MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmod0vcl Unicode version

Theorem lmod0vcl 15659
Description: The zero vector is a vector. (ax-hv0cl 21583 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
0vcl.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
0vcl.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
Assertion
Ref Expression
lmod0vcl  |-  ( W  e.  LMod  ->  .0.  e.  V )

Proof of Theorem lmod0vcl
StepHypRef Expression
1 lmodgrp 15634 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
2 0vcl.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 0vcl.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
42, 3grpidcl 14510 . 2  |-  ( W  e.  Grp  ->  .0.  e.  V )
51, 4syl 15 1  |-  ( W  e.  LMod  ->  .0.  e.  V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   ` cfv 5255   Basecbs 13148   0gc0g 13400   Grpcgrp 14362   LModclmod 15627
This theorem is referenced by:  lmodvs0  15664  lsssn0  15705  lspun0  15768  lsppr0  15845  lspsneq  15875  lspprat  15906  ip0r  16541  ocvlss  16572  nmhmcn  18601  lfl0  29255  lflmul  29258  lkrlss  29285  dochexmid  31658  lcfl8  31692  lcd0vcl  31804  mapdh6bN  31927  mapdh6cN  31928  hdmap1val0  31990  hdmap1l6b  32002  hdmap1l6c  32003  hdmapval0  32026  hdmaprnlem17N  32056  hdmap14lem13  32073  hdmaplkr  32106
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-riota 6304  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-lmod 15629
  Copyright terms: Public domain W3C validator