MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodsubdir Structured version   Unicode version

Theorem lmodsubdir 15994
Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (hvsubdistr2 22544 analog.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodsubdir.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lmodsubdir.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lmodsubdir.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lmodsubdir.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
lmodsubdir.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
lmodsubdir.s  |-  S  =  ( -g `  F
)
lmodsubdir.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lmodsubdir.a  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
lmodsubdir.b  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
lmodsubdir.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lmodsubdir  |-  ( ph  ->  ( ( A S B )  .x.  X
)  =  ( ( A  .x.  X ) 
.-  ( B  .x.  X ) ) )

Proof of Theorem lmodsubdir
StepHypRef Expression
1 lmodsubdir.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 lmodsubdir.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
3 lmodsubdir.f . . . . . . . 8  |-  F  =  (Scalar `  W )
43lmodrng 15950 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  e. 
Ring )
51, 4syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  Ring )
6 rnggrp 15661 . . . . . 6  |-  ( F  e.  Ring  ->  F  e. 
Grp )
75, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  Grp )
8 lmodsubdir.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
9 lmodsubdir.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Base `  F
)
10 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( inv g `  F )  =  ( inv g `  F )
119, 10grpinvcl 14842 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  Grp  /\  B  e.  K )  ->  ( ( inv g `  F ) `  B
)  e.  K )
127, 8, 11syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  F ) `  B
)  e.  K )
13 lmodsubdir.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
14 lmodsubdir.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
15 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
16 lmodsubdir.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
17 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( +g  `  F )  =  ( +g  `  F )
1814, 15, 3, 16, 9, 17lmodvsdir 15966 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( A  e.  K  /\  ( ( inv g `  F ) `  B
)  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( ( A ( +g  `  F
) ( ( inv g `  F ) `
 B ) ) 
.x.  X )  =  ( ( A  .x.  X ) ( +g  `  W ) ( ( ( inv g `  F ) `  B
)  .x.  X )
) )
191, 2, 12, 13, 18syl13anc 1186 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A ( +g  `  F ) ( ( inv g `  F ) `  B
) )  .x.  X
)  =  ( ( A  .x.  X ) ( +g  `  W
) ( ( ( inv g `  F
) `  B )  .x.  X ) ) )
20 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  F )  =  ( .r `  F
)
21 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  F )  =  ( 1r `  F
)
229, 20, 21, 10, 5, 8rngnegl 15695 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( inv g `  F ) `
 ( 1r `  F ) ) ( .r `  F ) B )  =  ( ( inv g `  F ) `  B
) )
2322oveq1d 6088 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( inv g `  F
) `  ( 1r `  F ) ) ( .r `  F ) B )  .x.  X
)  =  ( ( ( inv g `  F ) `  B
)  .x.  X )
)
249, 21rngidcl 15676 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  Ring  ->  ( 1r
`  F )  e.  K )
255, 24syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1r `  F
)  e.  K )
269, 10grpinvcl 14842 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  Grp  /\  ( 1r `  F )  e.  K )  -> 
( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) )  e.  K )
277, 25, 26syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) )  e.  K )
2814, 3, 16, 9, 20lmodvsass 15967 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) )  e.  K  /\  B  e.  K  /\  X  e.  V ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  F
) `  ( 1r `  F ) ) ( .r `  F ) B )  .x.  X
)  =  ( ( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  ( B  .x.  X ) ) )
291, 27, 8, 13, 28syl13anc 1186 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( inv g `  F
) `  ( 1r `  F ) ) ( .r `  F ) B )  .x.  X
)  =  ( ( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  ( B  .x.  X ) ) )
3023, 29eqtr3d 2469 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( inv g `  F ) `
 B )  .x.  X )  =  ( ( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  ( B  .x.  X ) ) )
3130oveq2d 6089 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X ) ( +g  `  W ) ( ( ( inv g `  F ) `  B
)  .x.  X )
)  =  ( ( A  .x.  X ) ( +g  `  W
) ( ( ( inv g `  F
) `  ( 1r `  F ) )  .x.  ( B  .x.  X ) ) ) )
3219, 31eqtrd 2467 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A ( +g  `  F ) ( ( inv g `  F ) `  B
) )  .x.  X
)  =  ( ( A  .x.  X ) ( +g  `  W
) ( ( ( inv g `  F
) `  ( 1r `  F ) )  .x.  ( B  .x.  X ) ) ) )
33 lmodsubdir.s . . . . 5  |-  S  =  ( -g `  F
)
349, 17, 10, 33grpsubval 14840 . . . 4  |-  ( ( A  e.  K  /\  B  e.  K )  ->  ( A S B )  =  ( A ( +g  `  F
) ( ( inv g `  F ) `
 B ) ) )
352, 8, 34syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A S B )  =  ( A ( +g  `  F
) ( ( inv g `  F ) `
 B ) ) )
3635oveq1d 6088 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A S B )  .x.  X
)  =  ( ( A ( +g  `  F
) ( ( inv g `  F ) `
 B ) ) 
.x.  X ) )
3714, 3, 16, 9lmodvscl 15959 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( A  .x.  X )  e.  V )
381, 2, 13, 37syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  X
)  e.  V )
3914, 3, 16, 9lmodvscl 15959 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( B  .x.  X )  e.  V )
401, 8, 13, 39syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  .x.  X
)  e.  V )
41 lmodsubdir.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  W )
4214, 15, 41, 3, 16, 10, 21lmodvsubval2 15991 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( A  .x.  X )  e.  V  /\  ( B 
.x.  X )  e.  V )  ->  (
( A  .x.  X
)  .-  ( B  .x.  X ) )  =  ( ( A  .x.  X ) ( +g  `  W ) ( ( ( inv g `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  ( B  .x.  X ) ) ) )
431, 38, 40, 42syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  .-  ( B  .x.  X ) )  =  ( ( A 
.x.  X ) ( +g  `  W ) ( ( ( inv g `  F ) `
 ( 1r `  F ) )  .x.  ( B  .x.  X ) ) ) )
4432, 36, 433eqtr4d 2477 1  |-  ( ph  ->  ( ( A S B )  .x.  X
)  =  ( ( A  .x.  X ) 
.-  ( B  .x.  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   +g cplusg 13521   .rcmulr 13522  Scalarcsca 13524   .scvsca 13525   Grpcgrp 14677   inv gcminusg 14678   -gcsg 14680   Ringcrg 15652   1rcur 15654   LModclmod 15942
This theorem is referenced by:  lvecvscan2  16176  nlmdsdir  18710  clmsubdir  19111
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-plusg 13534  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-lmod 15944
  Copyright terms: Public domain W3C validator