . 7
4537, 44mpbid 201 . . . . . 6
4621, 23, 25, 28, 45xrlttrd 10506 . . . . 5
4746ralrimiva 2639 . . . 4
48 fveq2 5541 . . . . . 6
4948raleqdv 2755 . . . . 5
5049rspcev 2897 . . . 4
519, 47, 50syl2anc 642 . . 3
5251ralrimiva 2639 . 2
53 lmnn.2 . . 3
54 1z 10069 . . . 4
5554a1i 10 . . 3
56 eqidd 2297 . . 3
5753, 10, 14, 55, 56, 12lmmbrf 18704 . 2
581, 52, 57mpbir2and 888 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696  wral 2556  wrex 2557   class class class wbr 4039  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  cr 8752  cc0 8753  c1 8754   caddc 8756  cxr 8882   clt 8883   cle 8884   cdiv 9439  cn 9762  cn0 9981  cz 10040  cuz 10246  crp 10370  cfl 10940  cxmt 16385  cmopn 16388  clm 16972 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-fl 10941  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-lm 16975
 Copyright terms: Public domain W3C validator