Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmnn Structured version   Unicode version

Theorem lmnn 19208
 Description: A condition that implies convergence. (Contributed by NM, 8-Jun-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmnn.2
lmnn.3
lmnn.4
lmnn.5
lmnn.6
Assertion
Ref Expression
lmnn
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem lmnn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmnn.4 . 2
2 rpreccl 10627 . . . . . . . 8
32adantl 453 . . . . . . 7
43rpred 10640 . . . . . 6
53rpge0d 10644 . . . . . 6
6 flge0nn0 11217 . . . . . 6
74, 5, 6syl2anc 643 . . . . 5
8 nn0p1nn 10251 . . . . 5
97, 8syl 16 . . . 4
10 lmnn.3 . . . . . . . 8
1110ad2antrr 707 . . . . . . 7
12 lmnn.5 . . . . . . . . 9
1312ad2antrr 707 . . . . . . . 8
14 nnuz 10513 . . . . . . . . . 10
1514uztrn2 10495 . . . . . . . . 9
169, 15sylan 458 . . . . . . . 8
1713, 16ffvelrnd 5863 . . . . . . 7
181ad2antrr 707 . . . . . . 7
19 xmetcl 18353 . . . . . . 7
2011, 17, 18, 19syl3anc 1184 . . . . . 6
2116nnrecred 10037 . . . . . . 7
2221rexrd 9126 . . . . . 6
23 rpxr 10611 . . . . . . 7
2423ad2antlr 708 . . . . . 6
25 lmnn.6 . . . . . . . 8
2625adantlr 696 . . . . . . 7
2716, 26syldan 457 . . . . . 6
284adantr 452 . . . . . . . 8
299nnred 10007 . . . . . . . . 9
3029adantr 452 . . . . . . . 8
3116nnred 10007 . . . . . . . 8
32 flltp1 11201 . . . . . . . . 9
3328, 32syl 16 . . . . . . . 8
34 eluzle 10490 . . . . . . . . 9
3534adantl 453 . . . . . . . 8
3628, 30, 31, 33, 35ltletrd 9222 . . . . . . 7
37 simplr 732 . . . . . . . 8
38 rpregt0 10617 . . . . . . . . 9
39 nnrp 10613 . . . . . . . . . 10
4039rpregt0d 10646 . . . . . . . . 9
41 ltrec1 9889 . . . . . . . . 9
4238, 40, 41syl2an 464 . . . . . . . 8
4337, 16, 42syl2anc 643 . . . . . . 7
4436, 43mpbid 202 . . . . . 6
4520, 22, 24, 27, 44xrlttrd 10741 . . . . 5
4645ralrimiva 2781 . . . 4
47 fveq2 5720 . . . . . 6
4847raleqdv 2902 . . . . 5
4948rspcev 3044 . . . 4
509, 46, 49syl2anc 643 . . 3
5150ralrimiva 2781 . 2
52 lmnn.2 . . 3
53 1z 10303 . . . 4
5453a1i 11 . . 3
55 eqidd 2436 . . 3
5652, 10, 14, 54, 55, 12lmmbrf 19207 . 2
571, 51, 56mpbir2and 889 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  wrex 2698   class class class wbr 4204  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  cr 8981  cc0 8982  c1 8983   caddc 8985  cxr 9111   clt 9112   cle 9113   cdiv 9669  cn 9992  cn0 10213  cz 10274  cuz 10480  crp 10604  cfl 11193  cxmt 16678  cmopn 16683  clm 17282 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-fl 11194  df-topgen 13659  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-lm 17285
 Copyright terms: Public domain W3C validator