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Theorem lmss 17026
Description: Limit on a subspace. (Contributed by NM, 30-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lmss.1  |-  K  =  ( Jt  Y )
lmss.2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
lmss.3  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lmss.4  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
lmss.5  |-  ( ph  ->  P  e.  Y )
lmss.6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
lmss.7  |-  ( ph  ->  F : Z --> Y )
Assertion
Ref Expression
lmss  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  F ( ~~> t `  K ) P ) )

Proof of Theorem lmss
Dummy variables  j 
k  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmss.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
2 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  U. J  =  U. J
32toptopon 16671 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
41, 3sylib 188 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
5 lmcl 17025 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  F
( ~~> t `  J
) P )  ->  P  e.  U. J )
64, 5sylan 457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  J ) P )  ->  P  e.  U. J )
7 lmfss 17024 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  F
( ~~> t `  J
) P )  ->  F  C_  ( CC  X.  U. J ) )
84, 7sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  J ) P )  ->  F  C_  ( CC  X.  U. J ) )
9 rnss 4907 . . . . . 6  |-  ( F 
C_  ( CC  X.  U. J )  ->  ran  F 
C_  ran  ( CC  X.  U. J ) )
108, 9syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  J ) P )  ->  ran  F 
C_  ran  ( CC  X.  U. J ) )
11 rnxpss 5108 . . . . 5  |-  ran  ( CC  X.  U. J ) 
C_  U. J
1210, 11syl6ss 3191 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  J ) P )  ->  ran  F 
C_  U. J )
136, 12jca 518 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )
1413ex 423 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  -> 
( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) ) )
15 inss2 3390 . . . . 5  |-  ( Y  i^i  U. J ) 
C_  U. J
16 lmss.1 . . . . . . 7  |-  K  =  ( Jt  Y )
17 lmss.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
18 resttopon2 16899 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  Y  e.  V )  ->  ( Jt  Y )  e.  (TopOn `  ( Y  i^i  U. J ) ) )
194, 17, 18syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Jt  Y )  e.  (TopOn `  ( Y  i^i  U. J ) ) )
2016, 19syl5eqel 2367 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  ( Y  i^i  U. J
) ) )
21 lmcl 17025 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  ( Y  i^i  U. J
) )  /\  F
( ~~> t `  K
) P )  ->  P  e.  ( Y  i^i  U. J ) )
2220, 21sylan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  K ) P )  ->  P  e.  ( Y  i^i  U. J ) )
2315, 22sseldi 3178 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  K ) P )  ->  P  e.  U. J )
24 lmfss 17024 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  ( Y  i^i  U. J
) )  /\  F
( ~~> t `  K
) P )  ->  F  C_  ( CC  X.  ( Y  i^i  U. J
) ) )
2520, 24sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  K ) P )  ->  F  C_  ( CC  X.  ( Y  i^i  U. J ) ) )
26 rnss 4907 . . . . . . 7  |-  ( F 
C_  ( CC  X.  ( Y  i^i  U. J
) )  ->  ran  F 
C_  ran  ( CC  X.  ( Y  i^i  U. J ) ) )
2725, 26syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  K ) P )  ->  ran  F 
C_  ran  ( CC  X.  ( Y  i^i  U. J ) ) )
28 rnxpss 5108 . . . . . 6  |-  ran  ( CC  X.  ( Y  i^i  U. J ) )  C_  ( Y  i^i  U. J
)
2927, 28syl6ss 3191 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  K ) P )  ->  ran  F 
C_  ( Y  i^i  U. J ) )
3029, 15syl6ss 3191 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  K ) P )  ->  ran  F 
C_  U. J )
3123, 30jca 518 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  K ) P )  ->  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )
3231ex 423 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  K ) P  -> 
( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) ) )
33 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  P  e.  U. J )
34 lmss.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  Y )
3534adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  P  e.  Y
)
36 elin 3358 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( Y  i^i  U. J )  <->  ( P  e.  Y  /\  P  e. 
U. J ) )
3735, 33, 36sylanbrc 645 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  P  e.  ( Y  i^i  U. J
) )
3833, 372thd 231 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  ( P  e. 
U. J  <->  P  e.  ( Y  i^i  U. J
) ) )
3916eleq2i 2347 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  K  <->  v  e.  ( Jt  Y ) )
401adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  J  e.  Top )
4117adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  Y  e.  V
)
42 elrest 13332 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  e.  V )  ->  ( v  e.  ( Jt  Y )  <->  E. u  e.  J  v  =  ( u  i^i  Y ) ) )
4340, 41, 42syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  ( v  e.  ( Jt  Y )  <->  E. u  e.  J  v  =  ( u  i^i  Y ) ) )
4443biimpa 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  v  e.  ( Jt  Y ) )  ->  E. u  e.  J  v  =  ( u  i^i  Y ) )
4539, 44sylan2b 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  v  e.  K )  ->  E. u  e.  J  v  =  ( u  i^i  Y ) )
46 r19.29r 2684 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. u  e.  J  v  =  ( u  i^i  Y )  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  u ) )  ->  E. u  e.  J  ( v  =  ( u  i^i  Y )  /\  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u ) ) )
4735biantrud 493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  ( P  e.  u  <->  ( P  e.  u  /\  P  e.  Y ) ) )
48 elin 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( P  e.  ( u  i^i 
Y )  <->  ( P  e.  u  /\  P  e.  Y ) )
4947, 48syl6bbr 254 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  ( P  e.  u  <->  P  e.  (
u  i^i  Y )
) )
50 lmss.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
5150uztrn2 10245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
52 lmss.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  F : Z --> Y )
5352adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  F : Z --> Y )
54 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( F : Z --> Y  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k
)  e.  Y )
5553, 54sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  Y )
5655biantrud 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( F `  k
)  e.  u  <->  ( ( F `  k )  e.  u  /\  ( F `  k )  e.  Y ) ) )
57 elin 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F `  k )  e.  ( u  i^i 
Y )  <->  ( ( F `  k )  e.  u  /\  ( F `  k )  e.  Y ) )
5856, 57syl6bbr 254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( F `  k
)  e.  u  <->  ( F `  k )  e.  ( u  i^i  Y ) ) )
5951, 58sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( F `  k
)  e.  u  <->  ( F `  k )  e.  ( u  i^i  Y ) ) )
6059anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J
) )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( F `  k )  e.  u  <->  ( F `  k )  e.  ( u  i^i  Y ) ) )
6160ralbidva 2559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  ( u  i^i  Y ) ) )
6261rexbidva 2560 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  ( u  i^i  Y ) ) )
6349, 62imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  ( ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  <-> 
( P  e.  ( u  i^i  Y )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  ( u  i^i 
Y ) ) ) )
6463adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  u  e.  J )  ->  (
( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u )  <->  ( P  e.  ( u  i^i  Y
)  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  ( u  i^i  Y ) ) ) )
6564biimpd 198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  u  e.  J )  ->  (
( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u )  -> 
( P  e.  ( u  i^i  Y )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  ( u  i^i 
Y ) ) ) )
66 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  ( u  i^i 
Y )  ->  ( P  e.  v  <->  P  e.  ( u  i^i  Y ) ) )
67 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  ( u  i^i 
Y )  ->  (
( F `  k
)  e.  v  <->  ( F `  k )  e.  ( u  i^i  Y ) ) )
6867rexralbidv 2587 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  ( u  i^i 
Y )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  v  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  ( u  i^i  Y ) ) )
6966, 68imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  ( u  i^i 
Y )  ->  (
( P  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  v )  <->  ( P  e.  ( u  i^i  Y
)  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  ( u  i^i  Y ) ) ) )
7069imbi2d 307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  ( u  i^i 
Y )  ->  (
( ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  ->  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  v ) )  <->  ( ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  ->  ( P  e.  ( u  i^i  Y
)  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  ( u  i^i  Y ) ) ) ) )
7165, 70syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  u  e.  J )  ->  (
v  =  ( u  i^i  Y )  -> 
( ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  ->  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  v ) ) ) )
7271imp3a 420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  u  e.  J )  ->  (
( v  =  ( u  i^i  Y )  /\  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u ) )  ->  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  v ) ) )
7372rexlimdva 2667 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  ( E. u  e.  J  ( v  =  ( u  i^i 
Y )  /\  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  u ) )  -> 
( P  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  v ) ) )
7446, 73syl5 28 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  ( ( E. u  e.  J  v  =  ( u  i^i 
Y )  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  u ) )  -> 
( P  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  v ) ) )
7574expdimp 426 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  E. u  e.  J  v  =  ( u  i^i  Y ) )  ->  ( A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  u )  ->  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  v ) ) )
7645, 75syldan 456 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  v  e.  K )  ->  ( A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u )  -> 
( P  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  v ) ) )
7776ralrimdva 2633 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  ( A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  ->  A. v  e.  K  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  v ) ) )
7840adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  u  e.  J )  ->  J  e.  Top )
7941adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  u  e.  J )  ->  Y  e.  V )
80 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  u  e.  J )  ->  u  e.  J )
81 elrestr 13333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  e.  V  /\  u  e.  J )  ->  ( u  i^i  Y
)  e.  ( Jt  Y ) )
8278, 79, 80, 81syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  u  e.  J )  ->  (
u  i^i  Y )  e.  ( Jt  Y ) )
8382, 16syl6eleqr 2374 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  u  e.  J )  ->  (
u  i^i  Y )  e.  K )
8469rspcv 2880 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  i^i  Y )  e.  K  ->  ( A. v  e.  K  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  v )  -> 
( P  e.  ( u  i^i  Y )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  ( u  i^i 
Y ) ) ) )
8583, 84syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  u  e.  J )  ->  ( A. v  e.  K  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  v )  -> 
( P  e.  ( u  i^i  Y )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  ( u  i^i 
Y ) ) ) )
8685, 64sylibrd 225 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  u  e.  J )  ->  ( A. v  e.  K  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  v )  -> 
( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u ) ) )
8786ralrimdva 2633 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  ( A. v  e.  K  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  v )  ->  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u ) ) )
8877, 87impbid 183 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  ( A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u )  <->  A. v  e.  K  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  v ) ) )
8938, 88anbi12d 691 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  ( ( P  e.  U. J  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u ) )  <-> 
( P  e.  ( Y  i^i  U. J
)  /\  A. v  e.  K  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  v ) ) ) )
9040, 3sylib 188 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
91 lmss.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
9291adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  M  e.  ZZ )
93 ffn 5389 . . . . . . 7  |-  ( F : Z --> Y  ->  F  Fn  Z )
9453, 93syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  F  Fn  Z
)
95 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  ran  F  C_  U. J
)
96 df-f 5259 . . . . . 6  |-  ( F : Z --> U. J  <->  ( F  Fn  Z  /\  ran  F  C_  U. J ) )
9794, 95, 96sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  F : Z --> U. J )
98 eqidd 2284 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F  C_  U. J ) )  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
9990, 50, 92, 97, 98lmbrf 16990 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( P  e. 
U. J  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  u ) ) ) )
10020adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  K  e.  (TopOn `  ( Y  i^i  U. J ) ) )
101 frn 5395 . . . . . . . 8  |-  ( F : Z --> Y  ->  ran  F  C_  Y )
10253, 101syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  ran  F  C_  Y
)
103102, 95ssind 3393 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  ran  F  C_  ( Y  i^i  U. J ) )
104 df-f 5259 . . . . . 6  |-  ( F : Z --> ( Y  i^i  U. J )  <-> 
( F  Fn  Z  /\  ran  F  C_  ( Y  i^i  U. J ) ) )
10594, 103, 104sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  F : Z --> ( Y  i^i  U. J
) )
106100, 50, 92, 105, 98lmbrf 16990 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  ( F ( ~~> t `  K ) P  <->  ( P  e.  ( Y  i^i  U. J )  /\  A. v  e.  K  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  v ) ) ) )
10789, 99, 1063bitr4d 276 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  U. J  /\  ran  F 
C_  U. J ) )  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  F ( ~~> t `  K ) P ) )
108107ex 423 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( P  e. 
U. J  /\  ran  F 
C_  U. J )  -> 
( F ( ~~> t `  J ) P  <->  F ( ~~> t `  K ) P ) ) )
10914, 32, 108pm5.21ndd 343 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  F ( ~~> t `  K ) P ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    i^i cin 3151    C_ wss 3152   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    X. cxp 4687   ran crn 4690    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ↾t crest 13325   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   ~~> tclm 16956
This theorem is referenced by:  1stckgen  17249  minvecolem4b  21457  minvecolem4  21459  hhsscms  21856  lmlim  23371  climreeq  27739
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-oadd 6483  df-er 6660  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-neg 9040  df-z 10025  df-uz 10231  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-lm 16959
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