MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodsubeq0 Structured version   Unicode version

Theorem lmodsubeq0 16003
Description: If the difference between two vectors is zero, they are equal. (hvsubeq0 22570 analog.) (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodsubeq0.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lmodsubeq0.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lmodsubeq0.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
Assertion
Ref Expression
lmodsubeq0  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( A  .-  B
)  =  .0.  <->  A  =  B ) )

Proof of Theorem lmodsubeq0
StepHypRef Expression
1 lmodgrp 15957 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
2 lmodsubeq0.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 lmodsubeq0.o . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
4 lmodsubeq0.m . . 3  |-  .-  =  ( -g `  W )
52, 3, 4grpsubeq0 14875 . 2  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( ( A  .-  B )  =  .0.  <->  A  =  B ) )
61, 5syl3an1 1217 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( A  .-  B
)  =  .0.  <->  A  =  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469   0gc0g 13723   Grpcgrp 14685   -gcsg 14688   LModclmod 15950
This theorem is referenced by:  lvecvscan  16183  lvecvscan2  16184  lspsnsubn0  16212  lclkrlem2p  32320  lcfrlem31  32371  hdmaprnlem9N  32658
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-lmod 15952
  Copyright terms: Public domain W3C validator