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Theorem lncmp 30580
Description: If two lines are comparable, they are equal. (Contributed by NM, 30-Apr-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lncmp.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lncmp.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lncmp.n  |-  N  =  ( Lines `  K )
lncmp.m  |-  M  =  ( pmap `  K
)
Assertion
Ref Expression
lncmp  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( M `  X )  e.  N  /\  ( M `  Y
)  e.  N ) )  ->  ( X  .<_  Y  <->  X  =  Y
) )

Proof of Theorem lncmp
Dummy variables  q  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplrl 737 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  ( M `  X )  e.  N
)
2 simpll1 996 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  K  e.  HL )
3 simpll2 997 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  X  e.  B
)
4 lncmp.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
5 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
6 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
7 lncmp.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( Lines `  K )
8 lncmp.m . . . . . . 7  |-  M  =  ( pmap `  K
)
94, 5, 6, 7, 8isline3 30573 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( ( M `  X )  e.  N  <->  E. p  e.  ( Atoms `  K ) E. q  e.  ( Atoms `  K )
( p  =/=  q  /\  X  =  (
p ( join `  K
) q ) ) ) )
102, 3, 9syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  ( ( M `
 X )  e.  N  <->  E. p  e.  (
Atoms `  K ) E. q  e.  ( Atoms `  K ) ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p (
join `  K )
q ) ) ) )
111, 10mpbid 202 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  E. p  e.  (
Atoms `  K ) E. q  e.  ( Atoms `  K ) ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p (
join `  K )
q ) ) )
12 simp3rr 1031 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  ->  X  =  ( p
( join `  K )
q ) )
13 simp1l1 1050 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  ->  K  e.  HL )
14 simp1l3 1052 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  ->  Y  e.  B )
15 simp1rr 1023 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  -> 
( M `  Y
)  e.  N )
16 simp3ll 1028 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  ->  p  e.  ( Atoms `  K ) )
17 simp3lr 1029 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  -> 
q  e.  ( Atoms `  K ) )
18 simp3rl 1030 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  ->  p  =/=  q )
19 lncmp.l . . . . . . . . . 10  |-  .<_  =  ( le `  K )
20 hllat 30161 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
2113, 20syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  ->  K  e.  Lat )
224, 6atbase 30087 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  ( Atoms `  K
)  ->  p  e.  B )
2316, 22syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  ->  p  e.  B )
24 simp1l2 1051 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  ->  X  e.  B )
2519, 5, 6hlatlej1 30172 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  p  .<_  ( p ( join `  K
) q ) )
2613, 16, 17, 25syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  ->  p  .<_  ( p (
join `  K )
q ) )
2726, 12breqtrrd 4238 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  ->  p  .<_  X )
28 simp2 958 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  ->  X  .<_  Y )
294, 19, 21, 23, 24, 14, 27, 28lattrd 14487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  ->  p  .<_  Y )
304, 6atbase 30087 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  e.  ( Atoms `  K
)  ->  q  e.  B )
3117, 30syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  -> 
q  e.  B )
3219, 5, 6hlatlej2 30173 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  q  .<_  ( p ( join `  K
) q ) )
3313, 16, 17, 32syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  -> 
q  .<_  ( p (
join `  K )
q ) )
3433, 12breqtrrd 4238 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  -> 
q  .<_  X )
354, 19, 21, 31, 24, 14, 34, 28lattrd 14487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  -> 
q  .<_  Y )
364, 19, 5, 6, 7, 8lneq2at 30575 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  B  /\  ( M `  Y )  e.  N )  /\  ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )  /\  p  =/=  q )  /\  (
p  .<_  Y  /\  q  .<_  Y ) )  ->  Y  =  ( p
( join `  K )
q ) )
3713, 14, 15, 16, 17, 18, 29, 35, 36syl332anc 1215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  ->  Y  =  ( p
( join `  K )
q ) )
3812, 37eqtr4d 2471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  ->  X  =  Y )
39383expia 1155 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  ( ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) )  ->  X  =  Y ) )
4039exp3a 426 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  ( ( p  e.  ( Atoms `  K
)  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( (
p  =/=  q  /\  X  =  ( p
( join `  K )
q ) )  ->  X  =  Y )
) )
4140rexlimdvv 2836 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  ( E. p  e.  ( Atoms `  K ) E. q  e.  ( Atoms `  K ) ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p
( join `  K )
q ) )  ->  X  =  Y )
)
4211, 41mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  X  =  Y )
4342ex 424 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( M `  X )  e.  N  /\  ( M `  Y
)  e.  N ) )  ->  ( X  .<_  Y  ->  X  =  Y ) )
44 simpl1 960 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( M `  X )  e.  N  /\  ( M `  Y
)  e.  N ) )  ->  K  e.  HL )
4544, 20syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( M `  X )  e.  N  /\  ( M `  Y
)  e.  N ) )  ->  K  e.  Lat )
46 simpl2 961 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( M `  X )  e.  N  /\  ( M `  Y
)  e.  N ) )  ->  X  e.  B )
474, 19latref 14482 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B )  ->  X  .<_  X )
4845, 46, 47syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( M `  X )  e.  N  /\  ( M `  Y
)  e.  N ) )  ->  X  .<_  X )
49 breq2 4216 . . 3  |-  ( X  =  Y  ->  ( X  .<_  X  <->  X  .<_  Y ) )
5048, 49syl5ibcom 212 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( M `  X )  e.  N  /\  ( M `  Y
)  e.  N ) )  ->  ( X  =  Y  ->  X  .<_  Y ) )
5143, 50impbid 184 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( M `  X )  e.  N  /\  ( M `  Y
)  e.  N ) )  ->  ( X  .<_  Y  <->  X  =  Y
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   E.wrex 2706   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469   lecple 13536   joincjn 14401   Latclat 14474   Atomscatm 30061   HLchlt 30148   Linesclines 30291   pmapcpmap 30294
This theorem is referenced by:  2lnat  30581
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-undef 6543  df-riota 6549  df-poset 14403  df-plt 14415  df-lub 14431  df-glb 14432  df-join 14433  df-meet 14434  df-p0 14468  df-lat 14475  df-clat 14537  df-oposet 29974  df-ol 29976  df-oml 29977  df-covers 30064  df-ats 30065  df-atl 30096  df-cvlat 30120  df-hlat 30149  df-lines 30298  df-pmap 30301
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