MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvsubcl Unicode version

Theorem lmodvsubcl 15670
Description: Closure of vector subtraction. (hvsubcl 21597 analog.) (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvsubcl.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lmodvsubcl.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
Assertion
Ref Expression
lmodvsubcl  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .-  Y )  e.  V )

Proof of Theorem lmodvsubcl
StepHypRef Expression
1 lmodgrp 15634 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
2 lmodvsubcl.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 lmodvsubcl.m . . 3  |-  .-  =  ( -g `  W )
42, 3grpsubcl 14546 . 2  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .-  Y
)  e.  V )
51, 4syl3an1 1215 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .-  Y )  e.  V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   Grpcgrp 14362   -gcsg 14365   LModclmod 15627
This theorem is referenced by:  lspsnsub  15764  lvecvscan  15864  ip2subdi  16548  ip2eq  16557  ipcau2  18664  nmparlem  18669  minveclem1  18788  minveclem2  18790  minveclem4  18796  minveclem6  18798  pjthlem1  18801  pjthlem2  18802  eqlkr  29289  lkrlsp  29292  mapdpglem1  31862  mapdpglem2  31863  mapdpglem5N  31867  mapdpglem8  31869  mapdpglem9  31870  mapdpglem13  31874  mapdpglem14  31875  mapdpglem27  31889  baerlem3lem2  31900  baerlem5alem2  31901  baerlem5blem2  31902  mapdheq4lem  31921  mapdh6lem1N  31923  mapdh6lem2N  31924  hdmap1l6lem1  31998  hdmap1l6lem2  31999  hdmap11  32041  hdmapinvlem4  32114
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-lmod 15629
  Copyright terms: Public domain W3C validator