Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmxrge0 Unicode version

Theorem lmxrge0 23692
Description: Express "sequence  F converges to plus infinity" (i.e. diverges), for a sequence of non-negative extended real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lmxrge0.j  |-  J  =  ( TopOpen `  ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) ) )
lmxrge0.6  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( 0 [,]  +oo ) )
lmxrge0.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  =  A )
Assertion
Ref Expression
lmxrge0  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J )  +oo  <->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
)
Distinct variable groups:    x, j, A    j, k, F, x   
k, J, x    ph, k, x
Allowed substitution hints:    ph( j)    A( k)    J( j)

Proof of Theorem lmxrge0
Dummy variables  a 
l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmxrge0.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( TopOpen `  ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) ) )
2 eqid 2366 . . . . . . . 8  |-  ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) )  =  (
RR* ss  ( 0 [,] 
+oo ) )
3 xrstopn 17155 . . . . . . . 8  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( TopOpen `  RR* s )
42, 3resstopn 17133 . . . . . . 7  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] 
+oo ) )  =  ( TopOpen `  ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) ) )
51, 4eqtr4i 2389 . . . . . 6  |-  J  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,]  +oo )
)
6 letopon 17152 . . . . . . 7  |-  (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )
7 iccssxr 10885 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,]  +oo )  C_  RR*
8 resttopon 17109 . . . . . . 7  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )  /\  ( 0 [,]  +oo )  C_  RR* )  ->  (
(ordTop `  <_  )t  ( 0 [,]  +oo ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,]  +oo ) ) )
96, 7, 8mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] 
+oo ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,]  +oo ) )
105, 9eqeltri 2436 . . . . 5  |-  J  e.  (TopOn `  ( 0 [,]  +oo ) )
1110a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  ( 0 [,]  +oo ) ) )
12 nnuz 10414 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
13 1z 10204 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
1413a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
15 lmxrge0.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( 0 [,]  +oo ) )
16 lmxrge0.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  =  A )
1711, 12, 14, 15, 16lmbrf 17207 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J )  +oo  <->  (  +oo  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  A. a  e.  J  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a ) ) ) )
18 0xr 9025 . . . . 5  |-  0  e.  RR*
19 pnfxr 10606 . . . . 5  |-  +oo  e.  RR*
20 pnfge 10620 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  RR*  ->  0  <_  +oo )
2118, 20ax-mp 8 . . . . 5  |-  0  <_  +oo
22 ubicc2 10906 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR*  /\  0  <_  +oo )  ->  +oo  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
2318, 19, 21, 22mp3an 1278 . . . 4  |-  +oo  e.  ( 0 [,]  +oo )
2423biantrur 492 . . 3  |-  ( A. a  e.  J  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  <->  ( 
+oo  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  A. a  e.  J  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
) )
2517, 24syl6bbr 254 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J )  +oo  <->  A. a  e.  J  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
) )
26 rexr 9024 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
2719a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  +oo  e.  RR* )
28 ltpnf 10614 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  x  <  +oo )
29 ubioc1 10858 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR*  /\  x  <  +oo )  ->  +oo  e.  ( x (,]  +oo ) )
3026, 27, 28, 29syl3anc 1183 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  +oo  e.  ( x (,]  +oo ) )
31 0re 8985 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
32 ltpnf 10614 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  <  +oo )
3331, 32ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  +oo
34 ubioc1 10858 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR*  /\  0  <  +oo )  ->  +oo  e.  ( 0 (,]  +oo ) )
3518, 19, 33, 34mp3an 1278 . . . . . . . . 9  |-  +oo  e.  ( 0 (,]  +oo )
3630, 35jctir 524 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  (  +oo  e.  ( x (,] 
+oo )  /\  +oo  e.  ( 0 (,]  +oo ) ) )
37 elin 3446 . . . . . . . 8  |-  (  +oo  e.  ( ( x (,] 
+oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) )  <-> 
(  +oo  e.  (
x (,]  +oo )  /\  +oo 
e.  ( 0 (,] 
+oo ) ) )
3836, 37sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  +oo  e.  ( ( x (,] 
+oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )
3938ad2antlr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  A. a  e.  J  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
)  ->  +oo  e.  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,] 
+oo ) ) )
40 inss2 3478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,]  +oo ) )  C_  (
0 (,]  +oo )
41 iocssicc 23530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 (,]  +oo )  C_  (
0 [,]  +oo )
4240, 41sstri 3274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,]  +oo ) )  C_  (
0 [,]  +oo )
43 sseqin2 3476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,] 
+oo ) )  C_  ( 0 [,]  +oo ) 
<->  ( ( 0 [,] 
+oo )  i^i  (
( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,] 
+oo ) ) )  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )
4442, 43mpbi 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0 [,]  +oo )  i^i  ( ( x (,] 
+oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,]  +oo ) )
45 incom 3449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0 [,]  +oo )  i^i  ( ( x (,] 
+oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  =  ( ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,] 
+oo ) )  i^i  ( 0 [,]  +oo ) )
4644, 45eqtr3i 2388 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,]  +oo ) )  =  ( ( ( x (,] 
+oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) )  i^i  ( 0 [,] 
+oo ) )
476topontopi 16886 . . . . . . . . . . . 12  |-  (ordTop `  <_  )  e.  Top
48 ovex 6006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 [,]  +oo )  e.  _V
49 iocpnfordt 17162 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x (,]  +oo )  e.  (ordTop `  <_  )
50 iocpnfordt 17162 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 (,]  +oo )  e.  (ordTop `  <_  )
51 inopn 16862 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e. 
Top  /\  ( x (,]  +oo )  e.  (ordTop `  <_  )  /\  (
0 (,]  +oo )  e.  (ordTop `  <_  ) )  ->  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) )  e.  (ordTop `  <_  ) )
5247, 49, 50, 51mp3an 1278 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,]  +oo ) )  e.  (ordTop `  <_  )
53 elrestr 13543 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e. 
Top  /\  ( 0 [,]  +oo )  e.  _V  /\  ( ( x (,] 
+oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) )  e.  (ordTop `  <_  ) )  ->  ( (
( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,] 
+oo ) )  i^i  ( 0 [,]  +oo ) )  e.  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,]  +oo ) ) )
5447, 48, 52, 53mp3an 1278 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,] 
+oo ) )  i^i  ( 0 [,]  +oo ) )  e.  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,]  +oo ) )
5554, 5eleqtrri 2439 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,] 
+oo ) )  i^i  ( 0 [,]  +oo ) )  e.  J
5646, 55eqeltri 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,]  +oo ) )  e.  J
5756a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,]  +oo ) )  e.  J
)
58 eleq2 2427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) )  ->  (  +oo  e.  a 
<-> 
+oo  e.  ( (
x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,]  +oo ) ) ) )
5958adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  ->  (  +oo  e.  a  <->  +oo  e.  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,]  +oo ) ) ) )
6059biimprd 214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  ->  (  +oo  e.  ( ( x (,] 
+oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) )  ->  +oo  e.  a
) )
61 simp-5r 745 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  A  e.  a )  ->  x  e.  RR )
6261rexrd 9028 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  A  e.  a )  ->  x  e.  RR* )
63 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  A  e.  a )  ->  A  e.  a )
64 simp-4r 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  A  e.  a )  ->  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )
6563, 64eleqtrd 2442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  A  e.  a )  ->  A  e.  ( ( x (,] 
+oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )
66 elin 3446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) )  <-> 
( A  e.  ( x (,]  +oo )  /\  A  e.  (
0 (,]  +oo ) ) )
6766simplbi 446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) )  ->  A  e.  ( x (,]  +oo )
)
6865, 67syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  A  e.  a )  ->  A  e.  ( x (,]  +oo ) )
69 elioc1 10851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( x (,]  +oo )  <->  ( A  e.  RR*  /\  x  < 
A  /\  A  <_  +oo ) ) )
7019, 69mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( A  e.  ( x (,] 
+oo )  <->  ( A  e.  RR*  /\  x  < 
A  /\  A  <_  +oo ) ) )
7170biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( A  e.  ( x (,] 
+oo )  ->  ( A  e.  RR*  /\  x  <  A  /\  A  <_  +oo ) ) )
7271imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  A  e.  ( x (,]  +oo ) )  ->  ( A  e.  RR*  /\  x  <  A  /\  A  <_  +oo ) )
7372simp2d 969 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  A  e.  ( x (,]  +oo ) )  ->  x  <  A )
7462, 68, 73syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  A  e.  a )  ->  x  <  A )
7574ex 423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,] 
+oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  ( A  e.  a  ->  x  <  A ) )
7675ralimdva 2706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  (
( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,] 
+oo ) ) )  /\  l  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) x  < 
A ) )
7776reximdva 2740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  ->  ( E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) x  < 
A ) )
7877imp 418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  (
( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,] 
+oo ) ) )  /\  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) x  < 
A )
79 fveq2 5632 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  l  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  ( ZZ>= `  l )
)
8079raleqdv 2827 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  l  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) x  <  A  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  l )
x  <  A )
)
8180cbvrexv 2850 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A  <->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) x  < 
A )
8278, 81sylibr 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  (
( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,] 
+oo ) ) )  /\  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )
8382ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  ->  ( E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A ) )
8460, 83imim12d 68 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  a  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) ) )  ->  ( (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  ->  (  +oo  e.  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,] 
+oo ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A ) ) )
8557, 84rspcimdv 2970 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. a  e.  J  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  ->  (  +oo  e.  ( ( x (,]  +oo )  i^i  ( 0 (,] 
+oo ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A ) ) )
8685imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  A. a  e.  J  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
)  ->  (  +oo  e.  ( ( x (,] 
+oo )  i^i  (
0 (,]  +oo ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A ) )
8739, 86mpd 14 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  A. a  e.  J  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
)  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
8887ex 423 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. a  e.  J  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A ) )
8988ralrimdva 2718 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  J  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  ->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
)
90 simplll 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  J )  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  /\  +oo  e.  a )  ->  ph )
91 simpllr 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  J )  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  /\  +oo  e.  a )  ->  a  e.  J )
92 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  J )  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  /\  +oo  e.  a )  ->  +oo  e.  a )
931pnfneige0 23691 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  J  /\  +oo 
e.  a )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,]  +oo )  C_  a )
9491, 92, 93syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  J )  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  /\  +oo  e.  a )  ->  E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)
95 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  J )  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  /\  +oo  e.  a )  ->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
96 r19.29r 2769 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E. x  e.  RR  ( x (,]  +oo )  C_  a  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )  ->  E. x  e.  RR  ( ( x (,] 
+oo )  C_  a  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A ) )
97 simp-4l 742 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  ->  ph )
98 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  ->  l  e.  NN )
99 uzss 10399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( l  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ZZ>= `  l )  C_  ( ZZ>=
`  1 ) )
10099, 12syl6sseqr 3311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( l  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ZZ>= `  l )  C_  NN )
101100, 12eleq2s 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( l  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  l )  C_  NN )
10298, 101syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  ->  ( ZZ>= `  l )  C_  NN )
103 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)
104102, 103sseldd 3267 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  ->  k  e.  NN )
10597, 104jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  ->  ( ph  /\  k  e.  NN ) )
106 simp-4r 743 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  ->  x  e.  RR )
107 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  ->  ( x (,]  +oo )  C_  a
)
108 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  x  <  A )  ->  ( x (,]  +oo )  C_  a
)
109 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  <  A
)  ->  x  e.  RR )
110109rexrd 9028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  <  A
)  ->  x  e.  RR* )
11115ffvelrnda 5772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
11216, 111eqeltrrd 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
1137, 112sseldi 3264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e. 
RR* )
114113ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  <  A
)  ->  A  e.  RR* )
115 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  <  A
)  ->  x  <  A )
116 pnfge 10620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  RR*  ->  A  <_  +oo )
117114, 116syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  <  A
)  ->  A  <_  +oo )
11870biimprd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( A  e.  RR*  /\  x  <  A  /\  A  <_  +oo )  ->  A  e.  ( x (,]  +oo ) ) )
119118imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  ( A  e.  RR*  /\  x  <  A  /\  A  <_  +oo ) )  ->  A  e.  ( x (,]  +oo ) )
120110, 114, 115, 117, 119syl13anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  <  A
)  ->  A  e.  ( x (,]  +oo ) )
121120adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  x  <  A )  ->  A  e.  ( x (,]  +oo ) )
122108, 121sseldd 3267 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  x  <  A )  ->  A  e.  a )
123122ex 423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  ->  ( x  <  A  ->  A  e.  a ) )
124105, 106, 107, 123syl21anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,] 
+oo )  C_  a
)  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  l )
)  ->  ( x  <  A  ->  A  e.  a ) )
125124ralimdva 2706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( x (,]  +oo )  C_  a )  /\  l  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  l )
x  <  A  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a ) )
126125reximdva 2740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x (,]  +oo )  C_  a )  ->  ( E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) x  < 
A  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
)
12781, 126syl5bi 208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x (,]  +oo )  C_  a )  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
)
128127expimpd 586 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( x (,]  +oo )  C_  a  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a ) )
129128rexlimdva 2752 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  RR  ( ( x (,]  +oo )  C_  a  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
)
13096, 129syl5 28 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( E. x  e.  RR  ( x (,] 
+oo )  C_  a  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
)
131130imp 418 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( E. x  e.  RR  (
x (,]  +oo )  C_  a  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
)  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
13290, 94, 95, 131syl12anc 1181 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  J )  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A )  /\  +oo  e.  a )  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
133132ex 423 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  J )  /\  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )  ->  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a ) )
134133ex 423 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  J )  ->  ( A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) x  < 
A  ->  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )
) )
135134ralrimdva 2718 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A  ->  A. a  e.  J  ( 
+oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a ) ) )
13689, 135impbid 183 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  J  (  +oo  e.  a  ->  E. l  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  l ) A  e.  a )  <->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
)
13725, 136bitrd 244 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J )  +oo  <->  A. x  e.  RR  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
x  <  A )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 935    = wceq 1647    e. wcel 1715   A.wral 2628   E.wrex 2629   _Vcvv 2873    i^i cin 3237    C_ wss 3238   class class class wbr 4125   -->wf 5354   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   RRcr 8883   0cc0 8884   1c1 8885    +oocpnf 9011   RR*cxr 9013    < clt 9014    <_ cle 9015   NNcn 9893   ZZcz 10175   ZZ>=cuz 10381   (,]cioc 10810   [,]cicc 10812   ↾s cress 13357   ↾t crest 13535   TopOpenctopn 13536  ordTopcordt 13608   RR* scxrs 13609   Topctop 16848  TopOnctopon 16849   ~~> tclm 17173
This theorem is referenced by:  lmdvglim  23694
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-oadd 6625  df-er 6802  df-pm 6918  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-fi 7312  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-7 9956  df-8 9957  df-9 9958  df-10 9959  df-n0 10115  df-z 10176  df-dec 10276  df-uz 10382  df-ioo 10813  df-ioc 10814  df-ico 10815  df-icc 10816  df-fz 10936  df-struct 13358  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-tset 13435  df-ple 13436  df-ds 13438  df-rest 13537  df-topn 13538  df-topgen 13554  df-ordt 13612  df-xrs 13613  df-ps 14516  df-tsr 14517  df-top 16853  df-bases 16855  df-topon 16856  df-lm 17176
  Copyright terms: Public domain W3C validator