MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodcom Structured version   Unicode version

Theorem lmodcom 15990
Description: Left module vector sum is commutative. (Contributed by Gérard Lang, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodcom.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lmodcom.a  |-  .+  =  ( +g  `  W )
Assertion
Ref Expression
lmodcom  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( Y  .+  X
) )

Proof of Theorem lmodcom
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  W  e.  LMod )
2 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
3 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
4 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)
52, 3, 4lmod1cl 15977 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
61, 5syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( 1r `  (Scalar `  W
) )  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) )
7 eqid 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  (Scalar `  W )
)  =  ( +g  `  (Scalar `  W )
)
82, 3, 7lmodacl 15961 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( 1r `  (Scalar `  W
) )  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) )  /\  ( 1r `  (Scalar `  W
) )  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) )  -> 
( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
91, 6, 6, 8syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
10 simp2 958 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  X  e.  V )
11 simp3 959 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  Y  e.  V )
12 lmodcom.v . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( Base `  W
)
13 lmodcom.a . . . . . . . . 9  |-  .+  =  ( +g  `  W )
14 eqid 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
1512, 13, 2, 14, 3lmodvsdi 15973 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) ( X  .+  Y ) )  =  ( ( ( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) X )  .+  ( ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) Y ) ) )
161, 9, 10, 11, 15syl13anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) ( X  .+  Y ) )  =  ( ( ( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) X )  .+  ( ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) Y ) ) )
1712, 13lmodvacl 15964 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .+  Y )  e.  V )
1812, 13, 2, 14, 3, 7lmodvsdir 15974 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( 1r `  (Scalar `  W ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( 1r `  (Scalar `  W ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X  .+  Y )  e.  V ) )  ->  ( ( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) ( X  .+  Y ) )  =  ( ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
) ( .s `  W ) ( X 
.+  Y ) ) 
.+  ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
) ( .s `  W ) ( X 
.+  Y ) ) ) )
191, 6, 6, 17, 18syl13anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) ( X  .+  Y ) )  =  ( ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
) ( .s `  W ) ( X 
.+  Y ) ) 
.+  ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
) ( .s `  W ) ( X 
.+  Y ) ) ) )
2016, 19eqtr3d 2470 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) X )  .+  ( ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) Y ) )  =  ( ( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W ) ( X  .+  Y
) )  .+  (
( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W ) ( X  .+  Y
) ) ) )
2112, 13, 2, 14, 3, 7lmodvsdir 15974 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( 1r `  (Scalar `  W ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( 1r `  (Scalar `  W ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  X  e.  V )
)  ->  ( (
( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) X )  =  ( ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
) ( .s `  W ) X ) 
.+  ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
) ( .s `  W ) X ) ) )
221, 6, 6, 10, 21syl13anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) X )  =  ( ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
) ( .s `  W ) X ) 
.+  ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
) ( .s `  W ) X ) ) )
2312, 2, 14, 4lmodvs1 15978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W ) X )  =  X )
241, 10, 23syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W ) X )  =  X )
2524, 24oveq12d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W
) X )  .+  ( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W
) X ) )  =  ( X  .+  X ) )
2622, 25eqtrd 2468 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) X )  =  ( X  .+  X
) )
2712, 13, 2, 14, 3, 7lmodvsdir 15974 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( 1r `  (Scalar `  W ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( 1r `  (Scalar `  W ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) Y )  =  ( ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
) ( .s `  W ) Y ) 
.+  ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
) ( .s `  W ) Y ) ) )
281, 6, 6, 11, 27syl13anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) Y )  =  ( ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
) ( .s `  W ) Y ) 
.+  ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
) ( .s `  W ) Y ) ) )
2912, 2, 14, 4lmodvs1 15978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W ) Y )  =  Y )
301, 11, 29syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W ) Y )  =  Y )
3130, 30oveq12d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W
) Y )  .+  ( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W
) Y ) )  =  ( Y  .+  Y ) )
3228, 31eqtrd 2468 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) Y )  =  ( Y  .+  Y
) )
3326, 32oveq12d 6099 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) X )  .+  ( ( ( 1r
`  (Scalar `  W )
) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) Y ) )  =  ( ( X 
.+  X )  .+  ( Y  .+  Y ) ) )
3412, 2, 14, 4lmodvs1 15978 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( X  .+  Y )  e.  V )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W ) ( X  .+  Y
) )  =  ( X  .+  Y ) )
351, 17, 34syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W ) ( X  .+  Y
) )  =  ( X  .+  Y ) )
3635, 35oveq12d 6099 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W
) ( X  .+  Y ) )  .+  ( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W
) ( X  .+  Y ) ) )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  ( X  .+  Y ) ) )
3720, 33, 363eqtr3d 2476 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( X  .+  X
)  .+  ( Y  .+  Y ) )  =  ( ( X  .+  Y )  .+  ( X  .+  Y ) ) )
3812, 13lmodvacl 15964 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .+  X )  e.  V )
391, 10, 10, 38syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .+  X )  e.  V )
4012, 13lmodass 15965 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( X  .+  X
)  e.  V  /\  Y  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( X  .+  X
)  .+  Y )  .+  Y )  =  ( ( X  .+  X
)  .+  ( Y  .+  Y ) ) )
411, 39, 11, 11, 40syl13anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( X  .+  X )  .+  Y
)  .+  Y )  =  ( ( X 
.+  X )  .+  ( Y  .+  Y ) ) )
4212, 13lmodass 15965 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( X  .+  Y
)  e.  V  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( X  .+  Y
)  .+  X )  .+  Y )  =  ( ( X  .+  Y
)  .+  ( X  .+  Y ) ) )
431, 17, 10, 11, 42syl13anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( X  .+  Y )  .+  X
)  .+  Y )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  ( X  .+  Y ) ) )
4437, 41, 433eqtr4d 2478 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( X  .+  X )  .+  Y
)  .+  Y )  =  ( ( ( X  .+  Y ) 
.+  X )  .+  Y ) )
45 lmodgrp 15957 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
461, 45syl 16 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  W  e.  Grp )
4712, 13lmodvacl 15964 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( X  .+  X )  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( X  .+  X
)  .+  Y )  e.  V )
481, 39, 11, 47syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( X  .+  X
)  .+  Y )  e.  V )
4912, 13lmodvacl 15964 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( X  .+  Y )  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  X )  e.  V )
501, 17, 10, 49syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  X )  e.  V )
5112, 13grprcan 14838 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( ( ( X 
.+  X )  .+  Y )  e.  V  /\  ( ( X  .+  Y )  .+  X
)  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( ( X  .+  X )  .+  Y
)  .+  Y )  =  ( ( ( X  .+  Y ) 
.+  X )  .+  Y )  <->  ( ( X  .+  X )  .+  Y )  =  ( ( X  .+  Y
)  .+  X )
) )
5246, 48, 50, 11, 51syl13anc 1186 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( ( X 
.+  X )  .+  Y )  .+  Y
)  =  ( ( ( X  .+  Y
)  .+  X )  .+  Y )  <->  ( ( X  .+  X )  .+  Y )  =  ( ( X  .+  Y
)  .+  X )
) )
5344, 52mpbid 202 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( X  .+  X
)  .+  Y )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  X ) )
5412, 13lmodass 15965 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( X  e.  V  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( ( X  .+  X )  .+  Y )  =  ( X  .+  ( X 
.+  Y ) ) )
551, 10, 10, 11, 54syl13anc 1186 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( X  .+  X
)  .+  Y )  =  ( X  .+  ( X  .+  Y ) ) )
5612, 13lmodass 15965 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  V )
)  ->  ( ( X  .+  Y )  .+  X )  =  ( X  .+  ( Y 
.+  X ) ) )
571, 10, 11, 10, 56syl13anc 1186 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  X )  =  ( X  .+  ( Y  .+  X ) ) )
5853, 55, 573eqtr3d 2476 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .+  ( X  .+  Y ) )  =  ( X  .+  ( Y  .+  X ) ) )
5912, 13lmodvacl 15964 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  ( Y  .+  X )  e.  V )
60593com23 1159 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( Y  .+  X )  e.  V )
6112, 13lmodlcan 15966 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( X  .+  Y
)  e.  V  /\  ( Y  .+  X )  e.  V  /\  X  e.  V ) )  -> 
( ( X  .+  ( X  .+  Y ) )  =  ( X 
.+  ( Y  .+  X ) )  <->  ( X  .+  Y )  =  ( Y  .+  X ) ) )
621, 17, 60, 10, 61syl13anc 1186 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( X  .+  ( X  .+  Y ) )  =  ( X  .+  ( Y  .+  X ) )  <->  ( X  .+  Y )  =  ( Y  .+  X ) ) )
6358, 62mpbid 202 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( Y  .+  X
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469   +g cplusg 13529  Scalarcsca 13532   .scvsca 13533   Grpcgrp 14685   1rcur 15662   LModclmod 15950
This theorem is referenced by:  lmodabl  15991  lssvsubcl  16020  lssvancl2  16022  lspsolv  16215  lflsub  29865  lcfrlem21  32361  lcfrlem42  32382  mapdindp4  32521
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-plusg 13542  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-lmod 15952
  Copyright terms: Public domain W3C validator