MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodsubdir Unicode version

Theorem lmodsubdir 15699
Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (hvsubdistr2 21645 analog.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodsubdir.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lmodsubdir.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lmodsubdir.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lmodsubdir.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
lmodsubdir.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
lmodsubdir.s  |-  S  =  ( -g `  F
)
lmodsubdir.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lmodsubdir.a  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
lmodsubdir.b  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
lmodsubdir.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lmodsubdir  |-  ( ph  ->  ( ( A S B )  .x.  X
)  =  ( ( A  .x.  X ) 
.-  ( B  .x.  X ) ) )

Proof of Theorem lmodsubdir
StepHypRef Expression
1 lmodsubdir.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 lmodsubdir.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
3 lmodsubdir.f . . . . . . . 8  |-  F  =  (Scalar `  W )
43lmodrng 15651 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  e. 
Ring )
51, 4syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  Ring )
6 rnggrp 15362 . . . . . 6  |-  ( F  e.  Ring  ->  F  e. 
Grp )
75, 6syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  Grp )
8 lmodsubdir.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
9 lmodsubdir.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Base `  F
)
10 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( inv g `  F )  =  ( inv g `  F )
119, 10grpinvcl 14543 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  Grp  /\  B  e.  K )  ->  ( ( inv g `  F ) `  B
)  e.  K )
127, 8, 11syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  F ) `  B
)  e.  K )
13 lmodsubdir.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
14 lmodsubdir.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
15 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
16 lmodsubdir.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
17 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( +g  `  F )  =  ( +g  `  F )
1814, 15, 3, 16, 9, 17lmodvsdir 15668 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( A  e.  K  /\  ( ( inv g `  F ) `  B
)  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( ( A ( +g  `  F
) ( ( inv g `  F ) `
 B ) ) 
.x.  X )  =  ( ( A  .x.  X ) ( +g  `  W ) ( ( ( inv g `  F ) `  B
)  .x.  X )
) )
191, 2, 12, 13, 18syl13anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A ( +g  `  F ) ( ( inv g `  F ) `  B
) )  .x.  X
)  =  ( ( A  .x.  X ) ( +g  `  W
) ( ( ( inv g `  F
) `  B )  .x.  X ) ) )
20 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  F )  =  ( .r `  F
)
21 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  F )  =  ( 1r `  F
)
229, 20, 21, 10, 5, 8rngnegl 15396 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( inv g `  F ) `
 ( 1r `  F ) ) ( .r `  F ) B )  =  ( ( inv g `  F ) `  B
) )
2322oveq1d 5889 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( inv g `  F
) `  ( 1r `  F ) ) ( .r `  F ) B )  .x.  X
)  =  ( ( ( inv g `  F ) `  B
)  .x.  X )
)
249, 21rngidcl 15377 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  Ring  ->  ( 1r
`  F )  e.  K )
255, 24syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1r `  F
)  e.  K )
269, 10grpinvcl 14543 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  Grp  /\  ( 1r `  F )  e.  K )  -> 
( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) )  e.  K )
277, 25, 26syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) )  e.  K )
2814, 3, 16, 9, 20lmodvsass 15670 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) )  e.  K  /\  B  e.  K  /\  X  e.  V ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  F
) `  ( 1r `  F ) ) ( .r `  F ) B )  .x.  X
)  =  ( ( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  ( B  .x.  X ) ) )
291, 27, 8, 13, 28syl13anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( inv g `  F
) `  ( 1r `  F ) ) ( .r `  F ) B )  .x.  X
)  =  ( ( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  ( B  .x.  X ) ) )
3023, 29eqtr3d 2330 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( inv g `  F ) `
 B )  .x.  X )  =  ( ( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  ( B  .x.  X ) ) )
3130oveq2d 5890 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X ) ( +g  `  W ) ( ( ( inv g `  F ) `  B
)  .x.  X )
)  =  ( ( A  .x.  X ) ( +g  `  W
) ( ( ( inv g `  F
) `  ( 1r `  F ) )  .x.  ( B  .x.  X ) ) ) )
3219, 31eqtrd 2328 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A ( +g  `  F ) ( ( inv g `  F ) `  B
) )  .x.  X
)  =  ( ( A  .x.  X ) ( +g  `  W
) ( ( ( inv g `  F
) `  ( 1r `  F ) )  .x.  ( B  .x.  X ) ) ) )
33 lmodsubdir.s . . . . 5  |-  S  =  ( -g `  F
)
349, 17, 10, 33grpsubval 14541 . . . 4  |-  ( ( A  e.  K  /\  B  e.  K )  ->  ( A S B )  =  ( A ( +g  `  F
) ( ( inv g `  F ) `
 B ) ) )
352, 8, 34syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A S B )  =  ( A ( +g  `  F
) ( ( inv g `  F ) `
 B ) ) )
3635oveq1d 5889 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A S B )  .x.  X
)  =  ( ( A ( +g  `  F
) ( ( inv g `  F ) `
 B ) ) 
.x.  X ) )
3714, 3, 16, 9lmodvscl 15660 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( A  .x.  X )  e.  V )
381, 2, 13, 37syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  X
)  e.  V )
3914, 3, 16, 9lmodvscl 15660 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( B  .x.  X )  e.  V )
401, 8, 13, 39syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  .x.  X
)  e.  V )
41 lmodsubdir.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  W )
4214, 15, 41, 3, 16, 10, 21lmodvsubval2 15696 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( A  .x.  X )  e.  V  /\  ( B 
.x.  X )  e.  V )  ->  (
( A  .x.  X
)  .-  ( B  .x.  X ) )  =  ( ( A  .x.  X ) ( +g  `  W ) ( ( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  ( B  .x.  X ) ) ) )
431, 38, 40, 42syl3anc 1182 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  .-  ( B  .x.  X ) )  =  ( ( A 
.x.  X ) ( +g  `  W ) ( ( ( inv g `  F ) `
 ( 1r `  F ) )  .x.  ( B  .x.  X ) ) ) )
4432, 36, 433eqtr4d 2338 1  |-  ( ph  ->  ( ( A S B )  .x.  X
)  =  ( ( A  .x.  X ) 
.-  ( B  .x.  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   .rcmulr 13225  Scalarcsca 13227   .scvsca 13228   Grpcgrp 14378   inv gcminusg 14379   -gcsg 14381   Ringcrg 15353   1rcur 15355   LModclmod 15643
This theorem is referenced by:  lvecvscan2  15881  nlmdsdir  18209  clmsubdir  18608
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-lmod 15645
  Copyright terms: Public domain W3C validator