MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmod0vcl Unicode version

Theorem lmod0vcl 15908
Description: The zero vector is a vector. (ax-hv0cl 22356 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
0vcl.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
0vcl.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
Assertion
Ref Expression
lmod0vcl  |-  ( W  e.  LMod  ->  .0.  e.  V )

Proof of Theorem lmod0vcl
StepHypRef Expression
1 lmodgrp 15886 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
2 0vcl.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 0vcl.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
42, 3grpidcl 14762 . 2  |-  ( W  e.  Grp  ->  .0.  e.  V )
51, 4syl 16 1  |-  ( W  e.  LMod  ->  .0.  e.  V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717   ` cfv 5396   Basecbs 13398   0gc0g 13652   Grpcgrp 14614   LModclmod 15879
This theorem is referenced by:  lmodvs0  15913  lsssn0  15953  lspun0  16016  lsppr0  16093  lspsneq  16123  lspprat  16154  ip0r  16793  ocvlss  16824  nmhmcn  19001  lfl0  29182  lflmul  29185  lkrlss  29212  dochexmid  31585  lcfl8  31619  lcd0vcl  31731  mapdh6bN  31854  mapdh6cN  31855  hdmap1val0  31917  hdmap1l6b  31929  hdmap1l6c  31930  hdmapval0  31953  hdmaprnlem17N  31983  hdmap14lem13  32000  hdmaplkr  32033
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fv 5404  df-ov 6025  df-riota 6487  df-0g 13656  df-mnd 14619  df-grp 14741  df-lmod 15881
  Copyright terms: Public domain W3C validator