MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmod0vcl Structured version   Unicode version

Theorem lmod0vcl 15971
Description: The zero vector is a vector. (ax-hv0cl 22498 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
0vcl.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
0vcl.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
Assertion
Ref Expression
lmod0vcl  |-  ( W  e.  LMod  ->  .0.  e.  V )

Proof of Theorem lmod0vcl
StepHypRef Expression
1 lmodgrp 15949 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
2 0vcl.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 0vcl.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
42, 3grpidcl 14825 . 2  |-  ( W  e.  Grp  ->  .0.  e.  V )
51, 4syl 16 1  |-  ( W  e.  LMod  ->  .0.  e.  V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5446   Basecbs 13461   0gc0g 13715   Grpcgrp 14677   LModclmod 15942
This theorem is referenced by:  lmodvs0  15976  lsssn0  16016  lspun0  16079  lsppr0  16156  lspsneq  16186  lspprat  16217  ip0r  16860  ocvlss  16891  nmhmcn  19120  lfl0  29790  lflmul  29793  lkrlss  29820  dochexmid  32193  lcfl8  32227  lcd0vcl  32339  mapdh6bN  32462  mapdh6cN  32463  hdmap1val0  32525  hdmap1l6b  32537  hdmap1l6c  32538  hdmapval0  32561  hdmaprnlem17N  32591  hdmap14lem13  32608  hdmaplkr  32641
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fv 5454  df-ov 6076  df-riota 6541  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-lmod 15944
  Copyright terms: Public domain W3C validator