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Theorem lmxrge0 24368
Description: Express "sequence  F converges to plus infinity" (i.e. diverges), for a sequence of non-negative extended real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lmxrge0.j  |-  J  =  ( TopOpen `  ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) ) )
lmxrge0.6  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( 0 [,]  +oo ) )
lmxrge0.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  =  A )
Assertion
Ref Expression
lmxrge0  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J )  +oo  <->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
)
Distinct variable groups:    x, j, A    j, k, F, x   
k, J, x    ph, k, x
Allowed substitution hints:    ph( j)    A( k)    J( j)

Proof of Theorem lmxrge0
Dummy variables  a 
l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmxrge0.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( TopOpen `  ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) ) )
2 eqid 2442 . . . . . . . 8  |-  ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) )  =  (
RR* ss  ( 0 [,] 
+oo ) )
3 xrstopn 17303 . . . . . . . 8  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( TopOpen `  RR* s )
42, 3resstopn 17281 . . . . . . 7  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] 
+oo ) )  =  ( TopOpen `  ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) ) )
51, 4eqtr4i 2465 . . . . . 6  |-  J  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,]  +oo )
)
6 letopon 17300 . . . . . . 7  |-  (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )
7 iccssxr 11024 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,]  +oo )  C_  RR*
8 resttopon 17256 . . . . . . 7  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )  /\  ( 0 [,]  +oo )  C_  RR* )  ->  (
(ordTop `  <_  )t  ( 0 [,]  +oo ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,]  +oo ) ) )
96, 7, 8mp2an 655 . . . . . 6  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] 
+oo ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,]  +oo ) )
105, 9eqeltri 2512 . . . . 5  |-  J  e.  (TopOn `  ( 0 [,]  +oo ) )
1110a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  ( 0 [,]  +oo ) ) )
12 nnuz 10552 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
13 1z 10342 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
1413a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
15 lmxrge0.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( 0 [,]  +oo ) )
16 lmxrge0.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  =  A )
1711, 12, 14, 15, 16lmbrf 17355 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J )  +oo  <->  (  +oo  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  A. a  e.  J  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a ) ) ) )
18 0xr 9162 . . . . 5  |-  0  e.  RR*
19 pnfxr 10744 . . . . 5  |-  +oo  e.  RR*
20 pnfge 10758 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  RR*  ->  0  <_  +oo )
2118, 20ax-mp 5 . . . . 5  |-  0  <_  +oo
22 ubicc2 11045 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR*  /\  0  <_  +oo )  ->  +oo  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
2318, 19, 21, 22mp3an 1280 . . . 4  |-  +oo  e.  ( 0 [,]  +oo )
2423biantrur 494 . . 3  |-  ( A. a  e.  J  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  <->  ( 
+oo  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  A. a  e.  J  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
) )
2517, 24syl6bbr 256 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J )  +oo  <->  A. a  e.  J  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
) )
26 rexr 9161 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
2719a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  +oo  e.  RR* )
28 ltpnf 10752 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  x  <  +oo )
29 ubioc1 10996 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR*  /\  x  <  +oo )  ->  +oo  e.  ( x (,]  +oo ) )
3026, 27, 28, 29syl3anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  +oo  e.  ( x (,]  +oo ) )
31 0re 9122 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
32 ltpnf 10752 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  <  +oo )
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  +oo
34 ubioc1 10996 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR*  /\  0  <  +oo )  ->  +oo  e.  ( 0 (,]  +oo ) )
3518, 19, 33, 34mp3an 1280 . . . . . . . . 9  |-  +oo  e.  ( 0 (,]  +oo )
3630, 35jctir 526 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  (  +oo  e.  ( x (,] 
+oo )  /\  +oo  e.  ( 0 (,]  +oo ) ) )
37 elin 3516 . . . . . . . 8  |-  (  +oo  e.  ( ( x (,] 
+oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) )  <-> 
(  +oo  e.  (
x (,]  +oo )  /\  +oo 
e.  ( 0 (,] 
+oo ) ) )
3836, 37sylibr 205 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  +oo  e.  ( ( x (,] 
+oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )
3938ad2antlr 709 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  A. a  e.  J  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
)  ->  +oo  e.  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,] 
+oo ) ) )
40 letop 17301 . . . . . . . . . . 11  |-  (ordTop `  <_  )  e.  Top
41 ovex 6135 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,]  +oo )  e.  _V
42 iocpnfordt 17310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x (,]  +oo )  e.  (ordTop `  <_  )
43 iocpnfordt 17310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 (,]  +oo )  e.  (ordTop `  <_  )
44 inopn 17003 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e. 
Top  /\  ( x (,]  +oo )  e.  (ordTop `  <_  )  /\  (
0 (,]  +oo )  e.  (ordTop `  <_  ) )  ->  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) )  e.  (ordTop `  <_  ) )
4540, 42, 43, 44mp3an 1280 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,]  +oo ) )  e.  (ordTop `  <_  )
46 elrestr 13687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e. 
Top  /\  ( 0 [,]  +oo )  e.  _V  /\  ( ( x (,] 
+oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) )  e.  (ordTop `  <_  ) )  ->  ( (
( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,] 
+oo ) )  i^i  ( 0 [,]  +oo ) )  e.  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,]  +oo ) ) )
4740, 41, 45, 46mp3an 1280 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,] 
+oo ) )  i^i  ( 0 [,]  +oo ) )  e.  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,]  +oo ) )
48 inss2 3547 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,]  +oo ) )  C_  (
0 (,]  +oo )
49 iocssicc 24161 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 (,]  +oo )  C_  (
0 [,]  +oo )
5048, 49sstri 3343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,]  +oo ) )  C_  (
0 [,]  +oo )
51 sseqin2 3545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,] 
+oo ) )  C_  ( 0 [,]  +oo ) 
<->  ( ( 0 [,] 
+oo )  i^i  (
( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,] 
+oo ) ) )  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )
5250, 51mpbi 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0 [,]  +oo )  i^i  ( ( x (,] 
+oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,]  +oo ) )
53 incom 3519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0 [,]  +oo )  i^i  ( ( x (,] 
+oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  =  ( ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,] 
+oo ) )  i^i  ( 0 [,]  +oo ) )
5452, 53eqtr3i 2464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,]  +oo ) )  =  ( ( ( x (,] 
+oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) )  i^i  ( 0 [,] 
+oo ) )
5547, 54, 53eltr4i 2521 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,]  +oo ) )  e.  J
5655a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,]  +oo ) )  e.  J
)
57 eleq2 2503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) )  ->  (  +oo  e.  a 
<-> 
+oo  e.  ( (
x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,]  +oo ) ) ) )
5857adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  ->  (  +oo  e.  a  <->  +oo  e.  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,]  +oo ) ) ) )
5958biimprd 216 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  ->  (  +oo  e.  ( ( x (,] 
+oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) )  ->  +oo  e.  a
) )
60 simp-5r 747 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  A  e.  a )  ->  x  e.  RR )
6160rexrd 9165 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  A  e.  a )  ->  x  e.  RR* )
62 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  A  e.  a )  ->  A  e.  a )
63 simp-4r 745 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  A  e.  a )  ->  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )
6462, 63eleqtrd 2518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  A  e.  a )  ->  A  e.  ( ( x (,] 
+oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )
65 elin 3516 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) )  <-> 
( A  e.  ( x (,]  +oo )  /\  A  e.  (
0 (,]  +oo ) ) )
6665simplbi 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) )  ->  A  e.  ( x (,]  +oo )
)
6764, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  A  e.  a )  ->  A  e.  ( x (,]  +oo ) )
68 elioc1 10989 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( x (,]  +oo )  <->  ( A  e.  RR*  /\  x  < 
A  /\  A  <_  +oo ) ) )
6919, 68mpan2 654 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( A  e.  ( x (,] 
+oo )  <->  ( A  e.  RR*  /\  x  < 
A  /\  A  <_  +oo ) ) )
7069biimpa 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  A  e.  ( x (,]  +oo ) )  ->  ( A  e.  RR*  /\  x  <  A  /\  A  <_  +oo ) )
7170simp2d 971 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  A  e.  ( x (,]  +oo ) )  ->  x  <  A )
7261, 67, 71syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  A  e.  a )  ->  x  <  A )
7372ex 425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,] 
+oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  ( A  e.  a  ->  x  <  A ) )
7473ralimdva 2790 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  (
( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,] 
+oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) x  < 
A ) )
7574reximdva 2824 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  ->  ( E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) x  < 
A ) )
76 fveq2 5757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  l  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  ( ZZ>= `  l )
)
7776raleqdv 2916 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  l  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) x  <  A  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  l )
x  <  A )
)
7877cbvrexv 2939 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A  <->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) x  < 
A )
7975, 78syl6ibr 220 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  ->  ( E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A ) )
8059, 79imim12d 71 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  ->  ( (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  ->  (  +oo  e.  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,] 
+oo ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A ) ) )
8156, 80rspcimdv 3059 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. a  e.  J  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  ->  (  +oo  e.  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,] 
+oo ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A ) ) )
8281imp 420 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  A. a  e.  J  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
)  ->  (  +oo  e.  ( ( x (,] 
+oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A ) )
8339, 82mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  A. a  e.  J  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
)  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
8483ex 425 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. a  e.  J  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A ) )
8584ralrimdva 2802 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  J  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  ->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
)
86 simplll 736 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  J )  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  /\  +oo  e.  a )  ->  ph )
87 simpllr 737 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  J )  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  /\  +oo  e.  a )  ->  a  e.  J )
88 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  J )  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  /\  +oo  e.  a )  ->  +oo  e.  a )
891pnfneige0 24367 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  J  /\  +oo 
e.  a )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,]  +oo )  C_  a )
9087, 88, 89syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  J )  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  /\  +oo  e.  a )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)
91 simplr 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  J )  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  /\  +oo  e.  a )  ->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
92 r19.29r 2853 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. x  e.  RR  ( x (,]  +oo )  C_  a  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )  ->  E. x  e.  RR  ( ( x (,] 
+oo )  C_  a  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A ) )
93 simp-4l 744 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  ->  ph )
94 uznnssnn 10555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( l  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  l )  C_  NN )
9594ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  ->  ( ZZ>= `  l )  C_  NN )
96 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)
9795, 96sseldd 3335 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  ->  k  e.  NN )
9893, 97jca 520 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  ->  ( ph  /\  k  e.  NN ) )
99 simp-4r 745 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  ->  x  e.  RR )
100 simpllr 737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  ->  ( x (,]  +oo )  C_  a
)
101 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  x  <  A )  ->  ( x (,]  +oo )  C_  a
)
102 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  <  A
)  ->  x  e.  RR )
103102rexrd 9165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  <  A
)  ->  x  e.  RR* )
10415ffvelrnda 5899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
10516, 104eqeltrrd 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
1067, 105sseldi 3332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e. 
RR* )
107106ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  <  A
)  ->  A  e.  RR* )
108 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  <  A
)  ->  x  <  A )
109 pnfge 10758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  RR*  ->  A  <_  +oo )
110107, 109syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  <  A
)  ->  A  <_  +oo )
11169biimpar 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  ( A  e.  RR*  /\  x  <  A  /\  A  <_  +oo ) )  ->  A  e.  ( x (,]  +oo ) )
112103, 107, 108, 110, 111syl13anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  <  A
)  ->  A  e.  ( x (,]  +oo ) )
113112adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  x  <  A )  ->  A  e.  ( x (,]  +oo ) )
114101, 113sseldd 3335 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  x  <  A )  ->  A  e.  a )
115114ex 425 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  ->  ( x  <  A  ->  A  e.  a ) )
11698, 99, 100, 115syl21anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  ->  ( x  <  A  ->  A  e.  a ) )
117116ralimdva 2790 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,]  +oo )  C_  a )  /\  l  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  l )
x  <  A  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a ) )
118117reximdva 2824 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x (,]  +oo )  C_  a )  ->  ( E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) x  < 
A  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
)
11978, 118syl5bi 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x (,]  +oo )  C_  a )  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
)
120119expimpd 588 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( x (,]  +oo )  C_  a  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a ) )
121120rexlimdva 2836 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  RR  ( ( x (,]  +oo )  C_  a  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
)
12292, 121syl5 31 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  a  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
)
123122imp 420 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( E. x  e.  RR  (
x (,]  +oo )  C_  a  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
)  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
12486, 90, 91, 123syl12anc 1183 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  J )  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  /\  +oo  e.  a )  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
125124exp31 589 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  J )  ->  ( A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A  ->  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
) )
126125ralrimdva 2802 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A  ->  A. a  e.  J  ( 
+oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a ) ) )
12785, 126impbid 185 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  J  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  <->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
)
12825, 127bitrd 246 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J )  +oo  <->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1727   A.wral 2711   E.wrex 2712   _Vcvv 2962    i^i cin 3305    C_ wss 3306   class class class wbr 4237   -->wf 5479   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   RRcr 9020   0cc0 9021   1c1 9022    +oocpnf 9148   RR*cxr 9150    < clt 9151    <_ cle 9152   NNcn 10031   ZZcz 10313   ZZ>=cuz 10519   (,]cioc 10948   [,]cicc 10950   ↾s cress 13501   ↾t crest 13679   TopOpenctopn 13680  ordTopcordt 13752   RR* scxrs 13753   Topctop 16989  TopOnctopon 16990   ~~> tclm 17321
This theorem is referenced by:  lmdvglim  24370
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-pm 7050  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-fi 7445  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-7 10094  df-8 10095  df-9 10096  df-10 10097  df-n0 10253  df-z 10314  df-dec 10414  df-uz 10520  df-ioo 10951  df-ioc 10952  df-ico 10953  df-icc 10954  df-fz 11075  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-tset 13579  df-ple 13580  df-ds 13582  df-rest 13681  df-topn 13682  df-topgen 13698  df-ordt 13756  df-xrs 13757  df-ps 14660  df-tsr 14661  df-top 16994  df-bases 16996  df-topon 16997  df-lm 17324
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