MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodcom Unicode version

Theorem lmodcom 15671
Description: Left module vector sum is commutative. (Contributed by Gérard Lang, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodcom.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lmodcom.a  |-  .+  =  ( +g  `  W )
Assertion
Ref Expression
lmodcom  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( Y  .+  X
) )

Proof of Theorem lmodcom
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  W  e.  LMod )
2 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
3 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
4 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)
52, 3, 4lmod1cl 15657 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
61, 5syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( 1r `  (Scalar `  W
) )  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) )
7 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  (Scalar `  W )
)  =  ( +g  `  (Scalar `  W )
)
82, 3, 7lmodacl 15638 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( 1r `  (Scalar `  W
) )  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) )  /\  ( 1r `  (Scalar `  W
) )  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) )  -> 
( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
91, 6, 6, 8syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
10 simp2 956 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  X  e.  V )
11 simp3 957 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  Y  e.  V )
12 lmodcom.v . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( Base `  W
)
13 lmodcom.a . . . . . . . . 9  |-  .+  =  ( +g  `  W )
14 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
1512, 13, 2, 14, 3lmodvsdi 15650 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) ( X  .+  Y ) )  =  ( ( ( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) X )  .+  ( ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) Y ) ) )
161, 9, 10, 11, 15syl13anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) ( X  .+  Y ) )  =  ( ( ( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) X )  .+  ( ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) Y ) ) )
1712, 13lmodvacl 15641 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .+  Y )  e.  V )
1812, 13, 2, 14, 3, 7lmodvsdir 15652 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( 1r `  (Scalar `  W ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( 1r `  (Scalar `  W ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X  .+  Y )  e.  V ) )  ->  ( ( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) ( X  .+  Y ) )  =  ( ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
) ( .s `  W ) ( X 
.+  Y ) ) 
.+  ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
) ( .s `  W ) ( X 
.+  Y ) ) ) )
191, 6, 6, 17, 18syl13anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) ( X  .+  Y ) )  =  ( ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
) ( .s `  W ) ( X 
.+  Y ) ) 
.+  ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
) ( .s `  W ) ( X 
.+  Y ) ) ) )
2016, 19eqtr3d 2317 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) X )  .+  ( ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) Y ) )  =  ( ( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W ) ( X  .+  Y
) )  .+  (
( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W ) ( X  .+  Y
) ) ) )
2112, 13, 2, 14, 3, 7lmodvsdir 15652 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( 1r `  (Scalar `  W ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( 1r `  (Scalar `  W ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  X  e.  V )
)  ->  ( (
( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) X )  =  ( ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
) ( .s `  W ) X ) 
.+  ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
) ( .s `  W ) X ) ) )
221, 6, 6, 10, 21syl13anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) X )  =  ( ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
) ( .s `  W ) X ) 
.+  ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
) ( .s `  W ) X ) ) )
2312, 2, 14, 4lmodvs1 15658 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W ) X )  =  X )
241, 10, 23syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W ) X )  =  X )
2524, 24oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W
) X )  .+  ( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W
) X ) )  =  ( X  .+  X ) )
2622, 25eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) X )  =  ( X  .+  X
) )
2712, 13, 2, 14, 3, 7lmodvsdir 15652 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( 1r `  (Scalar `  W ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( 1r `  (Scalar `  W ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) Y )  =  ( ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
) ( .s `  W ) Y ) 
.+  ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
) ( .s `  W ) Y ) ) )
281, 6, 6, 11, 27syl13anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) Y )  =  ( ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
) ( .s `  W ) Y ) 
.+  ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
) ( .s `  W ) Y ) ) )
2912, 2, 14, 4lmodvs1 15658 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W ) Y )  =  Y )
301, 11, 29syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W ) Y )  =  Y )
3130, 30oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W
) Y )  .+  ( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W
) Y ) )  =  ( Y  .+  Y ) )
3228, 31eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) Y )  =  ( Y  .+  Y
) )
3326, 32oveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) X )  .+  ( ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) Y ) )  =  ( ( X 
.+  X )  .+  ( Y  .+  Y ) ) )
3412, 2, 14, 4lmodvs1 15658 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( X  .+  Y )  e.  V )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W ) ( X  .+  Y
) )  =  ( X  .+  Y ) )
351, 17, 34syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W ) ( X  .+  Y
) )  =  ( X  .+  Y ) )
3635, 35oveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W
) ( X  .+  Y ) )  .+  ( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W
) ( X  .+  Y ) ) )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  ( X  .+  Y ) ) )
3720, 33, 363eqtr3d 2323 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( X  .+  X
)  .+  ( Y  .+  Y ) )  =  ( ( X  .+  Y )  .+  ( X  .+  Y ) ) )
3812, 13lmodvacl 15641 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .+  X )  e.  V )
391, 10, 10, 38syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .+  X )  e.  V )
4012, 13lmodass 15642 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( X  .+  X
)  e.  V  /\  Y  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( X  .+  X
)  .+  Y )  .+  Y )  =  ( ( X  .+  X
)  .+  ( Y  .+  Y ) ) )
411, 39, 11, 11, 40syl13anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( X  .+  X )  .+  Y
)  .+  Y )  =  ( ( X 
.+  X )  .+  ( Y  .+  Y ) ) )
4212, 13lmodass 15642 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( X  .+  Y
)  e.  V  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( X  .+  Y
)  .+  X )  .+  Y )  =  ( ( X  .+  Y
)  .+  ( X  .+  Y ) ) )
431, 17, 10, 11, 42syl13anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( X  .+  Y )  .+  X
)  .+  Y )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  ( X  .+  Y ) ) )
4437, 41, 433eqtr4d 2325 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( X  .+  X )  .+  Y
)  .+  Y )  =  ( ( ( X  .+  Y ) 
.+  X )  .+  Y ) )
45 lmodgrp 15634 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
461, 45syl 15 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  W  e.  Grp )
4712, 13lmodvacl 15641 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( X  .+  X )  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( X  .+  X
)  .+  Y )  e.  V )
481, 39, 11, 47syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( X  .+  X
)  .+  Y )  e.  V )
4912, 13lmodvacl 15641 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( X  .+  Y )  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  X )  e.  V )
501, 17, 10, 49syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  X )  e.  V )
5112, 13grprcan 14515 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( ( ( X 
.+  X )  .+  Y )  e.  V  /\  ( ( X  .+  Y )  .+  X
)  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( ( X  .+  X )  .+  Y
)  .+  Y )  =  ( ( ( X  .+  Y ) 
.+  X )  .+  Y )  <->  ( ( X  .+  X )  .+  Y )  =  ( ( X  .+  Y
)  .+  X )
) )
5246, 48, 50, 11, 51syl13anc 1184 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( ( X 
.+  X )  .+  Y )  .+  Y
)  =  ( ( ( X  .+  Y
)  .+  X )  .+  Y )  <->  ( ( X  .+  X )  .+  Y )  =  ( ( X  .+  Y
)  .+  X )
) )
5344, 52mpbid 201 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( X  .+  X
)  .+  Y )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  X ) )
5412, 13lmodass 15642 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( X  e.  V  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( ( X  .+  X )  .+  Y )  =  ( X  .+  ( X 
.+  Y ) ) )
551, 10, 10, 11, 54syl13anc 1184 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( X  .+  X
)  .+  Y )  =  ( X  .+  ( X  .+  Y ) ) )
5612, 13lmodass 15642 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  V )
)  ->  ( ( X  .+  Y )  .+  X )  =  ( X  .+  ( Y 
.+  X ) ) )
571, 10, 11, 10, 56syl13anc 1184 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  X )  =  ( X  .+  ( Y  .+  X ) ) )
5853, 55, 573eqtr3d 2323 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .+  ( X  .+  Y ) )  =  ( X  .+  ( Y  .+  X ) ) )
5912, 13lmodvacl 15641 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  ( Y  .+  X )  e.  V )
60593com23 1157 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( Y  .+  X )  e.  V )
6112, 13lmodlcan 15643 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( X  .+  Y
)  e.  V  /\  ( Y  .+  X )  e.  V  /\  X  e.  V ) )  -> 
( ( X  .+  ( X  .+  Y ) )  =  ( X 
.+  ( Y  .+  X ) )  <->  ( X  .+  Y )  =  ( Y  .+  X ) ) )
621, 17, 60, 10, 61syl13anc 1184 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( X  .+  ( X  .+  Y ) )  =  ( X  .+  ( Y  .+  X ) )  <->  ( X  .+  Y )  =  ( Y  .+  X ) ) )
6358, 62mpbid 201 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( Y  .+  X
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208  Scalarcsca 13211   .scvsca 13212   Grpcgrp 14362   1rcur 15339   LModclmod 15627
This theorem is referenced by:  lmodabl  15672  lssvsubcl  15701  lssvancl2  15703  lspsolv  15896  lflsub  29257  lcfrlem21  31753  lcfrlem42  31774  mapdindp4  31913
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-lmod 15629
  Copyright terms: Public domain W3C validator