MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodnegadd Structured version   Unicode version

Theorem lmodnegadd 15985
Description: Distribute negation through addition of scalar products. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodnegadd.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lmodnegadd.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lmodnegadd.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lmodnegadd.n  |-  N  =  ( inv g `  W )
lmodnegadd.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
lmodnegadd.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
lmodnegadd.i  |-  I  =  ( inv g `  R )
lmodnegadd.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lmodnegadd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
lmodnegadd.b  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
lmodnegadd.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lmodnegadd.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lmodnegadd  |-  ( ph  ->  ( N `  (
( A  .x.  X
)  .+  ( B  .x.  Y ) ) )  =  ( ( ( I `  A ) 
.x.  X )  .+  ( ( I `  B )  .x.  Y
) ) )

Proof of Theorem lmodnegadd
StepHypRef Expression
1 lmodnegadd.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 lmodabl 15983 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  Abel )
4 lmodnegadd.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
5 lmodnegadd.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
6 lmodnegadd.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
7 lmodnegadd.r . . . . 5  |-  R  =  (Scalar `  W )
8 lmodnegadd.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
9 lmodnegadd.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  R
)
106, 7, 8, 9lmodvscl 15959 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( A  .x.  X )  e.  V )
111, 4, 5, 10syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  X
)  e.  V )
12 lmodnegadd.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
13 lmodnegadd.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
146, 7, 8, 9lmodvscl 15959 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  K  /\  Y  e.  V )  ->  ( B  .x.  Y )  e.  V )
151, 12, 13, 14syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  .x.  Y
)  e.  V )
16 lmodnegadd.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  W )
17 lmodnegadd.n . . . 4  |-  N  =  ( inv g `  W )
186, 16, 17ablinvadd 15426 . . 3  |-  ( ( W  e.  Abel  /\  ( A  .x.  X )  e.  V  /\  ( B 
.x.  Y )  e.  V )  ->  ( N `  ( ( A  .x.  X )  .+  ( B  .x.  Y ) ) )  =  ( ( N `  ( A  .x.  X ) ) 
.+  ( N `  ( B  .x.  Y ) ) ) )
193, 11, 15, 18syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  (
( A  .x.  X
)  .+  ( B  .x.  Y ) ) )  =  ( ( N `
 ( A  .x.  X ) )  .+  ( N `  ( B 
.x.  Y ) ) ) )
20 lmodnegadd.i . . . 4  |-  I  =  ( inv g `  R )
216, 7, 8, 17, 9, 20, 1, 5, 4lmodvsneg 15980 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  ( A  .x.  X ) )  =  ( ( I `
 A )  .x.  X ) )
226, 7, 8, 17, 9, 20, 1, 13, 12lmodvsneg 15980 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  ( B  .x.  Y ) )  =  ( ( I `
 B )  .x.  Y ) )
2321, 22oveq12d 6091 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  ( A  .x.  X ) )  .+  ( N `
 ( B  .x.  Y ) ) )  =  ( ( ( I `  A ) 
.x.  X )  .+  ( ( I `  B )  .x.  Y
) ) )
2419, 23eqtrd 2467 1  |-  ( ph  ->  ( N `  (
( A  .x.  X
)  .+  ( B  .x.  Y ) ) )  =  ( ( ( I `  A ) 
.x.  X )  .+  ( ( I `  B )  .x.  Y
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   +g cplusg 13521  Scalarcsca 13524   .scvsca 13525   inv gcminusg 14678   Abelcabel 15405   LModclmod 15942
This theorem is referenced by:  baerlem3lem1  32442
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-plusg 13534  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-lmod 15944
  Copyright terms: Public domain W3C validator