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Theorem lmodprop2d 16006
Description: If two structures have the same components (properties), one is a left module iff the other one is. This version of lmodpropd 16007 also breaks up the components of the scalar ring. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodprop2d.b1  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
lmodprop2d.b2  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
lmodprop2d.f  |-  F  =  (Scalar `  K )
lmodprop2d.g  |-  G  =  (Scalar `  L )
lmodprop2d.p1  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  F ) )
lmodprop2d.p2  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  G ) )
lmodprop2d.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
lmodprop2d.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  P ) )  -> 
( x ( +g  `  F ) y )  =  ( x ( +g  `  G ) y ) )
lmodprop2d.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  P ) )  -> 
( x ( .r
`  F ) y )  =  ( x ( .r `  G
) y ) )
lmodprop2d.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .s
`  K ) y )  =  ( x ( .s `  L
) y ) )
Assertion
Ref Expression
lmodprop2d  |-  ( ph  ->  ( K  e.  LMod  <->  L  e.  LMod ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, F, y    ph, x, y    x, G, y    x, K, y    x, L, y   
x, P, y

Proof of Theorem lmodprop2d
Dummy variables  r 
q  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmodgrp 15957 . . . 4  |-  ( K  e.  LMod  ->  K  e. 
Grp )
21a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  LMod  ->  K  e.  Grp )
)
3 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
4 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( +g  `  K )  =  ( +g  `  K )
5 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( .s
`  K )  =  ( .s `  K
)
6 lmodprop2d.f . . . . . 6  |-  F  =  (Scalar `  K )
7 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  F )
8 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( +g  `  F )  =  ( +g  `  F )
9 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( .r
`  F )  =  ( .r `  F
)
10 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  F )  =  ( 1r `  F
)
113, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10islmod 15954 . . . . 5  |-  ( K  e.  LMod  <->  ( K  e. 
Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. q  e.  (
Base `  F ) A. r  e.  ( Base `  F ) A. z  e.  ( Base `  K ) A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( ( r ( .s `  K ) w )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( r
( .s `  K
) ( w ( +g  `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  F
) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( q ( .s
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  /\  ( ( 1r `  F ) ( .s `  K
) w )  =  w ) ) ) )
1211simp2bi 973 . . . 4  |-  ( K  e.  LMod  ->  F  e. 
Ring )
1312a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  LMod  ->  F  e.  Ring ) )
14 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  K  e.  LMod )
15 simprl 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  x  e.  P )
16 lmodprop2d.p1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  F ) )
1716ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  P  =  ( Base `  F )
)
1815, 17eleqtrd 2512 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  x  e.  ( Base `  F )
)
19 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  y  e.  B )
20 lmodprop2d.b1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
2120ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  B  =  ( Base `  K )
)
2219, 21eleqtrd 2512 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  y  e.  ( Base `  K )
)
233, 6, 5, 7lmodvscl 15967 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  LMod  /\  x  e.  ( Base `  F
)  /\  y  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( x
( .s `  K
) y )  e.  ( Base `  K
) )
2414, 18, 22, 23syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  ( x
( .s `  K
) y )  e.  ( Base `  K
) )
2524, 21eleqtrrd 2513 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B )
2625ralrimivva 2798 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  K  e.  LMod )  ->  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B )
2726ex 424 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  LMod  ->  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s
`  K ) y )  e.  B ) )
282, 13, 273jcad 1135 . 2  |-  ( ph  ->  ( K  e.  LMod  -> 
( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  (
x ( .s `  K ) y )  e.  B ) ) )
29 lmodgrp 15957 . . . 4  |-  ( L  e.  LMod  ->  L  e. 
Grp )
30 lmodprop2d.b2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
31 lmodprop2d.1 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
3220, 30, 31grppropd 14823 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  Grp  <->  L  e.  Grp ) )
3329, 32syl5ibr 213 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L  e.  LMod  ->  K  e.  Grp )
)
34 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( Base `  L )  =  (
Base `  L )
35 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( +g  `  L )  =  ( +g  `  L )
36 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( .s
`  L )  =  ( .s `  L
)
37 lmodprop2d.g . . . . . 6  |-  G  =  (Scalar `  L )
38 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
39 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
40 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( .r
`  G )  =  ( .r `  G
)
41 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  G )  =  ( 1r `  G
)
4234, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41islmod 15954 . . . . 5  |-  ( L  e.  LMod  <->  ( L  e. 
Grp  /\  G  e.  Ring  /\  A. q  e.  (
Base `  G ) A. r  e.  ( Base `  G ) A. z  e.  ( Base `  L ) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( ( r ( .s `  L ) w )  e.  ( Base `  L
)  /\  ( r
( .s `  L
) ( w ( +g  `  L ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  G
) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( ( q ( .s
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( q ( .s
`  L ) ( r ( .s `  L ) w ) )  /\  ( ( 1r `  G ) ( .s `  L
) w )  =  w ) ) ) )
4342simp2bi 973 . . . 4  |-  ( L  e.  LMod  ->  G  e. 
Ring )
44 lmodprop2d.p2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  G ) )
45 lmodprop2d.2 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  P ) )  -> 
( x ( +g  `  F ) y )  =  ( x ( +g  `  G ) y ) )
46 lmodprop2d.3 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  P ) )  -> 
( x ( .r
`  F ) y )  =  ( x ( .r `  G
) y ) )
4716, 44, 45, 46rngpropd 15695 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  e.  Ring  <->  G  e.  Ring ) )
4843, 47syl5ibr 213 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L  e.  LMod  ->  F  e.  Ring ) )
49 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  L  e.  LMod )
50 simprl 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  x  e.  P )
5144ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  P  =  ( Base `  G )
)
5250, 51eleqtrd 2512 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  x  e.  ( Base `  G )
)
53 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  y  e.  B )
5430ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  B  =  ( Base `  L )
)
5553, 54eleqtrd 2512 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  y  e.  ( Base `  L )
)
5634, 37, 36, 38lmodvscl 15967 . . . . . . 7  |-  ( ( L  e.  LMod  /\  x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  L )
)  ->  ( x
( .s `  L
) y )  e.  ( Base `  L
) )
5749, 52, 55, 56syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  ( x
( .s `  L
) y )  e.  ( Base `  L
) )
58 lmodprop2d.4 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .s
`  K ) y )  =  ( x ( .s `  L
) y ) )
5958adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  ( x
( .s `  K
) y )  =  ( x ( .s
`  L ) y ) )
6057, 59, 543eltr4d 2517 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  LMod )  /\  (
x  e.  P  /\  y  e.  B )
)  ->  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B )
6160ralrimivva 2798 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  L  e.  LMod )  ->  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B )
6261ex 424 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L  e.  LMod  ->  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s
`  K ) y )  e.  B ) )
6333, 48, 623jcad 1135 . 2  |-  ( ph  ->  ( L  e.  LMod  -> 
( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  (
x ( .s `  K ) y )  e.  B ) ) )
6432adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  ( K  e.  Grp  <->  L  e.  Grp ) )
6547adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  ( F  e.  Ring  <->  G  e.  Ring ) )
66 simpll 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  ph )
67 simprlr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  r  e.  P )
68 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  w  e.  B )
6958proplem 13915 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  P  /\  w  e.  B ) )  -> 
( r ( .s
`  K ) w )  =  ( r ( .s `  L
) w ) )
7066, 67, 68, 69syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
r ( .s `  K ) w )  =  ( r ( .s `  L ) w ) )
7170eleq1d 2502 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( r ( .s
`  K ) w )  e.  B  <->  ( r
( .s `  L
) w )  e.  B ) )
72 simplr1 999 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  K  e.  Grp )
7320ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  B  =  ( Base `  K
) )
7468, 73eleqtrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  w  e.  ( Base `  K
) )
75 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  z  e.  B )
7675, 73eleqtrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  z  e.  ( Base `  K
) )
773, 4grpcl 14818 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  Grp  /\  w  e.  ( Base `  K )  /\  z  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
w ( +g  `  K
) z )  e.  ( Base `  K
) )
7872, 74, 76, 77syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
w ( +g  `  K
) z )  e.  ( Base `  K
) )
7978, 73eleqtrrd 2513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
w ( +g  `  K
) z )  e.  B )
8058proplem 13915 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  P  /\  (
w ( +g  `  K
) z )  e.  B ) )  -> 
( r ( .s
`  K ) ( w ( +g  `  K
) z ) )  =  ( r ( .s `  L ) ( w ( +g  `  K ) z ) ) )
8166, 67, 79, 80syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
r ( .s `  K ) ( w ( +g  `  K
) z ) )  =  ( r ( .s `  L ) ( w ( +g  `  K ) z ) ) )
8231proplem 13915 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( w ( +g  `  K ) z )  =  ( w ( +g  `  L ) z ) )
8366, 68, 75, 82syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
w ( +g  `  K
) z )  =  ( w ( +g  `  L ) z ) )
8483oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
r ( .s `  L ) ( w ( +g  `  K
) z ) )  =  ( r ( .s `  L ) ( w ( +g  `  L ) z ) ) )
8581, 84eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
r ( .s `  K ) ( w ( +g  `  K
) z ) )  =  ( r ( .s `  L ) ( w ( +g  `  L ) z ) ) )
86 simplr3 1001 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B )
87 proplem2 13914 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( r  e.  P  /\  w  e.  B
)  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B )  ->  (
r ( .s `  K ) w )  e.  B )
8867, 68, 86, 87syl21anc 1183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
r ( .s `  K ) w )  e.  B )
89 proplem2 13914 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( r  e.  P  /\  z  e.  B
)  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B )  ->  (
r ( .s `  K ) z )  e.  B )
9067, 75, 86, 89syl21anc 1183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
r ( .s `  K ) z )  e.  B )
9131proplem 13915 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
r ( .s `  K ) w )  e.  B  /\  (
r ( .s `  K ) z )  e.  B ) )  ->  ( ( r ( .s `  K
) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s
`  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  K ) z ) ) )
9266, 88, 90, 91syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( r ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  K
) z ) ) )
9358proplem 13915 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  P  /\  z  e.  B ) )  -> 
( r ( .s
`  K ) z )  =  ( r ( .s `  L
) z ) )
9466, 67, 75, 93syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
r ( .s `  K ) z )  =  ( r ( .s `  L ) z ) )
9570, 94oveq12d 6099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( r ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) z ) ) )
9692, 95eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( r ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) z ) ) )
9785, 96eqeq12d 2450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( r ( .s
`  K ) ( w ( +g  `  K
) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K
) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s
`  K ) z ) )  <->  ( r
( .s `  L
) ( w ( +g  `  L ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) z ) ) ) )
98 simplr2 1000 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  F  e.  Ring )
99 simprll 739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  q  e.  P )
10016ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  P  =  ( Base `  F
) )
10199, 100eleqtrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  q  e.  ( Base `  F
) )
10267, 100eleqtrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  r  e.  ( Base `  F
) )
1037, 8rngacl 15691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e.  Ring  /\  q  e.  ( Base `  F
)  /\  r  e.  ( Base `  F )
)  ->  ( q
( +g  `  F ) r )  e.  (
Base `  F )
)
10498, 101, 102, 103syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
q ( +g  `  F
) r )  e.  ( Base `  F
) )
105104, 100eleqtrrd 2513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
q ( +g  `  F
) r )  e.  P )
10658proplem 13915 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
q ( +g  `  F
) r )  e.  P  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( q ( +g  `  F ) r ) ( .s
`  K ) w )  =  ( ( q ( +g  `  F
) r ) ( .s `  L ) w ) )
10766, 105, 68, 106syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( q ( +g  `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( ( q ( +g  `  F ) r ) ( .s
`  L ) w ) )
10845proplem 13915 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  P  /\  r  e.  P ) )  -> 
( q ( +g  `  F ) r )  =  ( q ( +g  `  G ) r ) )
109108ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
q ( +g  `  F
) r )  =  ( q ( +g  `  G ) r ) )
110109oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( q ( +g  `  F ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( ( q ( +g  `  G ) r ) ( .s
`  L ) w ) )
111107, 110eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( q ( +g  `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( ( q ( +g  `  G ) r ) ( .s
`  L ) w ) )
112 proplem2 13914 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( q  e.  P  /\  w  e.  B
)  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B )  ->  (
q ( .s `  K ) w )  e.  B )
11399, 68, 86, 112syl21anc 1183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
q ( .s `  K ) w )  e.  B )
11431proplem 13915 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
q ( .s `  K ) w )  e.  B  /\  (
r ( .s `  K ) w )  e.  B ) )  ->  ( ( q ( .s `  K
) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s
`  K ) w ) )  =  ( ( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  K ) w ) ) )
11566, 113, 88, 114syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) )  =  ( ( q ( .s `  K ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  K
) w ) ) )
11658proplem 13915 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  P  /\  w  e.  B ) )  -> 
( q ( .s
`  K ) w )  =  ( q ( .s `  L
) w ) )
11766, 99, 68, 116syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
q ( .s `  K ) w )  =  ( q ( .s `  L ) w ) )
118117, 70oveq12d 6099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  K ) w ) )  =  ( ( q ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) w ) ) )
119115, 118eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) )  =  ( ( q ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) w ) ) )
120111, 119eqeq12d 2450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( ( q ( +g  `  F ) r ) ( .s
`  K ) w )  =  ( ( q ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) )  <->  ( (
q ( +g  `  G
) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( ( q ( .s
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) ) ) )
12171, 97, 1203anbi123d 1254 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( ( r ( .s `  K ) w )  e.  B  /\  ( r ( .s
`  K ) ( w ( +g  `  K
) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K
) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s
`  K ) z ) )  /\  (
( q ( +g  `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( ( q ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) w ) ) )  <->  ( ( r ( .s `  L
) w )  e.  B  /\  ( r ( .s `  L
) ( w ( +g  `  L ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  G
) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( ( q ( .s
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) ) ) ) )
1227, 9rngcl 15677 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e.  Ring  /\  q  e.  ( Base `  F
)  /\  r  e.  ( Base `  F )
)  ->  ( q
( .r `  F
) r )  e.  ( Base `  F
) )
12398, 101, 102, 122syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
q ( .r `  F ) r )  e.  ( Base `  F
) )
124123, 100eleqtrrd 2513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
q ( .r `  F ) r )  e.  P )
12558proplem 13915 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
q ( .r `  F ) r )  e.  P  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s
`  K ) w )  =  ( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s `  L
) w ) )
12666, 124, 68, 125syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( q ( .r
`  F ) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .r `  F
) r ) ( .s `  L ) w ) )
12746proplem 13915 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  P  /\  r  e.  P ) )  -> 
( q ( .r
`  F ) r )  =  ( q ( .r `  G
) r ) )
128127ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
q ( .r `  F ) r )  =  ( q ( .r `  G ) r ) )
129128oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( q ( .r
`  F ) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( ( q ( .r `  G
) r ) ( .s `  L ) w ) )
130126, 129eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( q ( .r
`  F ) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .r `  G
) r ) ( .s `  L ) w ) )
13158proplem 13915 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  P  /\  (
r ( .s `  K ) w )  e.  B ) )  ->  ( q ( .s `  K ) ( r ( .s
`  K ) w ) )  =  ( q ( .s `  L ) ( r ( .s `  K
) w ) ) )
13266, 99, 88, 131syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
q ( .s `  K ) ( r ( .s `  K
) w ) )  =  ( q ( .s `  L ) ( r ( .s
`  K ) w ) ) )
13370oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
q ( .s `  L ) ( r ( .s `  K
) w ) )  =  ( q ( .s `  L ) ( r ( .s
`  L ) w ) ) )
134132, 133eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
q ( .s `  K ) ( r ( .s `  K
) w ) )  =  ( q ( .s `  L ) ( r ( .s
`  L ) w ) ) )
135130, 134eqeq12d 2450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s
`  K ) w )  =  ( q ( .s `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) )  <->  ( (
q ( .r `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( q ( .s
`  L ) ( r ( .s `  L ) w ) ) ) )
1367, 10rngidcl 15684 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  Ring  ->  ( 1r
`  F )  e.  ( Base `  F
) )
13798, 136syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  ( 1r `  F )  e.  ( Base `  F
) )
138137, 100eleqtrrd 2513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  ( 1r `  F )  e.  P )
13958proplem 13915 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( ( 1r `  F )  e.  P  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( 1r `  F ) ( .s
`  K ) w )  =  ( ( 1r `  F ) ( .s `  L
) w ) )
14066, 138, 68, 139syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( 1r `  F
) ( .s `  K ) w )  =  ( ( 1r
`  F ) ( .s `  L ) w ) )
14116, 44, 46rngidpropd 15800 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1r `  F
)  =  ( 1r
`  G ) )
142141ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  ( 1r `  F )  =  ( 1r `  G
) )
143142oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( 1r `  F
) ( .s `  L ) w )  =  ( ( 1r
`  G ) ( .s `  L ) w ) )
144140, 143eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( 1r `  F
) ( .s `  K ) w )  =  ( ( 1r
`  G ) ( .s `  L ) w ) )
145144eqeq1d 2444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( ( 1r `  F ) ( .s
`  K ) w )  =  w  <->  ( ( 1r `  G ) ( .s `  L ) w )  =  w ) )
146135, 145anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( ( ( q ( .r `  F
) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( q ( .s `  K ) ( r ( .s `  K
) w ) )  /\  ( ( 1r
`  F ) ( .s `  K ) w )  =  w )  <->  ( ( ( q ( .r `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( q ( .s
`  L ) ( r ( .s `  L ) w ) )  /\  ( ( 1r `  G ) ( .s `  L
) w )  =  w ) ) )
147121, 146anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( ( q  e.  P  /\  r  e.  P )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( ( ( r ( .s `  K
) w )  e.  B  /\  ( r ( .s `  K
) ( w ( +g  `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  F
) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( q ( .s
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  /\  ( ( 1r `  F ) ( .s `  K
) w )  =  w ) )  <->  ( (
( r ( .s
`  L ) w )  e.  B  /\  ( r ( .s
`  L ) ( w ( +g  `  L
) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L
) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s
`  L ) z ) )  /\  (
( q ( +g  `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( ( q ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r
`  G ) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( q ( .s `  L ) ( r ( .s
`  L ) w ) )  /\  (
( 1r `  G
) ( .s `  L ) w )  =  w ) ) ) )
148147anassrs 630 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  (
x ( .s `  K ) y )  e.  B ) )  /\  ( q  e.  P  /\  r  e.  P ) )  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
( ( ( r ( .s `  K
) w )  e.  B  /\  ( r ( .s `  K
) ( w ( +g  `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  F
) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( q ( .s
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  /\  ( ( 1r `  F ) ( .s `  K
) w )  =  w ) )  <->  ( (
( r ( .s
`  L ) w )  e.  B  /\  ( r ( .s
`  L ) ( w ( +g  `  L
) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L
) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s
`  L ) z ) )  /\  (
( q ( +g  `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( ( q ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r
`  G ) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( q ( .s `  L ) ( r ( .s
`  L ) w ) )  /\  (
( 1r `  G
) ( .s `  L ) w )  =  w ) ) ) )
1491482ralbidva 2745 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  B ) )  /\  ( q  e.  P  /\  r  e.  P
) )  ->  ( A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  K
) w )  e.  B  /\  ( r ( .s `  K
) ( w ( +g  `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  F
) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( q ( .s
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  /\  ( ( 1r `  F ) ( .s `  K
) w )  =  w ) )  <->  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( (
( r ( .s
`  L ) w )  e.  B  /\  ( r ( .s
`  L ) ( w ( +g  `  L
) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L
) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s
`  L ) z ) )  /\  (
( q ( +g  `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( ( q ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r
`  G ) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( q ( .s `  L ) ( r ( .s
`  L ) w ) )  /\  (
( 1r `  G
) ( .s `  L ) w )  =  w ) ) ) )
1501492ralbidva 2745 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  ( A. q  e.  P  A. r  e.  P  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  K
) w )  e.  B  /\  ( r ( .s `  K
) ( w ( +g  `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  F
) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( q ( .s
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  /\  ( ( 1r `  F ) ( .s `  K
) w )  =  w ) )  <->  A. q  e.  P  A. r  e.  P  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( (
( r ( .s
`  L ) w )  e.  B  /\  ( r ( .s
`  L ) ( w ( +g  `  L
) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L
) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s
`  L ) z ) )  /\  (
( q ( +g  `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( ( q ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r
`  G ) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( q ( .s `  L ) ( r ( .s
`  L ) w ) )  /\  (
( 1r `  G
) ( .s `  L ) w )  =  w ) ) ) )
15116adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  P  =  ( Base `  F
) )
15220adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  B  =  ( Base `  K
) )
153152eleq2d 2503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  (
( r ( .s
`  K ) w )  e.  B  <->  ( r
( .s `  K
) w )  e.  ( Base `  K
) ) )
1541533anbi1d 1258 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  (
( ( r ( .s `  K ) w )  e.  B  /\  ( r ( .s
`  K ) ( w ( +g  `  K
) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K
) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s
`  K ) z ) )  /\  (
( q ( +g  `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( ( q ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) w ) ) )  <->  ( ( r ( .s `  K
) w )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( r
( .s `  K
) ( w ( +g  `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  F
) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) ) ) ) )
155154anbi1d 686 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  (
( ( ( r ( .s `  K
) w )  e.  B  /\  ( r ( .s `  K
) ( w ( +g  `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  F
) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( q ( .s
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  /\  ( ( 1r `  F ) ( .s `  K
) w )  =  w ) )  <->  ( (
( r ( .s
`  K ) w )  e.  ( Base `  K )  /\  (
r ( .s `  K ) ( w ( +g  `  K
) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K
) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s
`  K ) z ) )  /\  (
( q ( +g  `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( ( q ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r
`  F ) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( q ( .s `  K ) ( r ( .s
`  K ) w ) )  /\  (
( 1r `  F
) ( .s `  K ) w )  =  w ) ) ) )
156152, 155raleqbidv 2916 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  ( A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  K
) w )  e.  B  /\  ( r ( .s `  K
) ( w ( +g  `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  F
) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( q ( .s
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  /\  ( ( 1r `  F ) ( .s `  K
) w )  =  w ) )  <->  A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( ( r ( .s `  K ) w )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( r
( .s `  K
) ( w ( +g  `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  F
) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( q ( .s
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  /\  ( ( 1r `  F ) ( .s `  K
) w )  =  w ) ) ) )
157152, 156raleqbidv 2916 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  ( A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  K
) w )  e.  B  /\  ( r ( .s `  K
) ( w ( +g  `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  F
) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( q ( .s
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  /\  ( ( 1r `  F ) ( .s `  K
) w )  =  w ) )  <->  A. z  e.  ( Base `  K
) A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( ( r ( .s `  K ) w )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( r
( .s `  K
) ( w ( +g  `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  F
) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( q ( .s
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  /\  ( ( 1r `  F ) ( .s `  K
) w )  =  w ) ) ) )
158151, 157raleqbidv 2916 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  ( A. r  e.  P  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  K
) w )  e.  B  /\  ( r ( .s `  K
) ( w ( +g  `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  F
) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( q ( .s
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  /\  ( ( 1r `  F ) ( .s `  K
) w )  =  w ) )  <->  A. r  e.  ( Base `  F
) A. z  e.  ( Base `  K
) A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( ( r ( .s `  K ) w )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( r
( .s `  K
) ( w ( +g  `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  F
) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( q ( .s
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  /\  ( ( 1r `  F ) ( .s `  K
) w )  =  w ) ) ) )
159151, 158raleqbidv 2916 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  ( A. q  e.  P  A. r  e.  P  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  K
) w )  e.  B  /\  ( r ( .s `  K
) ( w ( +g  `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  F
) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( q ( .s
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  /\  ( ( 1r `  F ) ( .s `  K
) w )  =  w ) )  <->  A. q  e.  ( Base `  F
) A. r  e.  ( Base `  F
) A. z  e.  ( Base `  K
) A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( ( r ( .s `  K ) w )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( r
( .s `  K
) ( w ( +g  `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  F
) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( q ( .s
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  /\  ( ( 1r `  F ) ( .s `  K
) w )  =  w ) ) ) )
16044adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  P  =  ( Base `  G
) )
16130adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  B  =  ( Base `  L
) )
162161eleq2d 2503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  (
( r ( .s
`  L ) w )  e.  B  <->  ( r
( .s `  L
) w )  e.  ( Base `  L
) ) )
1631623anbi1d 1258 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  (
( ( r ( .s `  L ) w )  e.  B  /\  ( r ( .s
`  L ) ( w ( +g  `  L
) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L
) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s
`  L ) z ) )  /\  (
( q ( +g  `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( ( q ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) w ) ) )  <->  ( ( r ( .s `  L
) w )  e.  ( Base `  L
)  /\  ( r
( .s `  L
) ( w ( +g  `  L ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  G
) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( ( q ( .s
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) ) ) ) )
164163anbi1d 686 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  (
( ( ( r ( .s `  L
) w )  e.  B  /\  ( r ( .s `  L
) ( w ( +g  `  L ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  G
) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( ( q ( .s
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( q ( .s
`  L ) ( r ( .s `  L ) w ) )  /\  ( ( 1r `  G ) ( .s `  L
) w )  =  w ) )  <->  ( (
( r ( .s
`  L ) w )  e.  ( Base `  L )  /\  (
r ( .s `  L ) ( w ( +g  `  L
) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L
) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s
`  L ) z ) )  /\  (
( q ( +g  `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( ( q ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r
`  G ) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( q ( .s `  L ) ( r ( .s
`  L ) w ) )  /\  (
( 1r `  G
) ( .s `  L ) w )  =  w ) ) ) )
165161, 164raleqbidv 2916 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  ( A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  L
) w )  e.  B  /\  ( r ( .s `  L
) ( w ( +g  `  L ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  G
) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( ( q ( .s
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( q ( .s
`  L ) ( r ( .s `  L ) w ) )  /\  ( ( 1r `  G ) ( .s `  L
) w )  =  w ) )  <->  A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( ( r ( .s `  L ) w )  e.  ( Base `  L
)  /\  ( r
( .s `  L
) ( w ( +g  `  L ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  G
) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( ( q ( .s
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( q ( .s
`  L ) ( r ( .s `  L ) w ) )  /\  ( ( 1r `  G ) ( .s `  L
) w )  =  w ) ) ) )
166161, 165raleqbidv 2916 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  ( A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  L
) w )  e.  B  /\  ( r ( .s `  L
) ( w ( +g  `  L ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  G
) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( ( q ( .s
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( q ( .s
`  L ) ( r ( .s `  L ) w ) )  /\  ( ( 1r `  G ) ( .s `  L
) w )  =  w ) )  <->  A. z  e.  ( Base `  L
) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( ( r ( .s `  L ) w )  e.  ( Base `  L
)  /\  ( r
( .s `  L
) ( w ( +g  `  L ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  G
) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( ( q ( .s
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( q ( .s
`  L ) ( r ( .s `  L ) w ) )  /\  ( ( 1r `  G ) ( .s `  L
) w )  =  w ) ) ) )
167160, 166raleqbidv 2916 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  ( A. r  e.  P  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  L
) w )  e.  B  /\  ( r ( .s `  L
) ( w ( +g  `  L ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  G
) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( ( q ( .s
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( q ( .s
`  L ) ( r ( .s `  L ) w ) )  /\  ( ( 1r `  G ) ( .s `  L
) w )  =  w ) )  <->  A. r  e.  ( Base `  G
) A. z  e.  ( Base `  L
) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( ( r ( .s `  L ) w )  e.  ( Base `  L
)  /\  ( r
( .s `  L
) ( w ( +g  `  L ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  G
) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( ( q ( .s
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( q ( .s
`  L ) ( r ( .s `  L ) w ) )  /\  ( ( 1r `  G ) ( .s `  L
) w )  =  w ) ) ) )
168160, 167raleqbidv 2916 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  ( A. q  e.  P  A. r  e.  P  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( ( ( r ( .s `  L
) w )  e.  B  /\  ( r ( .s `  L
) ( w ( +g  `  L ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  G
) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( ( q ( .s
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( q ( .s
`  L ) ( r ( .s `  L ) w ) )  /\  ( ( 1r `  G ) ( .s `  L
) w )  =  w ) )  <->  A. q  e.  ( Base `  G
) A. r  e.  ( Base `  G
) A. z  e.  ( Base `  L
) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( ( r ( .s `  L ) w )  e.  ( Base `  L
)  /\  ( r
( .s `  L
) ( w ( +g  `  L ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  G
) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( ( q ( .s
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( q ( .s
`  L ) ( r ( .s `  L ) w ) )  /\  ( ( 1r `  G ) ( .s `  L
) w )  =  w ) ) ) )
169150, 159, 1683bitr3d 275 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  ( A. q  e.  ( Base `  F ) A. r  e.  ( Base `  F ) A. z  e.  ( Base `  K
) A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( ( r ( .s `  K ) w )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( r
( .s `  K
) ( w ( +g  `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  F
) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( q ( .s
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  /\  ( ( 1r `  F ) ( .s `  K
) w )  =  w ) )  <->  A. q  e.  ( Base `  G
) A. r  e.  ( Base `  G
) A. z  e.  ( Base `  L
) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( ( r ( .s `  L ) w )  e.  ( Base `  L
)  /\  ( r
( .s `  L
) ( w ( +g  `  L ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  G
) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( ( q ( .s
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( q ( .s
`  L ) ( r ( .s `  L ) w ) )  /\  ( ( 1r `  G ) ( .s `  L
) w )  =  w ) ) ) )
17064, 65, 1693anbi123d 1254 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  (
( K  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. q  e.  ( Base `  F ) A. r  e.  ( Base `  F
) A. z  e.  ( Base `  K
) A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( ( r ( .s `  K ) w )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( r
( .s `  K
) ( w ( +g  `  K ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( r ( .s `  K
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  F
) r ) ( .s `  K ) w )  =  ( ( q ( .s
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( r ( .s `  K ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  F ) r ) ( .s `  K
) w )  =  ( q ( .s
`  K ) ( r ( .s `  K ) w ) )  /\  ( ( 1r `  F ) ( .s `  K
) w )  =  w ) ) )  <-> 
( L  e.  Grp  /\  G  e.  Ring  /\  A. q  e.  ( Base `  G ) A. r  e.  ( Base `  G
) A. z  e.  ( Base `  L
) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( ( r ( .s `  L ) w )  e.  ( Base `  L
)  /\  ( r
( .s `  L
) ( w ( +g  `  L ) z ) )  =  ( ( r ( .s `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( r ( .s `  L
) z ) )  /\  ( ( q ( +g  `  G
) r ) ( .s `  L ) w )  =  ( ( q ( .s
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( r ( .s `  L ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  G ) r ) ( .s `  L
) w )  =  ( q ( .s
`  L ) ( r ( .s `  L ) w ) )  /\  ( ( 1r `  G ) ( .s `  L
) w )  =  w ) ) ) ) )
171170, 11, 423bitr4g 280 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  F  e. 
Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s `  K ) y )  e.  B
) )  ->  ( K  e.  LMod  <->  L  e.  LMod ) )
172171ex 424 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( K  e. 
Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s
`  K ) y )  e.  B )  ->  ( K  e. 
LMod 
<->  L  e.  LMod )
) )
17328, 63, 172pm5.21ndd 344 1  |-  ( ph  ->  ( K  e.  LMod  <->  L  e.  LMod ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469   +g cplusg 13529   .rcmulr 13530  Scalarcsca 13532   .scvsca 13533   Grpcgrp 14685   Ringcrg 15660   1rcur 15662   LModclmod 15950
This theorem is referenced by:  lmodpropd  16007  lvecprop2d  16238
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-plusg 13542  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-lmod 15952
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