MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvsinv2 Unicode version

Theorem lmodvsinv2 16041
Description: Multiplying a negated vector by a scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvsinv2.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
lmodvsinv2.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lmodvsinv2.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lmodvsinv2.n  |-  N  =  ( inv g `  W )
lmodvsinv2.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
Assertion
Ref Expression
lmodvsinv2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  ( R  .x.  ( N `  X ) )  =  ( N `  ( R  .x.  X ) ) )

Proof of Theorem lmodvsinv2
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  W  e.  LMod )
2 lmodgrp 15885 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
31, 2syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  W  e.  Grp )
4 simp3 959 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  B )
5 lmodvsinv2.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  W
)
6 eqid 2388 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
7 eqid 2388 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
8 lmodvsinv2.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( inv g `  W )
95, 6, 7, 8grprinv 14780 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( X ( +g  `  W ) ( N `
 X ) )  =  ( 0g `  W ) )
103, 4, 9syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  ( X ( +g  `  W
) ( N `  X ) )  =  ( 0g `  W
) )
1110oveq2d 6037 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  ( R  .x.  ( X ( +g  `  W ) ( N `  X
) ) )  =  ( R  .x.  ( 0g `  W ) ) )
12 simp2 958 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  R  e.  K )
135, 8grpinvcl 14778 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X
)  e.  B )
143, 4, 13syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X )  e.  B )
15 lmodvsinv2.f . . . . . 6  |-  F  =  (Scalar `  W )
16 lmodvsinv2.s . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .s `  W )
17 lmodvsinv2.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Base `  F
)
185, 6, 15, 16, 17lmodvsdi 15901 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  B  /\  ( N `  X )  e.  B ) )  ->  ( R  .x.  ( X ( +g  `  W
) ( N `  X ) ) )  =  ( ( R 
.x.  X ) ( +g  `  W ) ( R  .x.  ( N `  X )
) ) )
191, 12, 4, 14, 18syl13anc 1186 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  ( R  .x.  ( X ( +g  `  W ) ( N `  X
) ) )  =  ( ( R  .x.  X ) ( +g  `  W ) ( R 
.x.  ( N `  X ) ) ) )
2015, 16, 17, 7lmodvs0 15912 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K )  ->  ( R  .x.  ( 0g `  W ) )  =  ( 0g `  W
) )
211, 12, 20syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  ( R  .x.  ( 0g `  W ) )  =  ( 0g `  W
) )
2211, 19, 213eqtr3d 2428 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  (
( R  .x.  X
) ( +g  `  W
) ( R  .x.  ( N `  X ) ) )  =  ( 0g `  W ) )
235, 15, 16, 17lmodvscl 15895 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  ( R  .x.  X )  e.  B )
245, 15, 16, 17lmodvscl 15895 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  ( N `  X )  e.  B )  ->  ( R  .x.  ( N `  X ) )  e.  B )
251, 12, 14, 24syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  ( R  .x.  ( N `  X ) )  e.  B )
265, 6, 7, 8grpinvid1 14781 . . . 4  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( R  .x.  X )  e.  B  /\  ( R  .x.  ( N `  X ) )  e.  B )  ->  (
( N `  ( R  .x.  X ) )  =  ( R  .x.  ( N `  X ) )  <->  ( ( R 
.x.  X ) ( +g  `  W ) ( R  .x.  ( N `  X )
) )  =  ( 0g `  W ) ) )
273, 23, 25, 26syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  (
( N `  ( R  .x.  X ) )  =  ( R  .x.  ( N `  X ) )  <->  ( ( R 
.x.  X ) ( +g  `  W ) ( R  .x.  ( N `  X )
) )  =  ( 0g `  W ) ) )
2822, 27mpbird 224 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  ( R  .x.  X ) )  =  ( R  .x.  ( N `  X )
) )
2928eqcomd 2393 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  B )  ->  ( R  .x.  ( N `  X ) )  =  ( N `  ( R  .x.  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   Basecbs 13397   +g cplusg 13457  Scalarcsca 13460   .scvsca 13461   0gc0g 13651   Grpcgrp 14613   inv gcminusg 14614   LModclmod 15878
This theorem is referenced by:  invlmhm  16046
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-2 9991  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-plusg 13470  df-0g 13655  df-mnd 14618  df-grp 14740  df-minusg 14741  df-mgp 15577  df-rng 15591  df-lmod 15880
  Copyright terms: Public domain W3C validator