MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodsubdir Unicode version

Theorem lmodsubdir 15929
Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (hvsubdistr2 22400 analog.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodsubdir.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lmodsubdir.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lmodsubdir.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lmodsubdir.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
lmodsubdir.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
lmodsubdir.s  |-  S  =  ( -g `  F
)
lmodsubdir.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lmodsubdir.a  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
lmodsubdir.b  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
lmodsubdir.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lmodsubdir  |-  ( ph  ->  ( ( A S B )  .x.  X
)  =  ( ( A  .x.  X ) 
.-  ( B  .x.  X ) ) )

Proof of Theorem lmodsubdir
StepHypRef Expression
1 lmodsubdir.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 lmodsubdir.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
3 lmodsubdir.f . . . . . . . 8  |-  F  =  (Scalar `  W )
43lmodrng 15885 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  e. 
Ring )
51, 4syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  Ring )
6 rnggrp 15596 . . . . . 6  |-  ( F  e.  Ring  ->  F  e. 
Grp )
75, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  Grp )
8 lmodsubdir.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
9 lmodsubdir.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Base `  F
)
10 eqid 2387 . . . . . 6  |-  ( inv g `  F )  =  ( inv g `  F )
119, 10grpinvcl 14777 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  Grp  /\  B  e.  K )  ->  ( ( inv g `  F ) `  B
)  e.  K )
127, 8, 11syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  F ) `  B
)  e.  K )
13 lmodsubdir.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
14 lmodsubdir.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
15 eqid 2387 . . . . 5  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
16 lmodsubdir.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
17 eqid 2387 . . . . 5  |-  ( +g  `  F )  =  ( +g  `  F )
1814, 15, 3, 16, 9, 17lmodvsdir 15901 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( A  e.  K  /\  ( ( inv g `  F ) `  B
)  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( ( A ( +g  `  F
) ( ( inv g `  F ) `
 B ) ) 
.x.  X )  =  ( ( A  .x.  X ) ( +g  `  W ) ( ( ( inv g `  F ) `  B
)  .x.  X )
) )
191, 2, 12, 13, 18syl13anc 1186 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A ( +g  `  F ) ( ( inv g `  F ) `  B
) )  .x.  X
)  =  ( ( A  .x.  X ) ( +g  `  W
) ( ( ( inv g `  F
) `  B )  .x.  X ) ) )
20 eqid 2387 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  F )  =  ( .r `  F
)
21 eqid 2387 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  F )  =  ( 1r `  F
)
229, 20, 21, 10, 5, 8rngnegl 15630 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( inv g `  F ) `
 ( 1r `  F ) ) ( .r `  F ) B )  =  ( ( inv g `  F ) `  B
) )
2322oveq1d 6035 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( inv g `  F
) `  ( 1r `  F ) ) ( .r `  F ) B )  .x.  X
)  =  ( ( ( inv g `  F ) `  B
)  .x.  X )
)
249, 21rngidcl 15611 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  Ring  ->  ( 1r
`  F )  e.  K )
255, 24syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1r `  F
)  e.  K )
269, 10grpinvcl 14777 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  Grp  /\  ( 1r `  F )  e.  K )  -> 
( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) )  e.  K )
277, 25, 26syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) )  e.  K )
2814, 3, 16, 9, 20lmodvsass 15902 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) )  e.  K  /\  B  e.  K  /\  X  e.  V ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  F
) `  ( 1r `  F ) ) ( .r `  F ) B )  .x.  X
)  =  ( ( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  ( B  .x.  X ) ) )
291, 27, 8, 13, 28syl13anc 1186 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( inv g `  F
) `  ( 1r `  F ) ) ( .r `  F ) B )  .x.  X
)  =  ( ( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  ( B  .x.  X ) ) )
3023, 29eqtr3d 2421 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( inv g `  F ) `
 B )  .x.  X )  =  ( ( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  ( B  .x.  X ) ) )
3130oveq2d 6036 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X ) ( +g  `  W ) ( ( ( inv g `  F ) `  B
)  .x.  X )
)  =  ( ( A  .x.  X ) ( +g  `  W
) ( ( ( inv g `  F
) `  ( 1r `  F ) )  .x.  ( B  .x.  X ) ) ) )
3219, 31eqtrd 2419 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A ( +g  `  F ) ( ( inv g `  F ) `  B
) )  .x.  X
)  =  ( ( A  .x.  X ) ( +g  `  W
) ( ( ( inv g `  F
) `  ( 1r `  F ) )  .x.  ( B  .x.  X ) ) ) )
33 lmodsubdir.s . . . . 5  |-  S  =  ( -g `  F
)
349, 17, 10, 33grpsubval 14775 . . . 4  |-  ( ( A  e.  K  /\  B  e.  K )  ->  ( A S B )  =  ( A ( +g  `  F
) ( ( inv g `  F ) `
 B ) ) )
352, 8, 34syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A S B )  =  ( A ( +g  `  F
) ( ( inv g `  F ) `
 B ) ) )
3635oveq1d 6035 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A S B )  .x.  X
)  =  ( ( A ( +g  `  F
) ( ( inv g `  F ) `
 B ) ) 
.x.  X ) )
3714, 3, 16, 9lmodvscl 15894 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( A  .x.  X )  e.  V )
381, 2, 13, 37syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  X
)  e.  V )
3914, 3, 16, 9lmodvscl 15894 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( B  .x.  X )  e.  V )
401, 8, 13, 39syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  .x.  X
)  e.  V )
41 lmodsubdir.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  W )
4214, 15, 41, 3, 16, 10, 21lmodvsubval2 15926 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( A  .x.  X )  e.  V  /\  ( B 
.x.  X )  e.  V )  ->  (
( A  .x.  X
)  .-  ( B  .x.  X ) )  =  ( ( A  .x.  X ) ( +g  `  W ) ( ( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  ( B  .x.  X ) ) ) )
431, 38, 40, 42syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  .-  ( B  .x.  X ) )  =  ( ( A 
.x.  X ) ( +g  `  W ) ( ( ( inv g `  F ) `
 ( 1r `  F ) )  .x.  ( B  .x.  X ) ) ) )
4432, 36, 433eqtr4d 2429 1  |-  ( ph  ->  ( ( A S B )  .x.  X
)  =  ( ( A  .x.  X ) 
.-  ( B  .x.  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   Basecbs 13396   +g cplusg 13456   .rcmulr 13457  Scalarcsca 13459   .scvsca 13460   Grpcgrp 14612   inv gcminusg 14613   -gcsg 14615   Ringcrg 15587   1rcur 15589   LModclmod 15877
This theorem is referenced by:  lvecvscan2  16111  nlmdsdir  18589  clmsubdir  18990
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-plusg 13469  df-0g 13654  df-mnd 14617  df-grp 14739  df-minusg 14740  df-sbg 14741  df-mgp 15576  df-rng 15590  df-ur 15592  df-lmod 15879
  Copyright terms: Public domain W3C validator