MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmod0cl Unicode version

Theorem lmod0cl 15931
Description: The ring zero in a left module belongs to the ring base set. (Contributed by NM, 11-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmod0cl.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lmod0cl.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
lmod0cl.z  |-  .0.  =  ( 0g `  F )
Assertion
Ref Expression
lmod0cl  |-  ( W  e.  LMod  ->  .0.  e.  K )

Proof of Theorem lmod0cl
StepHypRef Expression
1 lmod0cl.f . . 3  |-  F  =  (Scalar `  W )
21lmodrng 15913 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  e. 
Ring )
3 lmod0cl.k . . 3  |-  K  =  ( Base `  F
)
4 lmod0cl.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  F )
53, 4rng0cl 15640 . 2  |-  ( F  e.  Ring  ->  .0.  e.  K )
62, 5syl 16 1  |-  ( W  e.  LMod  ->  .0.  e.  K )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721   ` cfv 5413   Basecbs 13424  Scalarcsca 13487   0gc0g 13678   Ringcrg 15615   LModclmod 15905
This theorem is referenced by:  lss1d  15994  lspsolvlem  16169  iporthcom  16821  lfl0f  29552  lfl1dim  29604  lfl1dim2N  29605  lkrss2N  29652  baerlem5blem1  32192  hdmap14lem2a  32353  hdmap14lem4a  32357  hdmap14lem6  32359  hgmapval0  32378  hgmapeq0  32390
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fv 5421  df-ov 6043  df-riota 6508  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-grp 14767  df-rng 15618  df-lmod 15907
  Copyright terms: Public domain W3C validator