MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodstr Structured version   Unicode version

Theorem lmodstr 13585
Description: A constructed left module or left vector space is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lvecfn.w  |-  W  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  F >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. } )
Assertion
Ref Expression
lmodstr  |-  W Struct  <. 1 ,  6 >.

Proof of Theorem lmodstr
StepHypRef Expression
1 lvecfn.w . 2  |-  W  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  F >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. } )
2 1nn 10003 . . . 4  |-  1  e.  NN
3 basendx 13506 . . . 4  |-  ( Base `  ndx )  =  1
4 1lt2 10134 . . . 4  |-  1  <  2
5 2nn 10125 . . . 4  |-  2  e.  NN
6 plusgndx 13555 . . . 4  |-  ( +g  ` 
ndx )  =  2
7 2lt5 10142 . . . 4  |-  2  <  5
8 5nn 10128 . . . 4  |-  5  e.  NN
9 scandx 13581 . . . 4  |-  (Scalar `  ndx )  =  5
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9strle3 13554 . . 3  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  F >. } Struct  <. 1 ,  5
>.
11 6nn 10129 . . . 4  |-  6  e.  NN
12 vscandx 13583 . . . 4  |-  ( .s
`  ndx )  =  6
1311, 12strle1 13552 . . 3  |-  { <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. } Struct  <. 6 ,  6 >.
14 5lt6 10144 . . 3  |-  5  <  6
1510, 13, 14strleun 13551 . 2  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  F >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. } ) Struct  <. 1 ,  6 >.
161, 15eqbrtri 4223 1  |-  W Struct  <. 1 ,  6 >.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1652    u. cun 3310   {csn 3806   {ctp 3808   <.cop 3809   class class class wbr 4204   ` cfv 5446   1c1 8983   2c2 10041   5c5 10044   6c6 10045   Struct cstr 13457   ndxcnx 13458   Basecbs 13461   +g cplusg 13521  Scalarcsca 13524   .scvsca 13525
This theorem is referenced by:  lmodbase  13586  lmodplusg  13587  lmodsca  13588  lmodvsca  13589  phlstr  13600
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-plusg 13534  df-sca 13537  df-vsca 13538
  Copyright terms: Public domain W3C validator