MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvacl Unicode version

Theorem lmodvacl 15851
Description: Closure of vector addition for a left module. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvacl.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lmodvacl.a  |-  .+  =  ( +g  `  W )
Assertion
Ref Expression
lmodvacl  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .+  Y )  e.  V )

Proof of Theorem lmodvacl
StepHypRef Expression
1 lmodgrp 15844 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
2 lmodvacl.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 lmodvacl.a . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  W )
42, 3grpcl 14705 . 2  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .+  Y
)  e.  V )
51, 4syl3an1 1216 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .+  Y )  e.  V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 935    = wceq 1647    e. wcel 1715   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   Basecbs 13356   +g cplusg 13416   Grpcgrp 14572   LModclmod 15837
This theorem is referenced by:  lmodcom  15881  lmodvsghm  15896  lss1  15906  lspprabs  16058  lspabs2  16083  lspabs3  16084  lspfixed  16091  lspexch  16092  lspsolvlem  16105  ipdir  16760  ipdi  16761  ip2di  16762  ocvlss  16789  nmparlem  18884  minveclem2  19005  frlmup1  26756  lsatfixedN  29270  lfl0f  29330  lfladdcl  29332  lflnegcl  29336  lflvscl  29338  lkrlss  29356  lshpkrlem5  29375  lshpkrlem6  29376  dvh3dim2  31709  dvh3dim3N  31710  lcfrlem17  31820  lcfrlem19  31822  lcfrlem20  31823  lcfrlem23  31826  baerlem3lem1  31968  baerlem5alem1  31969  baerlem5blem1  31970  baerlem5alem2  31972  baerlem5blem2  31973  mapdindp0  31980  mapdindp2  31982  mapdindp4  31984  mapdh6lem2N  31995  mapdh6aN  31996  mapdh6dN  32000  mapdh6eN  32001  mapdh6hN  32004  hdmap1l6lem2  32070  hdmap1l6a  32071  hdmap1l6d  32075  hdmap1l6e  32076  hdmap1l6h  32079  hdmap11lem1  32105  hdmap11lem2  32106  hdmapneg  32110  hdmaprnlem3N  32114  hdmaprnlem3uN  32115  hdmaprnlem6N  32118  hdmaprnlem7N  32119  hdmaprnlem9N  32121  hdmaprnlem3eN  32122  hdmap14lem10  32141  hdmapinvlem3  32184  hdmapinvlem4  32185  hdmapglem7b  32192  hlhilphllem  32223
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-nul 4251  ax-pow 4290
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-ral 2633  df-rex 2634  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-br 4126  df-iota 5322  df-fv 5366  df-ov 5984  df-mnd 14577  df-grp 14699  df-lmod 15839
  Copyright terms: Public domain W3C validator