MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodindp1 Unicode version

Theorem lmodindp1 15771
Description: Two independent (non-colinear) vectors have nonzero sum. (Contributed by NM, 22-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodindp1.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lmodindp1.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lmodindp1.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lmodindp1.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lmodindp1.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lmodindp1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lmodindp1.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lmodindp1.q  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
Assertion
Ref Expression
lmodindp1  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  =/=  .0.  )

Proof of Theorem lmodindp1
StepHypRef Expression
1 lmodindp1.q . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
2 lmodindp1.w . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
3 lmodindp1.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
4 lmodindp1.v . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( Base `  W
)
5 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( inv g `  W )  =  ( inv g `  W )
6 lmodindp1.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( LSpan `  W )
74, 5, 6lspsnneg 15763 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { (
( inv g `  W ) `  X
) } )  =  ( N `  { X } ) )
82, 3, 7syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( ( inv g `  W ) `  X
) } )  =  ( N `  { X } ) )
98eqcomd 2288 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { ( ( inv g `  W ) `  X
) } ) )
109adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  =  .0.  )  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { ( ( inv g `  W ) `
 X ) } ) )
11 lmodgrp 15634 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
122, 11syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  Grp )
13 lmodindp1.y . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
14 lmodindp1.p . . . . . . . . . 10  |-  .+  =  ( +g  `  W )
15 lmodindp1.o . . . . . . . . . 10  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
164, 14, 15, 5grpinvid1 14530 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( ( ( inv g `  W ) `
 X )  =  Y  <->  ( X  .+  Y )  =  .0.  ) )
1712, 3, 13, 16syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( inv g `  W ) `
 X )  =  Y  <->  ( X  .+  Y )  =  .0.  ) )
1817biimpar 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  =  .0.  )  ->  ( ( inv g `  W ) `
 X )  =  Y )
1918sneqd 3653 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  =  .0.  )  ->  { (
( inv g `  W ) `  X
) }  =  { Y } )
2019fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  =  .0.  )  ->  ( N `  { ( ( inv g `  W ) `
 X ) } )  =  ( N `
 { Y }
) )
2110, 20eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  .+  Y )  =  .0.  )  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )
2221ex 423 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  .+  Y )  =  .0. 
->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) ) )
2322necon3d 2484 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } )  ->  ( X  .+  Y )  =/= 
.0.  ) )
241, 23mpd 14 1  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  =/=  .0.  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   {csn 3640   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   0gc0g 13400   Grpcgrp 14362   inv gcminusg 14363   LModclmod 15627   LSpanclspn 15728
This theorem is referenced by:  lcfrlem17  31749  mapdh6aN  31925  mapdh6eN  31930  hdmap1l6a  32000  hdmap1l6e  32005  hdmaprnlem3eN  32051
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729
  Copyright terms: Public domain W3C validator