MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodabl Unicode version

Theorem lmodabl 15919
Description: A left module is an abelian group (of vectors, under addition). (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
lmodabl  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )

Proof of Theorem lmodabl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2389 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
)
2 eqidd 2389 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W ) )
3 lmodgrp 15885 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
4 eqid 2388 . . 3  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
5 eqid 2388 . . 3  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
64, 5lmodcom 15918 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  x  e.  ( Base `  W
)  /\  y  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( x
( +g  `  W ) y )  =  ( y ( +g  `  W
) x ) )
71, 2, 3, 6isabld 15353 1  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1717   ` cfv 5395   Basecbs 13397   +g cplusg 13457   Abelcabel 15341   LModclmod 15878
This theorem is referenced by:  lmodcmn  15920  lmodnegadd  15921  lmodvsubadd  15923  lmodvaddsub4  15924  lssvancl1  15949  invlmhm  16046  lmhmplusg  16048  lsmcl  16083  lspprabs  16095  pj1lmhm  16100  pj1lmhm2  16101  lvecindp  16138  lvecindp2  16139  lsmcv  16141  zlmlmod  16728  pjdm2  16862  pjf2  16865  pjfo  16866  ocvpj  16868  nlmtlm  18601  nmhmplusg  18663  clmabl  18966  minveclem2  19195  pjthlem2  19207  frlmsslsp  26918  isnumbasgrplem3  26940  lcvexchlem3  29152  lcvexchlem4  29153  lcvexchlem5  29154  lsatcvatlem  29165  lsatcvat  29166  lsatcvat3  29168  l1cvat  29171  lshpsmreu  29225  lshpkrlem5  29230  dia2dimlem5  31184  dihjatc3  31429  dihmeetlem9N  31431  dihjatcclem1  31534  dihjat  31539  lclkrlem2b  31624  baerlem3lem1  31823  baerlem5alem1  31824  baerlem5blem1  31825  baerlem3lem2  31826  baerlem5alem2  31827  baerlem5blem2  31828  hdmap1neglem1N  31944  hdmaprnlem7N  31974
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-2 9991  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-plusg 13470  df-0g 13655  df-mnd 14618  df-grp 14740  df-minusg 14741  df-cmn 15342  df-abl 15343  df-mgp 15577  df-rng 15591  df-ur 15593  df-lmod 15880
  Copyright terms: Public domain W3C validator