Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmxrge0 Unicode version

Theorem lmxrge0 23377
 Description: Express "sequence converges to plus infinity" (i.e. diverges), for a sequence of non-negative extended real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lmxrge0.j s
lmxrge0.6
lmxrge0.7
Assertion
Ref Expression
lmxrge0
Distinct variable groups:   ,,   ,,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem lmxrge0
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmxrge0.j . . . . . . 7 s
2 eqid 2285 . . . . . . . 8 s s
3 xrstopn 16940 . . . . . . . 8 ordTop
42, 3resstopn 16918 . . . . . . 7 ordTop t s
51, 4eqtr4i 2308 . . . . . 6 ordTop t
6 letopon 16937 . . . . . . 7 ordTop TopOn
7 iccssxr 10734 . . . . . . 7
8 resttopon 16894 . . . . . . 7 ordTop TopOn ordTop t TopOn
96, 7, 8mp2an 653 . . . . . 6 ordTop t TopOn
105, 9eqeltri 2355 . . . . 5 TopOn
1110a1i 10 . . . 4 TopOn
12 nnuz 10265 . . . 4
13 1z 10055 . . . . 5
1413a1i 10 . . . 4
15 lmxrge0.6 . . . 4
16 lmxrge0.7 . . . 4
1711, 12, 14, 15, 16lmbrf 16992 . . 3
18 0xr 8880 . . . . 5
19 pnfxr 10457 . . . . 5
20 pnfge 10471 . . . . . 6
2118, 20ax-mp 8 . . . . 5
22 ubicc2 10755 . . . . 5
2318, 19, 21, 22mp3an 1277 . . . 4
2423biantrur 492 . . 3
2517, 24syl6bbr 254 . 2
26 rexr 8879 . . . . . . . . . 10
2719a1i 10 . . . . . . . . . 10
28 ltpnf 10465 . . . . . . . . . 10
29 ubioc1 10707 . . . . . . . . . 10
3026, 27, 28, 29syl3anc 1182 . . . . . . . . 9
31 0re 8840 . . . . . . . . . . 11
32 ltpnf 10465 . . . . . . . . . . 11
3331, 32ax-mp 8 . . . . . . . . . 10
34 ubioc1 10707 . . . . . . . . . 10
3518, 19, 33, 34mp3an 1277 . . . . . . . . 9
3630, 35jctir 524 . . . . . . . 8
37 elin 3360 . . . . . . . 8
3836, 37sylibr 203 . . . . . . 7
3938ad2antlr 707 . . . . . 6
40 inss2 3392 . . . . . . . . . . . . 13
41 iocssicc 23261 . . . . . . . . . . . . 13
4240, 41sstri 3190 . . . . . . . . . . . 12
43 sseqin2 3390 . . . . . . . . . . . 12
4442, 43mpbi 199 . . . . . . . . . . 11
45 incom 3363 . . . . . . . . . . 11
4644, 45eqtr3i 2307 . . . . . . . . . 10
476topontopi 16671 . . . . . . . . . . . 12 ordTop
48 ovex 5885 . . . . . . . . . . . 12
49 iocpnfordt 16947 . . . . . . . . . . . . 13 ordTop
50 iocpnfordt 16947 . . . . . . . . . . . . 13 ordTop
51 inopn 16647 . . . . . . . . . . . . 13 ordTop ordTop ordTop ordTop
5247, 49, 50, 51mp3an 1277 . . . . . . . . . . . 12 ordTop
53 elrestr 13335 . . . . . . . . . . . 12 ordTop ordTop ordTop t
5447, 48, 52, 53mp3an 1277 . . . . . . . . . . 11 ordTop t
5554, 5eleqtrri 2358 . . . . . . . . . 10
5646, 55eqeltri 2355 . . . . . . . . 9
5756a1i 10 . . . . . . . 8
58 eleq2 2346 . . . . . . . . . . 11
5958adantl 452 . . . . . . . . . 10
6059biimprd 214 . . . . . . . . 9
61 simp-5r 745 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6261rexrd 8883 . . . . . . . . . . . . . . . 16
63 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
64 simp-4r 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6563, 64eleqtrd 2361 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
66 elin 3360 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6766simplbi 446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6865, 67syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
69 elioc1 10700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7019, 69mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7170biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7271imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7372simp2d 968 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7462, 68, 73syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15
7574ex 423 . . . . . . . . . . . . . 14
7675ralimdva 2623 . . . . . . . . . . . . 13
7776reximdva 2657 . . . . . . . . . . . 12
7877imp 418 . . . . . . . . . . 11
79 fveq2 5527 . . . . . . . . . . . . 13
8079raleqdv 2744 . . . . . . . . . . . 12
8180cbvrexv 2767 . . . . . . . . . . 11
8278, 81sylibr 203 . . . . . . . . . 10
8382ex 423 . . . . . . . . 9
8460, 83imim12d 68 . . . . . . . 8
8557, 84rspcimdv 2887 . . . . . . 7
8685imp 418 . . . . . 6
8739, 86mpd 14 . . . . 5
8887ex 423 . . . 4
8988ralrimdva 2635 . . 3
90 simplll 734 . . . . . . 7
91 simpllr 735 . . . . . . . 8
92 simpr 447 . . . . . . . 8
931pnfneige0 23376 . . . . . . . 8
9491, 92, 93syl2anc 642 . . . . . . 7
95 simplr 731 . . . . . . 7
96 r19.29r 2686 . . . . . . . . 9
97 simp-4l 742 . . . . . . . . . . . . . . . 16
98 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
99 uzss 10250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10099, 12syl6sseqr 3227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
101100, 12eleq2s 2377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10298, 101syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
103 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
104102, 103sseldd 3183 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10597, 104jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15
106 simp-4r 743 . . . . . . . . . . . . . . 15
107 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . 15
108 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
109 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
110109rexrd 8883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
11115ffvelrnda 5667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
11216, 111eqeltrrd 2360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1137, 112sseldi 3180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
114113ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
115 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
116 pnfge 10471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
117114, 116syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
11870biimprd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
119118imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
120110, 114, 115, 117, 119syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
121120adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
122108, 121sseldd 3183 . . . . . . . . . . . . . . . 16
123122ex 423 . . . . . . . . . . . . . . 15
124105, 106, 107, 123syl21anc 1181 . . . . . . . . . . . . . 14
125124ralimdva 2623 . . . . . . . . . . . . 13
126125reximdva 2657 . . . . . . . . . . . 12
12781, 126syl5bi 208 . . . . . . . . . . 11
128127expimpd 586 . . . . . . . . . 10
129128rexlimdva 2669 . . . . . . . . 9
13096, 129syl5 28 . . . . . . . 8
131130imp 418 . . . . . . 7
13290, 94, 95, 131syl12anc 1180 . . . . . 6
133132ex 423 . . . . 5
134133ex 423 . . . 4
135134ralrimdva 2635 . . 3
13689, 135impbid 183 . 2
13725, 136bitrd 244 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1625   wcel 1686  wral 2545  wrex 2546  cvv 2790   cin 3153   wss 3154   class class class wbr 4025  wf 5253  cfv 5257  (class class class)co 5860  cr 8738  cc0 8739  c1 8740   cpnf 8866  cxr 8868   clt 8869   cle 8870  cn 9748  cz 10026  cuz 10232  cioc 10659  cicc 10661   ↾s cress 13151   ↾t crest 13327  ctopn 13328  ordTopcordt 13400  cxrs 13401  ctop 16633  TopOnctopon 16634  clm 16958 This theorem is referenced by:  lmdvglim  23379 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-oadd 6485  df-er 6662  df-pm 6777  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-fi 7167  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-4 9808  df-5 9809  df-6 9810  df-7 9811  df-8 9812  df-9 9813  df-10 9814  df-n0 9968  df-z 10027  df-dec 10127  df-uz 10233  df-ioo 10662  df-ioc 10663  df-ico 10664  df-icc 10665  df-fz 10785  df-struct 13152  df-ndx 13153  df-slot 13154  df-base 13155  df-sets 13156  df-ress 13157  df-plusg 13223  df-mulr 13224  df-tset 13229  df-ple 13230  df-ds 13232  df-rest 13329  df-topn 13330  df-topgen 13346  df-ordt 13404  df-xrs 13405  df-ps 14308  df-tsr 14309  df-top 16638  df-bases 16640  df-topon 16641  df-lm 16961
 Copyright terms: Public domain W3C validator