MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodsubdi Structured version   Unicode version

Theorem lmodsubdi 16001
Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (hvsubdistr1 22551 analog, with longer proof since our scalar multiplication is not commutative.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodsubdi.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lmodsubdi.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lmodsubdi.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lmodsubdi.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
lmodsubdi.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
lmodsubdi.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lmodsubdi.a  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
lmodsubdi.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lmodsubdi.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lmodsubdi  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  ( X  .-  Y ) )  =  ( ( A 
.x.  X )  .-  ( A  .x.  Y ) ) )

Proof of Theorem lmodsubdi
StepHypRef Expression
1 lmodsubdi.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 lmodsubdi.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
3 lmodsubdi.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
4 lmodsubdi.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
5 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
6 lmodsubdi.m . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  W )
7 lmodsubdi.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
8 lmodsubdi.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
9 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( inv g `  F )  =  ( inv g `  F )
10 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( 1r
`  F )  =  ( 1r `  F
)
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10lmodvsubval2 15999 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .-  Y )  =  ( X ( +g  `  W ) ( ( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  Y ) ) )
121, 2, 3, 11syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  =  ( X ( +g  `  W
) ( ( ( inv g `  F
) `  ( 1r `  F ) )  .x.  Y ) ) )
1312oveq2d 6097 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  ( X  .-  Y ) )  =  ( A  .x.  ( X ( +g  `  W
) ( ( ( inv g `  F
) `  ( 1r `  F ) )  .x.  Y ) ) ) )
14 lmodsubdi.k . . . . . . . 8  |-  K  =  ( Base `  F
)
15 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  F )  =  ( .r `  F
)
167lmodrng 15958 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  e. 
Ring )
171, 16syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  Ring )
18 lmodsubdi.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
1914, 15, 10, 9, 17, 18rngnegr 15704 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A ( .r
`  F ) ( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) ) )  =  ( ( inv g `  F
) `  A )
)
2014, 15, 10, 9, 17, 18rngnegl 15703 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( inv g `  F ) `
 ( 1r `  F ) ) ( .r `  F ) A )  =  ( ( inv g `  F ) `  A
) )
2119, 20eqtr4d 2471 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A ( .r
`  F ) ( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) ) )  =  ( ( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) ) ( .r `  F
) A ) )
2221oveq1d 6096 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A ( .r `  F ) ( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) ) )  .x.  Y )  =  ( ( ( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) ) ( .r `  F
) A )  .x.  Y ) )
23 rnggrp 15669 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  Ring  ->  F  e. 
Grp )
2417, 23syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  Grp )
2514, 10rngidcl 15684 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  Ring  ->  ( 1r
`  F )  e.  K )
2617, 25syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1r `  F
)  e.  K )
2714, 9grpinvcl 14850 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  Grp  /\  ( 1r `  F )  e.  K )  -> 
( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) )  e.  K )
2824, 26, 27syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) )  e.  K )
294, 7, 8, 14, 15lmodvsass 15975 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( A  e.  K  /\  ( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) )  e.  K  /\  Y  e.  V ) )  -> 
( ( A ( .r `  F ) ( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) ) )  .x.  Y )  =  ( A  .x.  ( ( ( inv g `  F ) `
 ( 1r `  F ) )  .x.  Y ) ) )
301, 18, 28, 3, 29syl13anc 1186 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A ( .r `  F ) ( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) ) )  .x.  Y )  =  ( A  .x.  ( ( ( inv g `  F ) `
 ( 1r `  F ) )  .x.  Y ) ) )
314, 7, 8, 14, 15lmodvsass 15975 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) )  e.  K  /\  A  e.  K  /\  Y  e.  V ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  F
) `  ( 1r `  F ) ) ( .r `  F ) A )  .x.  Y
)  =  ( ( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  ( A  .x.  Y ) ) )
321, 28, 18, 3, 31syl13anc 1186 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( inv g `  F
) `  ( 1r `  F ) ) ( .r `  F ) A )  .x.  Y
)  =  ( ( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  ( A  .x.  Y ) ) )
3322, 30, 323eqtr3d 2476 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  (
( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  Y ) )  =  ( ( ( inv g `  F
) `  ( 1r `  F ) )  .x.  ( A  .x.  Y ) ) )
3433oveq2d 6097 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X ) ( +g  `  W ) ( A 
.x.  ( ( ( inv g `  F
) `  ( 1r `  F ) )  .x.  Y ) ) )  =  ( ( A 
.x.  X ) ( +g  `  W ) ( ( ( inv g `  F ) `
 ( 1r `  F ) )  .x.  ( A  .x.  Y ) ) ) )
354, 7, 8, 14lmodvscl 15967 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) )  e.  K  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  Y )  e.  V )
361, 28, 3, 35syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( inv g `  F ) `
 ( 1r `  F ) )  .x.  Y )  e.  V
)
374, 5, 7, 8, 14lmodvsdi 15973 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( A  e.  K  /\  X  e.  V  /\  ( ( ( inv g `  F ) `
 ( 1r `  F ) )  .x.  Y )  e.  V
) )  ->  ( A  .x.  ( X ( +g  `  W ) ( ( ( inv g `  F ) `
 ( 1r `  F ) )  .x.  Y ) ) )  =  ( ( A 
.x.  X ) ( +g  `  W ) ( A  .x.  (
( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  Y ) ) ) )
381, 18, 2, 36, 37syl13anc 1186 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  ( X ( +g  `  W
) ( ( ( inv g `  F
) `  ( 1r `  F ) )  .x.  Y ) ) )  =  ( ( A 
.x.  X ) ( +g  `  W ) ( A  .x.  (
( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  Y ) ) ) )
394, 7, 8, 14lmodvscl 15967 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( A  .x.  X )  e.  V )
401, 18, 2, 39syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  X
)  e.  V )
414, 7, 8, 14lmodvscl 15967 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  e.  K  /\  Y  e.  V )  ->  ( A  .x.  Y )  e.  V )
421, 18, 3, 41syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  Y
)  e.  V )
434, 5, 6, 7, 8, 9, 10lmodvsubval2 15999 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( A  .x.  X )  e.  V  /\  ( A 
.x.  Y )  e.  V )  ->  (
( A  .x.  X
)  .-  ( A  .x.  Y ) )  =  ( ( A  .x.  X ) ( +g  `  W ) ( ( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  ( A  .x.  Y ) ) ) )
441, 40, 42, 43syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  .-  ( A  .x.  Y ) )  =  ( ( A 
.x.  X ) ( +g  `  W ) ( ( ( inv g `  F ) `
 ( 1r `  F ) )  .x.  ( A  .x.  Y ) ) ) )
4534, 38, 443eqtr4rd 2479 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  .-  ( A  .x.  Y ) )  =  ( A  .x.  ( X ( +g  `  W
) ( ( ( inv g `  F
) `  ( 1r `  F ) )  .x.  Y ) ) ) )
4613, 45eqtr4d 2471 1  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  ( X  .-  Y ) )  =  ( ( A 
.x.  X )  .-  ( A  .x.  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469   +g cplusg 13529   .rcmulr 13530  Scalarcsca 13532   .scvsca 13533   Grpcgrp 14685   inv gcminusg 14686   -gcsg 14688   Ringcrg 15660   1rcur 15662   LModclmod 15950
This theorem is referenced by:  lvecvscan  16183  nlmdsdi  18717  minveclem2  19327  mapdpglem21  32490  mapdpglem28  32499  baerlem3lem1  32505  baerlem5alem1  32506  baerlem5blem1  32507
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-plusg 13542  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-lmod 15952
  Copyright terms: Public domain W3C validator