MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmod0vcl Unicode version

Theorem lmod0vcl 15675
Description: The zero vector is a vector. (ax-hv0cl 21599 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
0vcl.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
0vcl.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
Assertion
Ref Expression
lmod0vcl  |-  ( W  e.  LMod  ->  .0.  e.  V )

Proof of Theorem lmod0vcl
StepHypRef Expression
1 lmodgrp 15650 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
2 0vcl.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 0vcl.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
42, 3grpidcl 14526 . 2  |-  ( W  e.  Grp  ->  .0.  e.  V )
51, 4syl 15 1  |-  ( W  e.  LMod  ->  .0.  e.  V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696   ` cfv 5271   Basecbs 13164   0gc0g 13416   Grpcgrp 14378   LModclmod 15643
This theorem is referenced by:  lmodvs0  15680  lsssn0  15721  lspun0  15784  lsppr0  15861  lspsneq  15891  lspprat  15922  ip0r  16557  ocvlss  16588  nmhmcn  18617  lfl0  29877  lflmul  29880  lkrlss  29907  dochexmid  32280  lcfl8  32314  lcd0vcl  32426  mapdh6bN  32549  mapdh6cN  32550  hdmap1val0  32612  hdmap1l6b  32624  hdmap1l6c  32625  hdmapval0  32648  hdmaprnlem17N  32678  hdmap14lem13  32695  hdmaplkr  32728
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-ov 5877  df-riota 6320  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-lmod 15645
  Copyright terms: Public domain W3C validator