MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmod0vrid Unicode version

Theorem lmod0vrid 15944
Description: Right identity law for the zero vector. (ax-hvaddid 22468 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
0vlid.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
0vlid.a  |-  .+  =  ( +g  `  W )
0vlid.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
Assertion
Ref Expression
lmod0vrid  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .+  .0.  )  =  X )

Proof of Theorem lmod0vrid
StepHypRef Expression
1 lmodgrp 15920 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
2 0vlid.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 0vlid.a . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  W )
4 0vlid.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
52, 3, 4grprid 14799 . 2  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .+  .0.  )  =  X )
61, 5sylan 458 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .+  .0.  )  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   Basecbs 13432   +g cplusg 13492   0gc0g 13686   Grpcgrp 14648   LModclmod 15913
This theorem is referenced by:  lmodvneg1  15950  lssvscl  15994  lspfixed  16163  lsmcv  16176  lspsolvlem  16177  lspsolv  16178  lfl0  29560  lflmul  29563  lshpkrlem1  29605  lclkrlem2j  32011  lcfrlem7  32043  mapdh6dN  32234  hdmap1l6d  32309
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fv 5429  df-ov 6051  df-riota 6516  df-0g 13690  df-mnd 14653  df-grp 14775  df-lmod 15915
  Copyright terms: Public domain W3C validator