MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodsn0 Structured version   Unicode version

Theorem lmodsn0 15963
Description: The set of scalars in a left module is nonempty. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodsn0.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lmodsn0.b  |-  B  =  ( Base `  F
)
Assertion
Ref Expression
lmodsn0  |-  ( W  e.  LMod  ->  B  =/=  (/) )

Proof of Theorem lmodsn0
StepHypRef Expression
1 lmodsn0.f . . 3  |-  F  =  (Scalar `  W )
21lmodfgrp 15959 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  e. 
Grp )
3 lmodsn0.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  F
)
43grpbn0 14834 . 2  |-  ( F  e.  Grp  ->  B  =/=  (/) )
52, 4syl 16 1  |-  ( W  e.  LMod  ->  B  =/=  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   (/)c0 3628   ` cfv 5454   Basecbs 13469  Scalarcsca 13532   Grpcgrp 14685   LModclmod 15950
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fv 5462  df-ov 6084  df-riota 6549  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-rng 15663  df-lmod 15952
  Copyright terms: Public domain W3C validator