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Theorem lmxrge0 24298
Description: Express "sequence  F converges to plus infinity" (i.e. diverges), for a sequence of non-negative extended real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lmxrge0.j  |-  J  =  ( TopOpen `  ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) ) )
lmxrge0.6  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( 0 [,]  +oo ) )
lmxrge0.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  =  A )
Assertion
Ref Expression
lmxrge0  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J )  +oo  <->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
)
Distinct variable groups:    x, j, A    j, k, F, x   
k, J, x    ph, k, x
Allowed substitution hints:    ph( j)    A( k)    J( j)

Proof of Theorem lmxrge0
Dummy variables  a 
l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmxrge0.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( TopOpen `  ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) ) )
2 eqid 2412 . . . . . . . 8  |-  ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) )  =  (
RR* ss  ( 0 [,] 
+oo ) )
3 xrstopn 17234 . . . . . . . 8  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( TopOpen `  RR* s )
42, 3resstopn 17212 . . . . . . 7  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] 
+oo ) )  =  ( TopOpen `  ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) ) )
51, 4eqtr4i 2435 . . . . . 6  |-  J  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,]  +oo )
)
6 letopon 17231 . . . . . . 7  |-  (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )
7 iccssxr 10957 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,]  +oo )  C_  RR*
8 resttopon 17187 . . . . . . 7  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )  /\  ( 0 [,]  +oo )  C_  RR* )  ->  (
(ordTop `  <_  )t  ( 0 [,]  +oo ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,]  +oo ) ) )
96, 7, 8mp2an 654 . . . . . 6  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] 
+oo ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,]  +oo ) )
105, 9eqeltri 2482 . . . . 5  |-  J  e.  (TopOn `  ( 0 [,]  +oo ) )
1110a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  ( 0 [,]  +oo ) ) )
12 nnuz 10485 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
13 1z 10275 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
1413a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
15 lmxrge0.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( 0 [,]  +oo ) )
16 lmxrge0.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  =  A )
1711, 12, 14, 15, 16lmbrf 17286 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J )  +oo  <->  (  +oo  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  A. a  e.  J  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a ) ) ) )
18 0xr 9095 . . . . 5  |-  0  e.  RR*
19 pnfxr 10677 . . . . 5  |-  +oo  e.  RR*
20 pnfge 10691 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  RR*  ->  0  <_  +oo )
2118, 20ax-mp 8 . . . . 5  |-  0  <_  +oo
22 ubicc2 10978 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR*  /\  0  <_  +oo )  ->  +oo  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
2318, 19, 21, 22mp3an 1279 . . . 4  |-  +oo  e.  ( 0 [,]  +oo )
2423biantrur 493 . . 3  |-  ( A. a  e.  J  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  <->  ( 
+oo  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  A. a  e.  J  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
) )
2517, 24syl6bbr 255 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J )  +oo  <->  A. a  e.  J  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
) )
26 rexr 9094 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
2719a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  +oo  e.  RR* )
28 ltpnf 10685 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  x  <  +oo )
29 ubioc1 10929 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR*  /\  x  <  +oo )  ->  +oo  e.  ( x (,]  +oo ) )
3026, 27, 28, 29syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  +oo  e.  ( x (,]  +oo ) )
31 0re 9055 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
32 ltpnf 10685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  <  +oo )
3331, 32ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  +oo
34 ubioc1 10929 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR*  /\  0  <  +oo )  ->  +oo  e.  ( 0 (,]  +oo ) )
3518, 19, 33, 34mp3an 1279 . . . . . . . . 9  |-  +oo  e.  ( 0 (,]  +oo )
3630, 35jctir 525 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  (  +oo  e.  ( x (,] 
+oo )  /\  +oo  e.  ( 0 (,]  +oo ) ) )
37 elin 3498 . . . . . . . 8  |-  (  +oo  e.  ( ( x (,] 
+oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) )  <-> 
(  +oo  e.  (
x (,]  +oo )  /\  +oo 
e.  ( 0 (,] 
+oo ) ) )
3836, 37sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  +oo  e.  ( ( x (,] 
+oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )
3938ad2antlr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  A. a  e.  J  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
)  ->  +oo  e.  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,] 
+oo ) ) )
40 letop 17232 . . . . . . . . . . 11  |-  (ordTop `  <_  )  e.  Top
41 ovex 6073 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,]  +oo )  e.  _V
42 iocpnfordt 17241 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x (,]  +oo )  e.  (ordTop `  <_  )
43 iocpnfordt 17241 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 (,]  +oo )  e.  (ordTop `  <_  )
44 inopn 16935 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e. 
Top  /\  ( x (,]  +oo )  e.  (ordTop `  <_  )  /\  (
0 (,]  +oo )  e.  (ordTop `  <_  ) )  ->  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) )  e.  (ordTop `  <_  ) )
4540, 42, 43, 44mp3an 1279 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,]  +oo ) )  e.  (ordTop `  <_  )
46 elrestr 13619 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e. 
Top  /\  ( 0 [,]  +oo )  e.  _V  /\  ( ( x (,] 
+oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) )  e.  (ordTop `  <_  ) )  ->  ( (
( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,] 
+oo ) )  i^i  ( 0 [,]  +oo ) )  e.  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,]  +oo ) ) )
4740, 41, 45, 46mp3an 1279 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,] 
+oo ) )  i^i  ( 0 [,]  +oo ) )  e.  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,]  +oo ) )
48 inss2 3530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,]  +oo ) )  C_  (
0 (,]  +oo )
49 iocssicc 24091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 (,]  +oo )  C_  (
0 [,]  +oo )
5048, 49sstri 3325 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,]  +oo ) )  C_  (
0 [,]  +oo )
51 sseqin2 3528 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,] 
+oo ) )  C_  ( 0 [,]  +oo ) 
<->  ( ( 0 [,] 
+oo )  i^i  (
( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,] 
+oo ) ) )  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )
5250, 51mpbi 200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0 [,]  +oo )  i^i  ( ( x (,] 
+oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,]  +oo ) )
53 incom 3501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0 [,]  +oo )  i^i  ( ( x (,] 
+oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  =  ( ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,] 
+oo ) )  i^i  ( 0 [,]  +oo ) )
5452, 53eqtr3i 2434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,]  +oo ) )  =  ( ( ( x (,] 
+oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) )  i^i  ( 0 [,] 
+oo ) )
5547, 54, 53eltr4i 2491 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,]  +oo ) )  e.  J
5655a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,]  +oo ) )  e.  J
)
57 eleq2 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) )  ->  (  +oo  e.  a 
<-> 
+oo  e.  ( (
x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,]  +oo ) ) ) )
5857adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  ->  (  +oo  e.  a  <->  +oo  e.  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,]  +oo ) ) ) )
5958biimprd 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  ->  (  +oo  e.  ( ( x (,] 
+oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) )  ->  +oo  e.  a
) )
60 simp-5r 746 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  A  e.  a )  ->  x  e.  RR )
6160rexrd 9098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  A  e.  a )  ->  x  e.  RR* )
62 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  A  e.  a )  ->  A  e.  a )
63 simp-4r 744 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  A  e.  a )  ->  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )
6462, 63eleqtrd 2488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  A  e.  a )  ->  A  e.  ( ( x (,] 
+oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )
65 elin 3498 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) )  <-> 
( A  e.  ( x (,]  +oo )  /\  A  e.  (
0 (,]  +oo ) ) )
6665simplbi 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) )  ->  A  e.  ( x (,]  +oo )
)
6764, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  A  e.  a )  ->  A  e.  ( x (,]  +oo ) )
68 elioc1 10922 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( x (,]  +oo )  <->  ( A  e.  RR*  /\  x  < 
A  /\  A  <_  +oo ) ) )
6919, 68mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( A  e.  ( x (,] 
+oo )  <->  ( A  e.  RR*  /\  x  < 
A  /\  A  <_  +oo ) ) )
7069biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  A  e.  ( x (,]  +oo ) )  ->  ( A  e.  RR*  /\  x  <  A  /\  A  <_  +oo ) )
7170simp2d 970 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  A  e.  ( x (,]  +oo ) )  ->  x  <  A )
7261, 67, 71syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  A  e.  a )  ->  x  <  A )
7372ex 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,] 
+oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  ( A  e.  a  ->  x  <  A ) )
7473ralimdva 2752 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  (
( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,] 
+oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) x  < 
A ) )
7574reximdva 2786 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  ->  ( E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) x  < 
A ) )
76 fveq2 5695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  l  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  ( ZZ>= `  l )
)
7776raleqdv 2878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  l  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) x  <  A  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  l )
x  <  A )
)
7877cbvrexv 2901 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A  <->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) x  < 
A )
7975, 78syl6ibr 219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  ->  ( E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A ) )
8059, 79imim12d 70 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  ->  ( (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  ->  (  +oo  e.  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,] 
+oo ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A ) ) )
8156, 80rspcimdv 3021 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. a  e.  J  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  ->  (  +oo  e.  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,] 
+oo ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A ) ) )
8281imp 419 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  A. a  e.  J  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
)  ->  (  +oo  e.  ( ( x (,] 
+oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A ) )
8339, 82mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  A. a  e.  J  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
)  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
8483ex 424 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. a  e.  J  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A ) )
8584ralrimdva 2764 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  J  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  ->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
)
86 simplll 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  J )  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  /\  +oo  e.  a )  ->  ph )
87 simpllr 736 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  J )  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  /\  +oo  e.  a )  ->  a  e.  J )
88 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  J )  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  /\  +oo  e.  a )  ->  +oo  e.  a )
891pnfneige0 24297 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  J  /\  +oo 
e.  a )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,]  +oo )  C_  a )
9087, 88, 89syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  J )  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  /\  +oo  e.  a )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)
91 simplr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  J )  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  /\  +oo  e.  a )  ->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
92 r19.29r 2815 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. x  e.  RR  ( x (,]  +oo )  C_  a  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )  ->  E. x  e.  RR  ( ( x (,] 
+oo )  C_  a  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A ) )
93 simp-4l 743 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  ->  ph )
94 uznnssnn 10488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( l  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  l )  C_  NN )
9594ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  ->  ( ZZ>= `  l )  C_  NN )
96 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)
9795, 96sseldd 3317 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  ->  k  e.  NN )
9893, 97jca 519 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  ->  ( ph  /\  k  e.  NN ) )
99 simp-4r 744 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  ->  x  e.  RR )
100 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  ->  ( x (,]  +oo )  C_  a
)
101 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  x  <  A )  ->  ( x (,]  +oo )  C_  a
)
102 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  <  A
)  ->  x  e.  RR )
103102rexrd 9098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  <  A
)  ->  x  e.  RR* )
10415ffvelrnda 5837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
10516, 104eqeltrrd 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
1067, 105sseldi 3314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e. 
RR* )
107106ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  <  A
)  ->  A  e.  RR* )
108 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  <  A
)  ->  x  <  A )
109 pnfge 10691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  RR*  ->  A  <_  +oo )
110107, 109syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  <  A
)  ->  A  <_  +oo )
11169biimpar 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  ( A  e.  RR*  /\  x  <  A  /\  A  <_  +oo ) )  ->  A  e.  ( x (,]  +oo ) )
112103, 107, 108, 110, 111syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  <  A
)  ->  A  e.  ( x (,]  +oo ) )
113112adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  x  <  A )  ->  A  e.  ( x (,]  +oo ) )
114101, 113sseldd 3317 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  x  <  A )  ->  A  e.  a )
115114ex 424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  ->  ( x  <  A  ->  A  e.  a ) )
11698, 99, 100, 115syl21anc 1183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  ->  ( x  <  A  ->  A  e.  a ) )
117116ralimdva 2752 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,]  +oo )  C_  a )  /\  l  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  l )
x  <  A  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a ) )
118117reximdva 2786 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x (,]  +oo )  C_  a )  ->  ( E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) x  < 
A  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
)
11978, 118syl5bi 209 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x (,]  +oo )  C_  a )  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
)
120119expimpd 587 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( x (,]  +oo )  C_  a  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a ) )
121120rexlimdva 2798 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  RR  ( ( x (,]  +oo )  C_  a  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
)
12292, 121syl5 30 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  a  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
)
123122imp 419 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( E. x  e.  RR  (
x (,]  +oo )  C_  a  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
)  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
12486, 90, 91, 123syl12anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  J )  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  /\  +oo  e.  a )  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
125124exp31 588 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  J )  ->  ( A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A  ->  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
) )
126125ralrimdva 2764 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A  ->  A. a  e.  J  ( 
+oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a ) ) )
12785, 126impbid 184 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  J  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  <->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
)
12825, 127bitrd 245 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J )  +oo  <->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2674   E.wrex 2675   _Vcvv 2924    i^i cin 3287    C_ wss 3288   class class class wbr 4180   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   RRcr 8953   0cc0 8954   1c1 8955    +oocpnf 9081   RR*cxr 9083    < clt 9084    <_ cle 9085   NNcn 9964   ZZcz 10246   ZZ>=cuz 10452   (,]cioc 10881   [,]cicc 10883   ↾s cress 13433   ↾t crest 13611   TopOpenctopn 13612  ordTopcordt 13684   RR* scxrs 13685   Topctop 16921  TopOnctopon 16922   ~~> tclm 17252
This theorem is referenced by:  lmdvglim  24300
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6872  df-pm 6988  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-fi 7382  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-ioo 10884  df-ioc 10885  df-ico 10886  df-icc 10887  df-fz 11008  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-tset 13511  df-ple 13512  df-ds 13514  df-rest 13613  df-topn 13614  df-topgen 13630  df-ordt 13688  df-xrs 13689  df-ps 14592  df-tsr 14593  df-top 16926  df-bases 16928  df-topon 16929  df-lm 17255
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