MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodgrp Unicode version

Theorem lmodgrp 15877
Description: A left module is a group. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
lmodgrp  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )

Proof of Theorem lmodgrp
Dummy variables  r 
q  w  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2380 . . 3  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
2 eqid 2380 . . 3  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
3 eqid 2380 . . 3  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
4 eqid 2380 . . 3  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
5 eqid 2380 . . 3  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
6 eqid 2380 . . 3  |-  ( +g  `  (Scalar `  W )
)  =  ( +g  `  (Scalar `  W )
)
7 eqid 2380 . . 3  |-  ( .r
`  (Scalar `  W )
)  =  ( .r
`  (Scalar `  W )
)
8 eqid 2380 . . 3  |-  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8islmod 15874 . 2  |-  ( W  e.  LMod  <->  ( W  e. 
Grp  /\  (Scalar `  W
)  e.  Ring  /\  A. q  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) A. r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) A. x  e.  ( Base `  W ) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( r ( .s `  W ) w )  e.  ( Base `  W
)  /\  ( r
( .s `  W
) ( w ( +g  `  W ) x ) )  =  ( ( r ( .s `  W ) w ) ( +g  `  W ) ( r ( .s `  W
) x ) )  /\  ( ( q ( +g  `  (Scalar `  W ) ) r ) ( .s `  W ) w )  =  ( ( q ( .s `  W
) w ) ( +g  `  W ) ( r ( .s
`  W ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  (Scalar `  W ) ) r ) ( .s `  W ) w )  =  ( q ( .s `  W ) ( r ( .s
`  W ) w ) )  /\  (
( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W ) w )  =  w ) ) ) )
109simp1bi 972 1  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2642   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   Basecbs 13389   +g cplusg 13449   .rcmulr 13450  Scalarcsca 13452   .scvsca 13453   Grpcgrp 14605   Ringcrg 15580   1rcur 15582   LModclmod 15870
This theorem is referenced by:  lmodbn0  15880  lmodvacl  15884  lmodass  15885  lmodlcan  15886  lmod0vcl  15899  lmod0vlid  15900  lmod0vrid  15901  lmod0vid  15902  lmodvnegcl  15905  lmodvnegid  15906  lmodvsubcl  15909  lmodcom  15910  lmodabl  15911  lmodvpncan  15917  lmodvnpcan  15918  lmodsubeq0  15923  lmodsubid  15924  lmodvsghm  15925  lmodprop2d  15926  lsssubg  15953  islss3  15955  lssacs  15963  prdslmodd  15965  lspsnneg  16002  lspsnsub  16003  lmodindp1  16010  lmodvsinv2  16033  islmhm2  16034  0lmhm  16036  idlmhm  16037  pwsdiaglmhm  16053  lspexch  16121  lspsolvlem  16134  mplind  16482  ip0l  16783  ipsubdir  16789  ipsubdi  16790  ip2eq  16800  lsmcss  16835  tlmtgp  18139  clmgrp  18957  cphtchnm  19052  ipcau2  19055  tchcphlem1  19056  tchcph  19058  pjthlem2  19199  kercvrlsm  26843  pwssplit3  26852  pwssplit4  26853  pwslnmlem2  26857  dsmmlss  26872  frlm0  26884  frlmup1  26912  islindf4  26970  matrng  27142  mendrng  27162  lclkrlem2m  31685  mapdpglem14  31851  baerlem3lem1  31873  baerlem5amN  31882  baerlem5bmN  31883  baerlem5abmN  31884  mapdh6bN  31903  mapdh6cN  31904  hdmap1l6b  31978  hdmap1l6c  31979  hdmap1neglem1N  31994  hdmap11  32017
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-nul 4272
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-br 4147  df-iota 5351  df-fv 5395  df-ov 6016  df-lmod 15872
  Copyright terms: Public domain W3C validator