Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvneg1 Unicode version

Theorem lmodvneg1 15766
 Description: Minus 1 times a vector is the negative of the vector. Equation 2 of [Kreyszig] p. 51. (Contributed by NM, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvneg1.v
lmodvneg1.n
lmodvneg1.f Scalar
lmodvneg1.s
lmodvneg1.u
lmodvneg1.m
Assertion
Ref Expression
lmodvneg1

Proof of Theorem lmodvneg1
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . . 4
2 lmodvneg1.f . . . . . . 7 Scalar
32lmodfgrp 15735 . . . . . 6
43adantr 451 . . . . 5
5 eqid 2358 . . . . . . 7
6 lmodvneg1.u . . . . . . 7
72, 5, 6lmod1cl 15756 . . . . . 6
87adantr 451 . . . . 5
9 lmodvneg1.m . . . . . 6
105, 9grpinvcl 14626 . . . . 5
114, 8, 10syl2anc 642 . . . 4
12 simpr 447 . . . 4
13 lmodvneg1.v . . . . 5
14 lmodvneg1.s . . . . 5
1513, 2, 14, 5lmodvscl 15743 . . . 4
161, 11, 12, 15syl3anc 1182 . . 3
17 eqid 2358 . . . 4
18 eqid 2358 . . . 4
1913, 17, 18lmod0vrid 15760 . . 3
2016, 19syldan 456 . 2
21 lmodvneg1.n . . . . . 6
2213, 21lmodvnegcl 15764 . . . . 5
2313, 17lmodass 15741 . . . . 5
241, 16, 12, 22, 23syl13anc 1184 . . . 4
2513, 2, 14, 6lmodvs1 15757 . . . . . . 7
2625oveq2d 5961 . . . . . 6
27 eqid 2358 . . . . . . . . . 10
28 eqid 2358 . . . . . . . . . 10
295, 27, 28, 9grplinv 14627 . . . . . . . . 9
304, 8, 29syl2anc 642 . . . . . . . 8
3130oveq1d 5960 . . . . . . 7
3213, 17, 2, 14, 5, 27lmodvsdir 15751 . . . . . . . 8
331, 11, 8, 12, 32syl13anc 1184 . . . . . . 7
3413, 2, 14, 28, 18lmod0vs 15762 . . . . . . 7
3531, 33, 343eqtr3d 2398 . . . . . 6
3626, 35eqtr3d 2392 . . . . 5
3736oveq1d 5960 . . . 4
3824, 37eqtr3d 2392 . . 3
3913, 17, 18, 21lmodvnegid 15765 . . . 4
4039oveq2d 5961 . . 3
4113, 17, 18lmod0vlid 15759 . . . 4
4222, 41syldan 456 . . 3
4338, 40, 423eqtr3d 2398 . 2
4420, 43eqtr3d 2392 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1642   wcel 1710  cfv 5337  (class class class)co 5945  cbs 13245   cplusg 13305  Scalarcsca 13308  cvsca 13309  c0g 13499  cgrp 14461  cminusg 14462  cur 15438  clmod 15726 This theorem is referenced by:  lmodvsnegOLD  15767  lmodvsneg  15768  lmodvsubval2  15779  lssvnegcl  15812  lspsnneg  15862  lmodvsinv  15892  lspsolvlem  15994  tlmtgp  17980  clmvneg1  18693  deg1invg  19596 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-2 9894  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-plusg 13318  df-0g 13503  df-mnd 14466  df-grp 14588  df-minusg 14589  df-mgp 15425  df-rng 15439  df-ur 15441  df-lmod 15728
 Copyright terms: Public domain W3C validator