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Theorem lmres 17044
Description: A function converges iff its restriction to an upper integers set converges. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lmres.2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
lmres.4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X 
^pm  CC ) )
lmres.5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
Assertion
Ref Expression
lmres  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
) ( ~~> t `  J ) P ) )

Proof of Theorem lmres
Dummy variables  j 
k  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmres.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 toponmax 16682 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
31, 2syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
4 cnex 8834 . . . . . 6  |-  CC  e.  _V
5 ssid 3210 . . . . . . 7  |-  X  C_  X
6 uzssz 10263 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
7 zsscn 10048 . . . . . . . 8  |-  ZZ  C_  CC
86, 7sstri 3201 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  CC
9 pmss12g 6810 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  C_  X  /\  ( ZZ>= `  M )  C_  CC )  /\  ( X  e.  J  /\  CC  e.  _V ) )  ->  ( X  ^pm  ( ZZ>= `  M )
)  C_  ( X  ^pm  CC ) )
105, 8, 9mpanl12 663 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  J  /\  CC  e.  _V )  -> 
( X  ^pm  ( ZZ>=
`  M ) ) 
C_  ( X  ^pm  CC ) )
113, 4, 10sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  ^pm  ( ZZ>=
`  M ) ) 
C_  ( X  ^pm  CC ) )
12 fvex 5555 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  M )  e.  _V
13 lmres.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X 
^pm  CC ) )
14 pmresg 6811 . . . . . 6  |-  ( ( ( ZZ>= `  M )  e.  _V  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )  ->  ( F  |`  ( ZZ>= `  M
) )  e.  ( X  ^pm  ( ZZ>= `  M ) ) )
1512, 13, 14sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( ZZ>=
`  M ) )  e.  ( X  ^pm  ( ZZ>= `  M )
) )
1611, 15sseldd 3194 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( ZZ>=
`  M ) )  e.  ( X  ^pm  CC ) )
1716, 132thd 231 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
)  e.  ( X 
^pm  CC )  <->  F  e.  ( X  ^pm  CC ) ) )
18 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  M )
1918uztrn2 10261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
20 dmres 4992 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M
) )  =  ( ( ZZ>= `  M )  i^i  dom  F )
2120elin2 3372 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
)  <->  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  dom  F ) )
2221baib 871 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  e.  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
)  <->  k  e.  dom  F ) )
23 fvres 5558 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  M
) ) `  k
)  =  ( F `
 k ) )
2423eleq1d 2362 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( F  |`  ( ZZ>=
`  M ) ) `
 k )  e.  u  <->  ( F `  k )  e.  u
) )
2522, 24anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
k  e.  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M
) )  /\  (
( F  |`  ( ZZ>=
`  M ) ) `
 k )  e.  u )  <->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u ) ) )
2619, 25syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
k  e.  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M
) )  /\  (
( F  |`  ( ZZ>=
`  M ) ) `
 k )  e.  u )  <->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u ) ) )
2726ralbidva 2572 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
)  /\  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  M
) ) `  k
)  e.  u )  <->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) ) )
2827rexbiia 2589 . . . . . 6  |-  ( E. j  e.  ( ZZ>= `  M ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M ) )  /\  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
) `  k )  e.  u )  <->  E. j  e.  ( ZZ>= `  M ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) )
2928imbi2i 303 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  u  ->  E. j  e.  ( ZZ>=
`  M ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
)  /\  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  M
) ) `  k
)  e.  u ) )  <->  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  ( ZZ>= `  M ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) ) )
3029ralbii 2580 . . . 4  |-  ( A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  ( ZZ>= `  M ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M ) )  /\  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
) `  k )  e.  u ) )  <->  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  ( ZZ>= `  M ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) ) )
3130a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  ( ZZ>= `  M ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M
) )  /\  (
( F  |`  ( ZZ>=
`  M ) ) `
 k )  e.  u ) )  <->  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  ( ZZ>= `  M ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) ) ) )
3217, 313anbi13d 1254 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
)  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  ( ZZ>= `  M ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M
) )  /\  (
( F  |`  ( ZZ>=
`  M ) ) `
 k )  e.  u ) ) )  <-> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  (
ZZ>= `  M ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u ) ) ) ) )
33 lmres.5 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
341, 18, 33lmbr2 17005 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
) ( ~~> t `  J ) P  <->  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  M
) )  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  (
ZZ>= `  M ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
)  /\  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  M
) ) `  k
)  e.  u ) ) ) ) )
351, 18, 33lmbr2 17005 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  (
ZZ>= `  M ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u ) ) ) ) )
3632, 34, 353bitr4rd 277 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  |`  ( ZZ>= `  M )
) ( ~~> t `  J ) P ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   class class class wbr 4039   dom cdm 4705    |` cres 4707   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^pm cpm 6789   CCcc 8751   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246  TopOnctopon 16648   ~~> tclm 16972
This theorem is referenced by:  esumcvg  23469
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-neg 9056  df-z 10041  df-uz 10247  df-top 16652  df-topon 16655  df-lm 16975
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