MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodnegadd Unicode version

Theorem lmodnegadd 15690
Description: Distribute negation through addition of scalar products. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodnegadd.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lmodnegadd.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lmodnegadd.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lmodnegadd.n  |-  N  =  ( inv g `  W )
lmodnegadd.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
lmodnegadd.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
lmodnegadd.i  |-  I  =  ( inv g `  R )
lmodnegadd.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lmodnegadd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
lmodnegadd.b  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
lmodnegadd.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lmodnegadd.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lmodnegadd  |-  ( ph  ->  ( N `  (
( A  .x.  X
)  .+  ( B  .x.  Y ) ) )  =  ( ( ( I `  A ) 
.x.  X )  .+  ( ( I `  B )  .x.  Y
) ) )

Proof of Theorem lmodnegadd
StepHypRef Expression
1 lmodnegadd.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 lmodabl 15688 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
31, 2syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  Abel )
4 lmodnegadd.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
5 lmodnegadd.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
6 lmodnegadd.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
7 lmodnegadd.r . . . . 5  |-  R  =  (Scalar `  W )
8 lmodnegadd.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
9 lmodnegadd.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  R
)
106, 7, 8, 9lmodvscl 15660 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( A  .x.  X )  e.  V )
111, 4, 5, 10syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  X
)  e.  V )
12 lmodnegadd.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
13 lmodnegadd.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
146, 7, 8, 9lmodvscl 15660 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  K  /\  Y  e.  V )  ->  ( B  .x.  Y )  e.  V )
151, 12, 13, 14syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  .x.  Y
)  e.  V )
16 lmodnegadd.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  W )
17 lmodnegadd.n . . . 4  |-  N  =  ( inv g `  W )
186, 16, 17ablinvadd 15127 . . 3  |-  ( ( W  e.  Abel  /\  ( A  .x.  X )  e.  V  /\  ( B 
.x.  Y )  e.  V )  ->  ( N `  ( ( A  .x.  X )  .+  ( B  .x.  Y ) ) )  =  ( ( N `  ( A  .x.  X ) ) 
.+  ( N `  ( B  .x.  Y ) ) ) )
193, 11, 15, 18syl3anc 1182 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  (
( A  .x.  X
)  .+  ( B  .x.  Y ) ) )  =  ( ( N `
 ( A  .x.  X ) )  .+  ( N `  ( B 
.x.  Y ) ) ) )
20 lmodnegadd.i . . . 4  |-  I  =  ( inv g `  R )
216, 7, 8, 17, 9, 20, 1, 5, 4lmodvsneg 15685 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  ( A  .x.  X ) )  =  ( ( I `
 A )  .x.  X ) )
226, 7, 8, 17, 9, 20, 1, 13, 12lmodvsneg 15685 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  ( B  .x.  Y ) )  =  ( ( I `
 B )  .x.  Y ) )
2321, 22oveq12d 5892 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  ( A  .x.  X ) )  .+  ( N `
 ( B  .x.  Y ) ) )  =  ( ( ( I `  A ) 
.x.  X )  .+  ( ( I `  B )  .x.  Y
) ) )
2419, 23eqtrd 2328 1  |-  ( ph  ->  ( N `  (
( A  .x.  X
)  .+  ( B  .x.  Y ) ) )  =  ( ( ( I `  A ) 
.x.  X )  .+  ( ( I `  B )  .x.  Y
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   +g cplusg 13224  Scalarcsca 13227   .scvsca 13228   inv gcminusg 14379   Abelcabel 15106   LModclmod 15643
This theorem is referenced by:  baerlem3lem1  32519
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-lmod 15645
  Copyright terms: Public domain W3C validator