MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodsubvs Structured version   Unicode version

Theorem lmodsubvs 16002
Description: Subtraction of a scalar product in terms of addition. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodsubvs.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lmodsubvs.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lmodsubvs.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
lmodsubvs.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lmodsubvs.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lmodsubvs.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
lmodsubvs.n  |-  N  =  ( inv g `  F )
lmodsubvs.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lmodsubvs.a  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
lmodsubvs.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lmodsubvs.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lmodsubvs  |-  ( ph  ->  ( X  .-  ( A  .x.  Y ) )  =  ( X  .+  ( ( N `  A )  .x.  Y
) ) )

Proof of Theorem lmodsubvs
StepHypRef Expression
1 lmodsubvs.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 lmodsubvs.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
3 lmodsubvs.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
4 lmodsubvs.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
5 lmodsubvs.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
6 lmodsubvs.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
7 lmodsubvs.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
8 lmodsubvs.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  F
)
95, 6, 7, 8lmodvscl 15969 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  e.  K  /\  Y  e.  V )  ->  ( A  .x.  Y )  e.  V )
101, 3, 4, 9syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  Y
)  e.  V )
11 lmodsubvs.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  W )
12 lmodsubvs.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  W )
13 lmodsubvs.n . . . 4  |-  N  =  ( inv g `  F )
14 eqid 2438 . . . 4  |-  ( 1r
`  F )  =  ( 1r `  F
)
155, 11, 12, 6, 7, 13, 14lmodvsubval2 16001 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  ( A  .x.  Y )  e.  V )  ->  ( X  .-  ( A  .x.  Y ) )  =  ( X  .+  (
( N `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  ( A  .x.  Y ) ) ) )
161, 2, 10, 15syl3anc 1185 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .-  ( A  .x.  Y ) )  =  ( X  .+  ( ( N `  ( 1r `  F ) )  .x.  ( A 
.x.  Y ) ) ) )
176lmodrng 15960 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  e. 
Ring )
181, 17syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  Ring )
19 rnggrp 15671 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  Ring  ->  F  e. 
Grp )
2018, 19syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  Grp )
218, 14rngidcl 15686 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  Ring  ->  ( 1r
`  F )  e.  K )
2218, 21syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1r `  F
)  e.  K )
238, 13grpinvcl 14852 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  Grp  /\  ( 1r `  F )  e.  K )  -> 
( N `  ( 1r `  F ) )  e.  K )
2420, 22, 23syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  ( 1r `  F ) )  e.  K )
25 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( .r
`  F )  =  ( .r `  F
)
265, 6, 7, 8, 25lmodvsass 15977 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( N `  ( 1r `  F ) )  e.  K  /\  A  e.  K  /\  Y  e.  V ) )  -> 
( ( ( N `
 ( 1r `  F ) ) ( .r `  F ) A )  .x.  Y
)  =  ( ( N `  ( 1r
`  F ) ) 
.x.  ( A  .x.  Y ) ) )
271, 24, 3, 4, 26syl13anc 1187 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 ( 1r `  F ) ) ( .r `  F ) A )  .x.  Y
)  =  ( ( N `  ( 1r
`  F ) ) 
.x.  ( A  .x.  Y ) ) )
288, 25, 14, 13, 18, 3rngnegl 15705 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  ( 1r `  F ) ) ( .r `  F ) A )  =  ( N `  A ) )
2928oveq1d 6098 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 ( 1r `  F ) ) ( .r `  F ) A )  .x.  Y
)  =  ( ( N `  A ) 
.x.  Y ) )
3027, 29eqtr3d 2472 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  ( 1r `  F ) )  .x.  ( A 
.x.  Y ) )  =  ( ( N `
 A )  .x.  Y ) )
3130oveq2d 6099 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .+  (
( N `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  ( A  .x.  Y ) ) )  =  ( X  .+  ( ( N `  A )  .x.  Y
) ) )
3216, 31eqtrd 2470 1  |-  ( ph  ->  ( X  .-  ( A  .x.  Y ) )  =  ( X  .+  ( ( N `  A )  .x.  Y
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Basecbs 13471   +g cplusg 13531   .rcmulr 13532  Scalarcsca 13534   .scvsca 13535   Grpcgrp 14687   inv gcminusg 14688   -gcsg 14690   Ringcrg 15662   1rcur 15664   LModclmod 15952
This theorem is referenced by:  lspexch  16203  baerlem5alem1  32508  baerlem5blem1  32509
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-plusg 13544  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-lmod 15954
  Copyright terms: Public domain W3C validator