MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvacl Structured version   Unicode version

Theorem lmodvacl 15969
Description: Closure of vector addition for a left module. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvacl.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lmodvacl.a  |-  .+  =  ( +g  `  W )
Assertion
Ref Expression
lmodvacl  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .+  Y )  e.  V )

Proof of Theorem lmodvacl
StepHypRef Expression
1 lmodgrp 15962 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
2 lmodvacl.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 lmodvacl.a . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  W )
42, 3grpcl 14823 . 2  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .+  Y
)  e.  V )
51, 4syl3an1 1218 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .+  Y )  e.  V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   Basecbs 13474   +g cplusg 13534   Grpcgrp 14690   LModclmod 15955
This theorem is referenced by:  lmodcom  15995  lmodvsghm  16010  lss1  16020  lspprabs  16172  lspabs2  16197  lspabs3  16198  lspfixed  16205  lspexch  16206  lspsolvlem  16219  ipdir  16875  ipdi  16876  ip2di  16877  ocvlss  16904  nmparlem  19201  minveclem2  19332  frlmup1  27241  lsatfixedN  29881  lfl0f  29941  lfladdcl  29943  lflnegcl  29947  lflvscl  29949  lkrlss  29967  lshpkrlem5  29986  lshpkrlem6  29987  dvh3dim2  32320  dvh3dim3N  32321  lcfrlem17  32431  lcfrlem19  32433  lcfrlem20  32434  lcfrlem23  32437  baerlem3lem1  32579  baerlem5alem1  32580  baerlem5blem1  32581  baerlem5alem2  32583  baerlem5blem2  32584  mapdindp0  32591  mapdindp2  32593  mapdindp4  32595  mapdh6lem2N  32606  mapdh6aN  32607  mapdh6dN  32611  mapdh6eN  32612  mapdh6hN  32615  hdmap1l6lem2  32681  hdmap1l6a  32682  hdmap1l6d  32686  hdmap1l6e  32687  hdmap1l6h  32690  hdmap11lem1  32716  hdmap11lem2  32717  hdmapneg  32721  hdmaprnlem3N  32725  hdmaprnlem3uN  32726  hdmaprnlem6N  32729  hdmaprnlem7N  32730  hdmaprnlem9N  32732  hdmaprnlem3eN  32733  hdmap14lem10  32752  hdmapinvlem3  32795  hdmapinvlem4  32796  hdmapglem7b  32803  hlhilphllem  32834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-nul 4341  ax-pow 4380
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-iota 5421  df-fv 5465  df-ov 6087  df-mnd 14695  df-grp 14817  df-lmod 15957
  Copyright terms: Public domain W3C validator