MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodass Unicode version

Theorem lmodass 15894
Description: Left module vector sum is associative. (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvacl.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lmodvacl.a  |-  .+  =  ( +g  `  W )
Assertion
Ref Expression
lmodass  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( ( X  .+  Y )  .+  Z )  =  ( X  .+  ( Y 
.+  Z ) ) )

Proof of Theorem lmodass
StepHypRef Expression
1 lmodgrp 15886 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
2 lmodvacl.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 lmodvacl.a . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  W )
42, 3grpass 14748 . 2  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  Z )  =  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) ) )
51, 4sylan 458 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( ( X  .+  Y )  .+  Z )  =  ( X  .+  ( Y 
.+  Z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   Basecbs 13398   +g cplusg 13458   Grpcgrp 14614   LModclmod 15879
This theorem is referenced by:  lmodvneg1  15916  lmodcom  15919  baerlem5alem1  31825  mapdh6gN  31859  mapdh6hN  31860  hdmap1l6g  31934  hdmap1l6h  31935
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-nul 4281  ax-pow 4320
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-br 4156  df-iota 5360  df-fv 5404  df-ov 6025  df-mnd 14619  df-grp 14741  df-lmod 15881
  Copyright terms: Public domain W3C validator