MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvacl Unicode version

Theorem lmodvacl 15919
Description: Closure of vector addition for a left module. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvacl.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lmodvacl.a  |-  .+  =  ( +g  `  W )
Assertion
Ref Expression
lmodvacl  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .+  Y )  e.  V )

Proof of Theorem lmodvacl
StepHypRef Expression
1 lmodgrp 15912 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
2 lmodvacl.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 lmodvacl.a . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  W )
42, 3grpcl 14773 . 2  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .+  Y
)  e.  V )
51, 4syl3an1 1217 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .+  Y )  e.  V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   Grpcgrp 14640   LModclmod 15905
This theorem is referenced by:  lmodcom  15945  lmodvsghm  15960  lss1  15970  lspprabs  16122  lspabs2  16147  lspabs3  16148  lspfixed  16155  lspexch  16156  lspsolvlem  16169  ipdir  16825  ipdi  16826  ip2di  16827  ocvlss  16854  nmparlem  19149  minveclem2  19280  frlmup1  27118  lsatfixedN  29492  lfl0f  29552  lfladdcl  29554  lflnegcl  29558  lflvscl  29560  lkrlss  29578  lshpkrlem5  29597  lshpkrlem6  29598  dvh3dim2  31931  dvh3dim3N  31932  lcfrlem17  32042  lcfrlem19  32044  lcfrlem20  32045  lcfrlem23  32048  baerlem3lem1  32190  baerlem5alem1  32191  baerlem5blem1  32192  baerlem5alem2  32194  baerlem5blem2  32195  mapdindp0  32202  mapdindp2  32204  mapdindp4  32206  mapdh6lem2N  32217  mapdh6aN  32218  mapdh6dN  32222  mapdh6eN  32223  mapdh6hN  32226  hdmap1l6lem2  32292  hdmap1l6a  32293  hdmap1l6d  32297  hdmap1l6e  32298  hdmap1l6h  32301  hdmap11lem1  32327  hdmap11lem2  32328  hdmapneg  32332  hdmaprnlem3N  32336  hdmaprnlem3uN  32337  hdmaprnlem6N  32340  hdmaprnlem7N  32341  hdmaprnlem9N  32343  hdmaprnlem3eN  32344  hdmap14lem10  32363  hdmapinvlem3  32406  hdmapinvlem4  32407  hdmapglem7b  32414  hlhilphllem  32445
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-nul 4298  ax-pow 4337
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-iota 5377  df-fv 5421  df-ov 6043  df-mnd 14645  df-grp 14767  df-lmod 15907
  Copyright terms: Public domain W3C validator