Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodprop2d Unicode version

Theorem lmodprop2d 15687
 Description: If two structures have the same components (properties), one is a left module iff the other one is. This version of lmodpropd 15688 also breaks up the components of the scalar ring. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodprop2d.b1
lmodprop2d.b2
lmodprop2d.f Scalar
lmodprop2d.g Scalar
lmodprop2d.p1
lmodprop2d.p2
lmodprop2d.1
lmodprop2d.2
lmodprop2d.3
lmodprop2d.4
Assertion
Ref Expression
lmodprop2d
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem lmodprop2d
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmodgrp 15634 . . . 4
21a1i 10 . . 3
3 eqid 2283 . . . . . 6
4 eqid 2283 . . . . . 6
5 eqid 2283 . . . . . 6
6 lmodprop2d.f . . . . . 6 Scalar
7 eqid 2283 . . . . . 6
8 eqid 2283 . . . . . 6
9 eqid 2283 . . . . . 6
10 eqid 2283 . . . . . 6
113, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10islmod 15631 . . . . 5
1211simp2bi 971 . . . 4
1312a1i 10 . . 3
14 simplr 731 . . . . . . 7
15 simprl 732 . . . . . . . 8
16 lmodprop2d.p1 . . . . . . . . 9
1716ad2antrr 706 . . . . . . . 8
1815, 17eleqtrd 2359 . . . . . . 7
19 simprr 733 . . . . . . . 8
20 lmodprop2d.b1 . . . . . . . . 9
2120ad2antrr 706 . . . . . . . 8
2219, 21eleqtrd 2359 . . . . . . 7
233, 6, 5, 7lmodvscl 15644 . . . . . . 7
2414, 18, 22, 23syl3anc 1182 . . . . . 6
2524, 21eleqtrrd 2360 . . . . 5
2625ralrimivva 2635 . . . 4
2726ex 423 . . 3
282, 13, 273jcad 1133 . 2
29 lmodgrp 15634 . . . 4
30 lmodprop2d.b2 . . . . 5
31 lmodprop2d.1 . . . . 5
3220, 30, 31grppropd 14500 . . . 4
3329, 32syl5ibr 212 . . 3
34 eqid 2283 . . . . . 6
35 eqid 2283 . . . . . 6
36 eqid 2283 . . . . . 6
37 lmodprop2d.g . . . . . 6 Scalar
38 eqid 2283 . . . . . 6
39 eqid 2283 . . . . . 6
40 eqid 2283 . . . . . 6
41 eqid 2283 . . . . . 6
4234, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41islmod 15631 . . . . 5
4342simp2bi 971 . . . 4
44 lmodprop2d.p2 . . . . 5
45 lmodprop2d.2 . . . . 5
46 lmodprop2d.3 . . . . 5
4716, 44, 45, 46rngpropd 15372 . . . 4
4843, 47syl5ibr 212 . . 3
49 simplr 731 . . . . . . 7
50 simprl 732 . . . . . . . 8
5144ad2antrr 706 . . . . . . . 8
5250, 51eleqtrd 2359 . . . . . . 7
53 simprr 733 . . . . . . . 8
5430ad2antrr 706 . . . . . . . 8
5553, 54eleqtrd 2359 . . . . . . 7
5634, 37, 36, 38lmodvscl 15644 . . . . . . 7
5749, 52, 55, 56syl3anc 1182 . . . . . 6
58 lmodprop2d.4 . . . . . . . 8
5958adantlr 695 . . . . . . 7
6059, 54eleq12d 2351 . . . . . 6
6157, 60mpbird 223 . . . . 5
6261ralrimivva 2635 . . . 4
6362ex 423 . . 3
6433, 48, 633jcad 1133 . 2
6532adantr 451 . . . . 5
6647adantr 451 . . . . 5
67 simpll 730 . . . . . . . . . . . . 13
68 simprlr 739 . . . . . . . . . . . . 13
69 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . 13
7058proplem 13592 . . . . . . . . . . . . 13
7167, 68, 69, 70syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . 12
7271eleq1d 2349 . . . . . . . . . . 11
73 simplr1 997 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7420ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7569, 74eleqtrd 2359 . . . . . . . . . . . . . . . 16
76 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7776, 74eleqtrd 2359 . . . . . . . . . . . . . . . 16
783, 4grpcl 14495 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7973, 75, 77, 78syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15
8079, 74eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . . . . 14
8158proplem 13592 . . . . . . . . . . . . . 14
8267, 68, 80, 81syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . 13
8331proplem 13592 . . . . . . . . . . . . . . 15
8467, 69, 76, 83syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . 14
8584oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13
8682, 85eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12
87 simplr3 999 . . . . . . . . . . . . . . 15
88 proplem2 13591 . . . . . . . . . . . . . . 15
8968, 69, 87, 88syl21anc 1181 . . . . . . . . . . . . . 14
90 proplem2 13591 . . . . . . . . . . . . . . 15
9168, 76, 87, 90syl21anc 1181 . . . . . . . . . . . . . 14
9231proplem 13592 . . . . . . . . . . . . . 14
9367, 89, 91, 92syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . 13
9458proplem 13592 . . . . . . . . . . . . . . 15
9567, 68, 76, 94syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . 14
9671, 95oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . 13
9793, 96eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12
9886, 97eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . 11
99 simplr2 998 . . . . . . . . . . . . . . . 16
100 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10116ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
102100, 101eleqtrd 2359 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10368, 101eleqtrd 2359 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1047, 8rngacl 15368 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10599, 102, 103, 104syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15
106105, 101eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . . . . 14
10758proplem 13592 . . . . . . . . . . . . . 14
10867, 106, 69, 107syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . 13
10945proplem 13592 . . . . . . . . . . . . . . 15
110109ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . . . 14
111110oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . 13
112108, 111eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12
113 proplem2 13591 . . . . . . . . . . . . . . 15
114100, 69, 87, 113syl21anc 1181 . . . . . . . . . . . . . 14
11531proplem 13592 . . . . . . . . . . . . . 14
11667, 114, 89, 115syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . 13
11758proplem 13592 . . . . . . . . . . . . . . 15
11867, 100, 69, 117syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . 14
119118, 71oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . 13
120116, 119eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12
121112, 120eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . 11
12272, 98, 1213anbi123d 1252 . . . . . . . . . 10
1237, 9rngcl 15354 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12499, 102, 103, 123syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15
125124, 101eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . . . . 14
12658proplem 13592 . . . . . . . . . . . . . 14
12767, 125, 69, 126syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . 13
12846proplem 13592 . . . . . . . . . . . . . . 15
129128ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . . . 14
130129oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . 13
131127, 130eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12
13258proplem 13592 . . . . . . . . . . . . . 14
13367, 100, 89, 132syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . 13
13471oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13
135133, 134eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12
136131, 135eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . 11
1377, 10rngidcl 15361 . . . . . . . . . . . . . . . 16
13899, 137syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
139138, 101eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . . . . 14
14058proplem 13592 . . . . . . . . . . . . . 14
14167, 139, 69, 140syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . 13
14216, 44, 46rngidpropd 15477 . . . . . . . . . . . . . . 15
143142ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14
144143oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . 13
145141, 144eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12
146145eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . 11
147136, 146anbi12d 691 . . . . . . . . . 10
148122, 147anbi12d 691 . . . . . . . . 9
149148anassrs 629 . . . . . . . 8
1501492ralbidva 2583 . . . . . . 7
1511502ralbidva 2583 . . . . . 6
15216adantr 451 . . . . . . 7
15320adantr 451 . . . . . . . . 9
154153eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . 12
1551543anbi1d 1256 . . . . . . . . . . 11
156155anbi1d 685 . . . . . . . . . 10
157153, 156raleqbidv 2748 . . . . . . . . 9
158153, 157raleqbidv 2748 . . . . . . . 8
159152, 158raleqbidv 2748 . . . . . . 7
160152, 159raleqbidv 2748 . . . . . 6
16144adantr 451 . . . . . . 7
16230adantr 451 . . . . . . . . 9
163162eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . 12
1641633anbi1d 1256 . . . . . . . . . . 11
165164anbi1d 685 . . . . . . . . . 10
166162, 165raleqbidv 2748 . . . . . . . . 9
167162, 166raleqbidv 2748 . . . . . . . 8
168161, 167raleqbidv 2748 . . . . . . 7
169161, 168raleqbidv 2748 . . . . . 6
170151, 160, 1693bitr3d 274 . . . . 5
17165, 66, 1703anbi123d 1252 . . . 4
172171, 11, 423bitr4g 279 . . 3
173172ex 423 . 2
17428, 64, 173pm5.21ndd 343 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  cfv 5255  (class class class)co 5858  cbs 13148   cplusg 13208  cmulr 13209  Scalarcsca 13211  cvsca 13212  cgrp 14362  crg 15337  cur 15339  clmod 15627 This theorem is referenced by:  lmodpropd  15688  lvecprop2d  15919 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-lmod 15629
 Copyright terms: Public domain W3C validator