MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvsinv Unicode version

Theorem lmodvsinv 16041
Description: Multiplication of a vector by a negated scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvsinv.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
lmodvsinv.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lmodvsinv.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lmodvsinv.n  |-  N  =  ( inv g `  W )
lmodvsinv.m  |-  M  =  ( inv g `  F )
lmodvsinv.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
Assertion
Ref Expression
lmodvsinv  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  (
( M `  R
)  .x.  X )  =  ( N `  ( R  .x.  X ) ) )

Proof of Theorem lmodvsinv
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  W  e.  LMod )
2 lmodvsinv.f . . . . . . 7  |-  F  =  (Scalar `  W )
32lmodrng 15887 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  e. 
Ring )
433ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  F  e.  Ring )
5 rnggrp 15598 . . . . 5  |-  ( F  e.  Ring  ->  F  e. 
Grp )
64, 5syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  F  e.  Grp )
7 lmodvsinv.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Base `  F
)
8 eqid 2389 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  F )  =  ( 1r `  F
)
97, 8rngidcl 15613 . . . . 5  |-  ( F  e.  Ring  ->  ( 1r
`  F )  e.  K )
104, 9syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  ( 1r `  F )  e.  K )
11 lmodvsinv.m . . . . 5  |-  M  =  ( inv g `  F )
127, 11grpinvcl 14779 . . . 4  |-  ( ( F  e.  Grp  /\  ( 1r `  F )  e.  K )  -> 
( M `  ( 1r `  F ) )  e.  K )
136, 10, 12syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  ( M `  ( 1r `  F ) )  e.  K )
14 simp2 958 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  R  e.  K )
15 simp3 959 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  B )
16 lmodvsinv.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  W
)
17 lmodvsinv.s . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  W )
18 eqid 2389 . . . 4  |-  ( .r
`  F )  =  ( .r `  F
)
1916, 2, 17, 7, 18lmodvsass 15904 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( M `  ( 1r `  F ) )  e.  K  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B ) )  -> 
( ( ( M `
 ( 1r `  F ) ) ( .r `  F ) R )  .x.  X
)  =  ( ( M `  ( 1r
`  F ) ) 
.x.  ( R  .x.  X ) ) )
201, 13, 14, 15, 19syl13anc 1186 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  (
( ( M `  ( 1r `  F ) ) ( .r `  F ) R ) 
.x.  X )  =  ( ( M `  ( 1r `  F ) )  .x.  ( R 
.x.  X ) ) )
217, 18, 8, 11, 4, 14rngnegl 15632 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  (
( M `  ( 1r `  F ) ) ( .r `  F
) R )  =  ( M `  R
) )
2221oveq1d 6037 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  (
( ( M `  ( 1r `  F ) ) ( .r `  F ) R ) 
.x.  X )  =  ( ( M `  R )  .x.  X
) )
2316, 2, 17, 7lmodvscl 15896 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  ( R  .x.  X )  e.  B )
24 lmodvsinv.n . . . 4  |-  N  =  ( inv g `  W )
2516, 24, 2, 17, 8, 11lmodvneg1 15916 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( R  .x.  X )  e.  B )  ->  (
( M `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  ( R  .x.  X ) )  =  ( N `  ( R  .x.  X ) ) )
261, 23, 25syl2anc 643 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  (
( M `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  ( R  .x.  X ) )  =  ( N `  ( R  .x.  X ) ) )
2720, 22, 263eqtr3d 2429 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  (
( M `  R
)  .x.  X )  =  ( N `  ( R  .x.  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   Basecbs 13398   .rcmulr 13459  Scalarcsca 13461   .scvsca 13462   Grpcgrp 14614   inv gcminusg 14615   Ringcrg 15589   1rcur 15591   LModclmod 15879
This theorem is referenced by:  islindf4  26979
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-2 9992  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-plusg 13471  df-0g 13656  df-mnd 14619  df-grp 14741  df-minusg 14742  df-mgp 15578  df-rng 15592  df-ur 15594  df-lmod 15881
  Copyright terms: Public domain W3C validator