MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvpncan Unicode version

Theorem lmodvpncan 15694
Description: Addition/subtraction cancellation law for vectors. (hvpncan 21634 analog.) (Contributed by NM, 16-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmod4.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lmod4.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lmodvaddsub4.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
Assertion
Ref Expression
lmodvpncan  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( A  .+  B
)  .-  B )  =  A )

Proof of Theorem lmodvpncan
StepHypRef Expression
1 lmodgrp 15650 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
2 lmod4.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 lmod4.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  W )
4 lmodvaddsub4.m . . 3  |-  .-  =  ( -g `  W )
52, 3, 4grppncan 14572 . 2  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( ( A  .+  B )  .-  B
)  =  A )
61, 5syl3an1 1215 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( A  .+  B
)  .-  B )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   Grpcgrp 14378   -gcsg 14381   LModclmod 15643
This theorem is referenced by:  lspsolv  15912
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-lmod 15645
  Copyright terms: Public domain W3C validator