MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvacl Unicode version

Theorem lmodvacl 15641
Description: Closure of vector addition for a left module. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvacl.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lmodvacl.a  |-  .+  =  ( +g  `  W )
Assertion
Ref Expression
lmodvacl  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .+  Y )  e.  V )

Proof of Theorem lmodvacl
StepHypRef Expression
1 lmodgrp 15634 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
2 lmodvacl.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 lmodvacl.a . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  W )
42, 3grpcl 14495 . 2  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .+  Y
)  e.  V )
51, 4syl3an1 1215 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .+  Y )  e.  V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   Grpcgrp 14362   LModclmod 15627
This theorem is referenced by:  lmodcom  15671  lmodvsghm  15686  lss1  15696  lspprabs  15848  lspabs2  15873  lspabs3  15874  lspfixed  15881  lspexch  15882  lspsolvlem  15895  ipdir  16543  ipdi  16544  ip2di  16545  ocvlss  16572  nmparlem  18669  minveclem2  18790  frlmup1  27250  lsatfixedN  29199  lfl0f  29259  lfladdcl  29261  lflnegcl  29265  lflvscl  29267  lkrlss  29285  lshpkrlem5  29304  lshpkrlem6  29305  dvh3dim2  31638  dvh3dim3N  31639  lcfrlem17  31749  lcfrlem19  31751  lcfrlem20  31752  lcfrlem23  31755  baerlem3lem1  31897  baerlem5alem1  31898  baerlem5blem1  31899  baerlem5alem2  31901  baerlem5blem2  31902  mapdindp0  31909  mapdindp2  31911  mapdindp4  31913  mapdh6lem2N  31924  mapdh6aN  31925  mapdh6dN  31929  mapdh6eN  31930  mapdh6hN  31933  hdmap1l6lem2  31999  hdmap1l6a  32000  hdmap1l6d  32004  hdmap1l6e  32005  hdmap1l6h  32008  hdmap11lem1  32034  hdmap11lem2  32035  hdmapneg  32039  hdmaprnlem3N  32043  hdmaprnlem3uN  32044  hdmaprnlem6N  32047  hdmaprnlem7N  32048  hdmaprnlem9N  32050  hdmaprnlem3eN  32051  hdmap14lem10  32070  hdmapinvlem3  32113  hdmapinvlem4  32114  hdmapglem7b  32121  hlhilphllem  32152
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-nul 4149  ax-pow 4188
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-iota 5219  df-fv 5263  df-ov 5861  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-lmod 15629
  Copyright terms: Public domain W3C validator