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Theorem lmxrge0 23377
Description: Express "sequence  F converges to plus infinity" (i.e. diverges), for a sequence of non-negative extended real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lmxrge0.j  |-  J  =  ( TopOpen `  ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) ) )
lmxrge0.6  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( 0 [,]  +oo ) )
lmxrge0.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  =  A )
Assertion
Ref Expression
lmxrge0  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J )  +oo  <->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
)
Distinct variable groups:    x, j, A    j, k, F, x   
k, J, x    ph, k, x
Allowed substitution hints:    ph( j)    A( k)    J( j)

Proof of Theorem lmxrge0
Dummy variables  a 
l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmxrge0.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( TopOpen `  ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) ) )
2 eqid 2285 . . . . . . . 8  |-  ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) )  =  (
RR* ss  ( 0 [,] 
+oo ) )
3 xrstopn 16940 . . . . . . . 8  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( TopOpen `  RR* s )
42, 3resstopn 16918 . . . . . . 7  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] 
+oo ) )  =  ( TopOpen `  ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) ) )
51, 4eqtr4i 2308 . . . . . 6  |-  J  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,]  +oo )
)
6 letopon 16937 . . . . . . 7  |-  (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )
7 iccssxr 10734 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,]  +oo )  C_  RR*
8 resttopon 16894 . . . . . . 7  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )  /\  ( 0 [,]  +oo )  C_  RR* )  ->  (
(ordTop `  <_  )t  ( 0 [,]  +oo ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,]  +oo ) ) )
96, 7, 8mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] 
+oo ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,]  +oo ) )
105, 9eqeltri 2355 . . . . 5  |-  J  e.  (TopOn `  ( 0 [,]  +oo ) )
1110a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  ( 0 [,]  +oo ) ) )
12 nnuz 10265 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
13 1z 10055 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
1413a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
15 lmxrge0.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( 0 [,]  +oo ) )
16 lmxrge0.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  =  A )
1711, 12, 14, 15, 16lmbrf 16992 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J )  +oo  <->  (  +oo  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  A. a  e.  J  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a ) ) ) )
18 0xr 8880 . . . . 5  |-  0  e.  RR*
19 pnfxr 10457 . . . . 5  |-  +oo  e.  RR*
20 pnfge 10471 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  RR*  ->  0  <_  +oo )
2118, 20ax-mp 8 . . . . 5  |-  0  <_  +oo
22 ubicc2 10755 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR*  /\  0  <_  +oo )  ->  +oo  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
2318, 19, 21, 22mp3an 1277 . . . 4  |-  +oo  e.  ( 0 [,]  +oo )
2423biantrur 492 . . 3  |-  ( A. a  e.  J  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  <->  ( 
+oo  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  A. a  e.  J  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
) )
2517, 24syl6bbr 254 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J )  +oo  <->  A. a  e.  J  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
) )
26 rexr 8879 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
2719a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  +oo  e.  RR* )
28 ltpnf 10465 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  x  <  +oo )
29 ubioc1 10707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR*  /\  x  <  +oo )  ->  +oo  e.  ( x (,]  +oo ) )
3026, 27, 28, 29syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  +oo  e.  ( x (,]  +oo ) )
31 0re 8840 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
32 ltpnf 10465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  <  +oo )
3331, 32ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  +oo
34 ubioc1 10707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR*  /\  0  <  +oo )  ->  +oo  e.  ( 0 (,]  +oo ) )
3518, 19, 33, 34mp3an 1277 . . . . . . . . 9  |-  +oo  e.  ( 0 (,]  +oo )
3630, 35jctir 524 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  (  +oo  e.  ( x (,] 
+oo )  /\  +oo  e.  ( 0 (,]  +oo ) ) )
37 elin 3360 . . . . . . . 8  |-  (  +oo  e.  ( ( x (,] 
+oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) )  <-> 
(  +oo  e.  (
x (,]  +oo )  /\  +oo 
e.  ( 0 (,] 
+oo ) ) )
3836, 37sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  +oo  e.  ( ( x (,] 
+oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )
3938ad2antlr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  A. a  e.  J  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
)  ->  +oo  e.  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,] 
+oo ) ) )
40 inss2 3392 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,]  +oo ) )  C_  (
0 (,]  +oo )
41 iocssicc 23261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 (,]  +oo )  C_  (
0 [,]  +oo )
4240, 41sstri 3190 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,]  +oo ) )  C_  (
0 [,]  +oo )
43 sseqin2 3390 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,] 
+oo ) )  C_  ( 0 [,]  +oo ) 
<->  ( ( 0 [,] 
+oo )  i^i  (
( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,] 
+oo ) ) )  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )
4442, 43mpbi 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0 [,]  +oo )  i^i  ( ( x (,] 
+oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,]  +oo ) )
45 incom 3363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0 [,]  +oo )  i^i  ( ( x (,] 
+oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  =  ( ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,] 
+oo ) )  i^i  ( 0 [,]  +oo ) )
4644, 45eqtr3i 2307 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,]  +oo ) )  =  ( ( ( x (,] 
+oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) )  i^i  ( 0 [,] 
+oo ) )
476topontopi 16671 . . . . . . . . . . . 12  |-  (ordTop `  <_  )  e.  Top
48 ovex 5885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 [,]  +oo )  e.  _V
49 iocpnfordt 16947 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x (,]  +oo )  e.  (ordTop `  <_  )
50 iocpnfordt 16947 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 (,]  +oo )  e.  (ordTop `  <_  )
51 inopn 16647 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e. 
Top  /\  ( x (,]  +oo )  e.  (ordTop `  <_  )  /\  (
0 (,]  +oo )  e.  (ordTop `  <_  ) )  ->  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) )  e.  (ordTop `  <_  ) )
5247, 49, 50, 51mp3an 1277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,]  +oo ) )  e.  (ordTop `  <_  )
53 elrestr 13335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e. 
Top  /\  ( 0 [,]  +oo )  e.  _V  /\  ( ( x (,] 
+oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) )  e.  (ordTop `  <_  ) )  ->  ( (
( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,] 
+oo ) )  i^i  ( 0 [,]  +oo ) )  e.  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,]  +oo ) ) )
5447, 48, 52, 53mp3an 1277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,] 
+oo ) )  i^i  ( 0 [,]  +oo ) )  e.  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,]  +oo ) )
5554, 5eleqtrri 2358 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,] 
+oo ) )  i^i  ( 0 [,]  +oo ) )  e.  J
5646, 55eqeltri 2355 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,]  +oo ) )  e.  J
5756a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,]  +oo ) )  e.  J
)
58 eleq2 2346 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) )  ->  (  +oo  e.  a 
<-> 
+oo  e.  ( (
x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,]  +oo ) ) ) )
5958adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  ->  (  +oo  e.  a  <->  +oo  e.  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,]  +oo ) ) ) )
6059biimprd 214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  ->  (  +oo  e.  ( ( x (,] 
+oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) )  ->  +oo  e.  a
) )
61 simp-5r 745 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  A  e.  a )  ->  x  e.  RR )
6261rexrd 8883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  A  e.  a )  ->  x  e.  RR* )
63 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  A  e.  a )  ->  A  e.  a )
64 simp-4r 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  A  e.  a )  ->  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )
6563, 64eleqtrd 2361 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  A  e.  a )  ->  A  e.  ( ( x (,] 
+oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )
66 elin 3360 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) )  <-> 
( A  e.  ( x (,]  +oo )  /\  A  e.  (
0 (,]  +oo ) ) )
6766simplbi 446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) )  ->  A  e.  ( x (,]  +oo )
)
6865, 67syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  A  e.  a )  ->  A  e.  ( x (,]  +oo ) )
69 elioc1 10700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( x (,]  +oo )  <->  ( A  e.  RR*  /\  x  < 
A  /\  A  <_  +oo ) ) )
7019, 69mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( A  e.  ( x (,] 
+oo )  <->  ( A  e.  RR*  /\  x  < 
A  /\  A  <_  +oo ) ) )
7170biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( A  e.  ( x (,] 
+oo )  ->  ( A  e.  RR*  /\  x  <  A  /\  A  <_  +oo ) ) )
7271imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  A  e.  ( x (,]  +oo ) )  ->  ( A  e.  RR*  /\  x  <  A  /\  A  <_  +oo ) )
7372simp2d 968 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  A  e.  ( x (,]  +oo ) )  ->  x  <  A )
7462, 68, 73syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  A  e.  a )  ->  x  <  A )
7574ex 423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,] 
+oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  ( A  e.  a  ->  x  <  A ) )
7675ralimdva 2623 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  (
( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,] 
+oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) x  < 
A ) )
7776reximdva 2657 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  ->  ( E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) x  < 
A ) )
7877imp 418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  (
( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,] 
+oo ) ) )  /\  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) x  < 
A )
79 fveq2 5527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  l  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  ( ZZ>= `  l )
)
8079raleqdv 2744 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  l  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) x  <  A  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  l )
x  <  A )
)
8180cbvrexv 2767 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A  <->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) x  < 
A )
8278, 81sylibr 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  (
( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,] 
+oo ) ) )  /\  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )
8382ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  ->  ( E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A ) )
8460, 83imim12d 68 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  ->  ( (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  ->  (  +oo  e.  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,] 
+oo ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A ) ) )
8557, 84rspcimdv 2887 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. a  e.  J  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  ->  (  +oo  e.  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,] 
+oo ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A ) ) )
8685imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  A. a  e.  J  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
)  ->  (  +oo  e.  ( ( x (,] 
+oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A ) )
8739, 86mpd 14 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  A. a  e.  J  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
)  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
8887ex 423 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. a  e.  J  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A ) )
8988ralrimdva 2635 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  J  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  ->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
)
90 simplll 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  J )  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  /\  +oo  e.  a )  ->  ph )
91 simpllr 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  J )  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  /\  +oo  e.  a )  ->  a  e.  J )
92 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  J )  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  /\  +oo  e.  a )  ->  +oo  e.  a )
931pnfneige0 23376 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  J  /\  +oo 
e.  a )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,]  +oo )  C_  a )
9491, 92, 93syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  J )  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  /\  +oo  e.  a )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)
95 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  J )  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  /\  +oo  e.  a )  ->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
96 r19.29r 2686 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E. x  e.  RR  ( x (,]  +oo )  C_  a  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )  ->  E. x  e.  RR  ( ( x (,] 
+oo )  C_  a  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A ) )
97 simp-4l 742 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  ->  ph )
98 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  ->  l  e.  NN )
99 uzss 10250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( l  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ZZ>= `  l )  C_  ( ZZ>=
`  1 ) )
10099, 12syl6sseqr 3227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( l  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ZZ>= `  l )  C_  NN )
101100, 12eleq2s 2377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( l  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  l )  C_  NN )
10298, 101syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  ->  ( ZZ>= `  l )  C_  NN )
103 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)
104102, 103sseldd 3183 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  ->  k  e.  NN )
10597, 104jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  ->  ( ph  /\  k  e.  NN ) )
106 simp-4r 743 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  ->  x  e.  RR )
107 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  ->  ( x (,]  +oo )  C_  a
)
108 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  x  <  A )  ->  ( x (,]  +oo )  C_  a
)
109 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  <  A
)  ->  x  e.  RR )
110109rexrd 8883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  <  A
)  ->  x  e.  RR* )
11115ffvelrnda 5667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
11216, 111eqeltrrd 2360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
1137, 112sseldi 3180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e. 
RR* )
114113ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  <  A
)  ->  A  e.  RR* )
115 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  <  A
)  ->  x  <  A )
116 pnfge 10471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  RR*  ->  A  <_  +oo )
117114, 116syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  <  A
)  ->  A  <_  +oo )
11870biimprd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( A  e.  RR*  /\  x  <  A  /\  A  <_  +oo )  ->  A  e.  ( x (,]  +oo ) ) )
119118imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  ( A  e.  RR*  /\  x  <  A  /\  A  <_  +oo ) )  ->  A  e.  ( x (,]  +oo ) )
120110, 114, 115, 117, 119syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  <  A
)  ->  A  e.  ( x (,]  +oo ) )
121120adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  x  <  A )  ->  A  e.  ( x (,]  +oo ) )
122108, 121sseldd 3183 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  x  <  A )  ->  A  e.  a )
123122ex 423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  ->  ( x  <  A  ->  A  e.  a ) )
124105, 106, 107, 123syl21anc 1181 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  ->  ( x  <  A  ->  A  e.  a ) )
125124ralimdva 2623 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,]  +oo )  C_  a )  /\  l  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  l )
x  <  A  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a ) )
126125reximdva 2657 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x (,]  +oo )  C_  a )  ->  ( E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) x  < 
A  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
)
12781, 126syl5bi 208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x (,]  +oo )  C_  a )  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
)
128127expimpd 586 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( x (,]  +oo )  C_  a  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a ) )
129128rexlimdva 2669 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  RR  ( ( x (,]  +oo )  C_  a  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
)
13096, 129syl5 28 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  a  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
)
131130imp 418 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( E. x  e.  RR  (
x (,]  +oo )  C_  a  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
)  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
13290, 94, 95, 131syl12anc 1180 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  J )  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  /\  +oo  e.  a )  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
133132ex 423 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  J )  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )  ->  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a ) )
134133ex 423 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  J )  ->  ( A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A  ->  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
) )
135134ralrimdva 2635 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A  ->  A. a  e.  J  ( 
+oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a ) ) )
13689, 135impbid 183 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  J  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  <->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
)
13725, 136bitrd 244 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J )  +oo  <->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1625    e. wcel 1686   A.wral 2545   E.wrex 2546   _Vcvv 2790    i^i cin 3153    C_ wss 3154   class class class wbr 4025   -->wf 5253   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   RRcr 8738   0cc0 8739   1c1 8740    +oocpnf 8866   RR*cxr 8868    < clt 8869    <_ cle 8870   NNcn 9748   ZZcz 10026   ZZ>=cuz 10232   (,]cioc 10659   [,]cicc 10661   ↾s cress 13151   ↾t crest 13327   TopOpenctopn 13328  ordTopcordt 13400   RR* scxrs 13401   Topctop 16633  TopOnctopon 16634   ~~> tclm 16958
This theorem is referenced by:  lmdvglim  23379
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-oadd 6485  df-er 6662  df-pm 6777  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-fi 7167  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-4 9808  df-5 9809  df-6 9810  df-7 9811  df-8 9812  df-9 9813  df-10 9814  df-n0 9968  df-z 10027  df-dec 10127  df-uz 10233  df-ioo 10662  df-ioc 10663  df-ico 10664  df-icc 10665  df-fz 10785  df-struct 13152  df-ndx 13153  df-slot 13154  df-base 13155  df-sets 13156  df-ress 13157  df-plusg 13223  df-mulr 13224  df-tset 13229  df-ple 13230  df-ds 13232  df-rest 13329  df-topn 13330  df-topgen 13346  df-ordt 13404  df-xrs 13405  df-ps 14308  df-tsr 14309  df-top 16638  df-bases 16640  df-topon 16641  df-lm 16961
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