Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmxrge0 Structured version   Unicode version

Theorem lmxrge0 24368
 Description: Express "sequence converges to plus infinity" (i.e. diverges), for a sequence of non-negative extended real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lmxrge0.j s
lmxrge0.6
lmxrge0.7
Assertion
Ref Expression
lmxrge0
Distinct variable groups:   ,,   ,,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem lmxrge0
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmxrge0.j . . . . . . 7 s
2 eqid 2442 . . . . . . . 8 s s
3 xrstopn 17303 . . . . . . . 8 ordTop
42, 3resstopn 17281 . . . . . . 7 ordTop t s
51, 4eqtr4i 2465 . . . . . 6 ordTop t
6 letopon 17300 . . . . . . 7 ordTop TopOn
7 iccssxr 11024 . . . . . . 7
8 resttopon 17256 . . . . . . 7 ordTop TopOn ordTop t TopOn
96, 7, 8mp2an 655 . . . . . 6 ordTop t TopOn
105, 9eqeltri 2512 . . . . 5 TopOn
1110a1i 11 . . . 4 TopOn
12 nnuz 10552 . . . 4
13 1z 10342 . . . . 5
1413a1i 11 . . . 4
15 lmxrge0.6 . . . 4
16 lmxrge0.7 . . . 4
1711, 12, 14, 15, 16lmbrf 17355 . . 3
18 0xr 9162 . . . . 5
19 pnfxr 10744 . . . . 5
20 pnfge 10758 . . . . . 6
2118, 20ax-mp 5 . . . . 5
22 ubicc2 11045 . . . . 5
2318, 19, 21, 22mp3an 1280 . . . 4
2423biantrur 494 . . 3
2517, 24syl6bbr 256 . 2
26 rexr 9161 . . . . . . . . . 10
2719a1i 11 . . . . . . . . . 10
28 ltpnf 10752 . . . . . . . . . 10
29 ubioc1 10996 . . . . . . . . . 10
3026, 27, 28, 29syl3anc 1185 . . . . . . . . 9
31 0re 9122 . . . . . . . . . . 11
32 ltpnf 10752 . . . . . . . . . . 11
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
34 ubioc1 10996 . . . . . . . . . 10
3518, 19, 33, 34mp3an 1280 . . . . . . . . 9
3630, 35jctir 526 . . . . . . . 8
37 elin 3516 . . . . . . . 8
3836, 37sylibr 205 . . . . . . 7
3938ad2antlr 709 . . . . . 6
40 letop 17301 . . . . . . . . . . 11 ordTop
41 ovex 6135 . . . . . . . . . . 11
42 iocpnfordt 17310 . . . . . . . . . . . 12 ordTop
43 iocpnfordt 17310 . . . . . . . . . . . 12 ordTop
44 inopn 17003 . . . . . . . . . . . 12 ordTop ordTop ordTop ordTop
4540, 42, 43, 44mp3an 1280 . . . . . . . . . . 11 ordTop
46 elrestr 13687 . . . . . . . . . . 11 ordTop ordTop ordTop t
4740, 41, 45, 46mp3an 1280 . . . . . . . . . 10 ordTop t
48 inss2 3547 . . . . . . . . . . . . 13
49 iocssicc 24161 . . . . . . . . . . . . 13
5048, 49sstri 3343 . . . . . . . . . . . 12
51 sseqin2 3545 . . . . . . . . . . . 12
5250, 51mpbi 201 . . . . . . . . . . 11
53 incom 3519 . . . . . . . . . . 11
5452, 53eqtr3i 2464 . . . . . . . . . 10
5547, 54, 53eltr4i 2521 . . . . . . . . 9
5655a1i 11 . . . . . . . 8
57 eleq2 2503 . . . . . . . . . . 11
5857adantl 454 . . . . . . . . . 10
5958biimprd 216 . . . . . . . . 9
60 simp-5r 747 . . . . . . . . . . . . . . 15
6160rexrd 9165 . . . . . . . . . . . . . 14
62 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16
63 simp-4r 745 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6462, 63eleqtrd 2518 . . . . . . . . . . . . . . 15
65 elin 3516 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6665simplbi 448 . . . . . . . . . . . . . . 15
6764, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
68 elioc1 10989 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6919, 68mpan2 654 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7069biimpa 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
7170simp2d 971 . . . . . . . . . . . . . 14
7261, 67, 71syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13
7372ex 425 . . . . . . . . . . . 12
7473ralimdva 2790 . . . . . . . . . . 11
7574reximdva 2824 . . . . . . . . . 10
76 fveq2 5757 . . . . . . . . . . . 12
7776raleqdv 2916 . . . . . . . . . . 11
7877cbvrexv 2939 . . . . . . . . . 10
7975, 78syl6ibr 220 . . . . . . . . 9
8059, 79imim12d 71 . . . . . . . 8
8156, 80rspcimdv 3059 . . . . . . 7
8281imp 420 . . . . . 6
8339, 82mpd 15 . . . . 5
8483ex 425 . . . 4
8584ralrimdva 2802 . . 3
86 simplll 736 . . . . . 6
87 simpllr 737 . . . . . . 7
88 simpr 449 . . . . . . 7
891pnfneige0 24367 . . . . . . 7
9087, 88, 89syl2anc 644 . . . . . 6
91 simplr 733 . . . . . 6
92 r19.29r 2853 . . . . . . . 8
93 simp-4l 744 . . . . . . . . . . . . . . 15
94 uznnssnn 10555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9594ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16
96 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9795, 96sseldd 3335 . . . . . . . . . . . . . . 15
9893, 97jca 520 . . . . . . . . . . . . . 14
99 simp-4r 745 . . . . . . . . . . . . . 14
100 simpllr 737 . . . . . . . . . . . . . 14
101 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16
102 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
103102rexrd 9165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10415ffvelrnda 5899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10516, 104eqeltrrd 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1067, 105sseldi 3332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
107106ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
108 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
109 pnfge 10758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
110107, 109syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11169biimpar 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
112103, 107, 108, 110, 111syl13anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
113112adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16
114101, 113sseldd 3335 . . . . . . . . . . . . . . 15
115114ex 425 . . . . . . . . . . . . . 14
11698, 99, 100, 115syl21anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13
117116ralimdva 2790 . . . . . . . . . . . 12
118117reximdva 2824 . . . . . . . . . . 11
11978, 118syl5bi 210 . . . . . . . . . 10
120119expimpd 588 . . . . . . . . 9
121120rexlimdva 2836 . . . . . . . 8
12292, 121syl5 31 . . . . . . 7
123122imp 420 . . . . . 6
12486, 90, 91, 123syl12anc 1183 . . . . 5
125124exp31 589 . . . 4
126125ralrimdva 2802 . . 3
12785, 126impbid 185 . 2
12825, 127bitrd 246 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1727  wral 2711  wrex 2712  cvv 2962   cin 3305   wss 3306   class class class wbr 4237  wf 5479  cfv 5483  (class class class)co 6110  cr 9020  cc0 9021  c1 9022   cpnf 9148  cxr 9150   clt 9151   cle 9152  cn 10031  cz 10313  cuz 10519  cioc 10948  cicc 10950   ↾s cress 13501   ↾t crest 13679  ctopn 13680  ordTopcordt 13752  cxrs 13753  ctop 16989  TopOnctopon 16990  clm 17321 This theorem is referenced by:  lmdvglim  24370 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-pm 7050  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-fi 7445  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-7 10094  df-8 10095  df-9 10096  df-10 10097  df-n0 10253  df-z 10314  df-dec 10414  df-uz 10520  df-ioo 10951  df-ioc 10952  df-ico 10953  df-icc 10954  df-fz 11075  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-tset 13579  df-ple 13580  df-ds 13582  df-rest 13681  df-topn 13682  df-topgen 13698  df-ordt 13756  df-xrs 13757  df-ps 14660  df-tsr 14661  df-top 16994  df-bases 16996  df-topon 16997  df-lm 17324
 Copyright terms: Public domain W3C validator