MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmod0vlid Structured version   Unicode version

Theorem lmod0vlid 15981
Description: Left identity law for the zero vector. (hvaddid2 22526 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
0vlid.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
0vlid.a  |-  .+  =  ( +g  `  W )
0vlid.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
Assertion
Ref Expression
lmod0vlid  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  (  .0.  .+  X )  =  X )

Proof of Theorem lmod0vlid
StepHypRef Expression
1 lmodgrp 15958 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
2 0vlid.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 0vlid.a . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  W )
4 0vlid.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
52, 3, 4grplid 14836 . 2  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  V )  ->  (  .0.  .+  X
)  =  X )
61, 5sylan 459 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  (  .0.  .+  X )  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   Basecbs 13470   +g cplusg 13530   0gc0g 13724   Grpcgrp 14686   LModclmod 15951
This theorem is referenced by:  lmodvneg1  15988  lsssn0  16025  lspfixed  16201  lspexch  16202  lsmsat  29807  dochfl1  32275  baerlem5blem1  32508
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fv 5463  df-ov 6085  df-riota 6550  df-0g 13728  df-mnd 14691  df-grp 14813  df-lmod 15953
  Copyright terms: Public domain W3C validator