MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodfgrp Unicode version

Theorem lmodfgrp 15914
Description: The scalar component of a left module is an additive group. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
lmodrng.1  |-  F  =  (Scalar `  W )
Assertion
Ref Expression
lmodfgrp  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  e. 
Grp )

Proof of Theorem lmodfgrp
StepHypRef Expression
1 lmodrng.1 . . 3  |-  F  =  (Scalar `  W )
21lmodrng 15913 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  e. 
Ring )
3 rnggrp 15624 . 2  |-  ( F  e.  Ring  ->  F  e. 
Grp )
42, 3syl 16 1  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  e. 
Grp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721   ` cfv 5413  Scalarcsca 13487   Grpcgrp 14640   Ringcrg 15615   LModclmod 15905
This theorem is referenced by:  lmodacl  15916  lmodsn0  15918  lmodvneg1  15942  lssvsubcl  15975  lspsnneg  16037  lvecvscan2  16139  lspexch  16156  lspsolvlem  16169  ipsubdir  16828  ipsubdi  16829  ip2eq  16839  ocvlss  16854  lsmcss  16874  clmfgrp  19049  islindf4  27176  lflmul  29551  lkrlss  29578  eqlkr  29582  lkrlsp  29585  lshpkrlem1  29593  ldualvsubval  29640  lcfrlem1  32025  lcdvsubval  32101
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-nul 4298
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-iota 5377  df-fv 5421  df-ov 6043  df-rng 15618  df-lmod 15907
  Copyright terms: Public domain W3C validator