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Theorem lmres 17287
Description: A function converges iff its restriction to an upper integers set converges. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lmres.2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
lmres.4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X 
^pm  CC ) )
lmres.5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
Assertion
Ref Expression
lmres  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
) ( ~~> t `  J ) P ) )

Proof of Theorem lmres
Dummy variables  j 
k  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmres.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 toponmax 16917 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
31, 2syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
4 cnex 9005 . . . . . 6  |-  CC  e.  _V
5 ssid 3311 . . . . . . 7  |-  X  C_  X
6 uzssz 10438 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
7 zsscn 10223 . . . . . . . 8  |-  ZZ  C_  CC
86, 7sstri 3301 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  CC
9 pmss12g 6977 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  C_  X  /\  ( ZZ>= `  M )  C_  CC )  /\  ( X  e.  J  /\  CC  e.  _V ) )  ->  ( X  ^pm  ( ZZ>= `  M )
)  C_  ( X  ^pm  CC ) )
105, 8, 9mpanl12 664 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  J  /\  CC  e.  _V )  -> 
( X  ^pm  ( ZZ>=
`  M ) ) 
C_  ( X  ^pm  CC ) )
113, 4, 10sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  ^pm  ( ZZ>=
`  M ) ) 
C_  ( X  ^pm  CC ) )
12 fvex 5683 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  M )  e.  _V
13 lmres.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X 
^pm  CC ) )
14 pmresg 6978 . . . . . 6  |-  ( ( ( ZZ>= `  M )  e.  _V  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )  ->  ( F  |`  ( ZZ>= `  M
) )  e.  ( X  ^pm  ( ZZ>= `  M ) ) )
1512, 13, 14sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( ZZ>=
`  M ) )  e.  ( X  ^pm  ( ZZ>= `  M )
) )
1611, 15sseldd 3293 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( ZZ>=
`  M ) )  e.  ( X  ^pm  CC ) )
1716, 132thd 232 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
)  e.  ( X 
^pm  CC )  <->  F  e.  ( X  ^pm  CC ) ) )
18 eqid 2388 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  M )
1918uztrn2 10436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
20 dmres 5108 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M
) )  =  ( ( ZZ>= `  M )  i^i  dom  F )
2120elin2 3475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
)  <->  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  dom  F ) )
2221baib 872 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  e.  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
)  <->  k  e.  dom  F ) )
23 fvres 5686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  M
) ) `  k
)  =  ( F `
 k ) )
2423eleq1d 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( F  |`  ( ZZ>=
`  M ) ) `
 k )  e.  u  <->  ( F `  k )  e.  u
) )
2522, 24anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
k  e.  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M
) )  /\  (
( F  |`  ( ZZ>=
`  M ) ) `
 k )  e.  u )  <->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u ) ) )
2619, 25syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
k  e.  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M
) )  /\  (
( F  |`  ( ZZ>=
`  M ) ) `
 k )  e.  u )  <->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u ) ) )
2726ralbidva 2666 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
)  /\  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  M
) ) `  k
)  e.  u )  <->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) ) )
2827rexbiia 2683 . . . . . 6  |-  ( E. j  e.  ( ZZ>= `  M ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M ) )  /\  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
) `  k )  e.  u )  <->  E. j  e.  ( ZZ>= `  M ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) )
2928imbi2i 304 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  u  ->  E. j  e.  ( ZZ>=
`  M ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
)  /\  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  M
) ) `  k
)  e.  u ) )  <->  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  ( ZZ>= `  M ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) ) )
3029ralbii 2674 . . . 4  |-  ( A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  ( ZZ>= `  M ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M ) )  /\  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
) `  k )  e.  u ) )  <->  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  ( ZZ>= `  M ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) ) )
3130a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  ( ZZ>= `  M ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M
) )  /\  (
( F  |`  ( ZZ>=
`  M ) ) `
 k )  e.  u ) )  <->  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  ( ZZ>= `  M ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) ) ) )
3217, 313anbi13d 1256 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
)  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  ( ZZ>= `  M ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M
) )  /\  (
( F  |`  ( ZZ>=
`  M ) ) `
 k )  e.  u ) ) )  <-> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  (
ZZ>= `  M ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u ) ) ) ) )
33 lmres.5 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
341, 18, 33lmbr2 17246 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
) ( ~~> t `  J ) P  <->  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  M
) )  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  (
ZZ>= `  M ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
)  /\  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  M
) ) `  k
)  e.  u ) ) ) ) )
351, 18, 33lmbr2 17246 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  (
ZZ>= `  M ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u ) ) ) ) )
3632, 34, 353bitr4rd 278 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
) ( ~~> t `  J ) P ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1717   A.wral 2650   E.wrex 2651   _Vcvv 2900    C_ wss 3264   class class class wbr 4154   dom cdm 4819    |` cres 4821   ` cfv 5395  (class class class)co 6021    ^pm cpm 6956   CCcc 8922   ZZcz 10215   ZZ>=cuz 10421  TopOnctopon 16883   ~~> tclm 17213
This theorem is referenced by:  esumcvg  24273
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-er 6842  df-pm 6958  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-neg 9227  df-z 10216  df-uz 10422  df-top 16887  df-topon 16890  df-lm 17216
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