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Theorem lncmp 29972
Description: If two lines are comparable, they are equal. (Contributed by NM, 30-Apr-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lncmp.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lncmp.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lncmp.n  |-  N  =  ( Lines `  K )
lncmp.m  |-  M  =  ( pmap `  K
)
Assertion
Ref Expression
lncmp  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( M `  X )  e.  N  /\  ( M `  Y
)  e.  N ) )  ->  ( X  .<_  Y  <->  X  =  Y
) )

Proof of Theorem lncmp
Dummy variables  q  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplrl 736 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  ( M `  X )  e.  N
)
2 simpll1 994 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  K  e.  HL )
3 simpll2 995 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  X  e.  B
)
4 lncmp.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
5 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
6 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
7 lncmp.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( Lines `  K )
8 lncmp.m . . . . . . 7  |-  M  =  ( pmap `  K
)
94, 5, 6, 7, 8isline3 29965 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( ( M `  X )  e.  N  <->  E. p  e.  ( Atoms `  K ) E. q  e.  ( Atoms `  K )
( p  =/=  q  /\  X  =  (
p ( join `  K
) q ) ) ) )
102, 3, 9syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  ( ( M `
 X )  e.  N  <->  E. p  e.  (
Atoms `  K ) E. q  e.  ( Atoms `  K ) ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p (
join `  K )
q ) ) ) )
111, 10mpbid 201 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  E. p  e.  (
Atoms `  K ) E. q  e.  ( Atoms `  K ) ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p (
join `  K )
q ) ) )
12 simp3rr 1029 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  ->  X  =  ( p
( join `  K )
q ) )
13 simp1l1 1048 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  ->  K  e.  HL )
14 simp1l3 1050 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  ->  Y  e.  B )
15 simp1rr 1021 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  -> 
( M `  Y
)  e.  N )
16 simp3ll 1026 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  ->  p  e.  ( Atoms `  K ) )
17 simp3lr 1027 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  -> 
q  e.  ( Atoms `  K ) )
18 simp3rl 1028 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  ->  p  =/=  q )
19 lncmp.l . . . . . . . . . 10  |-  .<_  =  ( le `  K )
20 hllat 29553 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
2113, 20syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  ->  K  e.  Lat )
224, 6atbase 29479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  ( Atoms `  K
)  ->  p  e.  B )
2316, 22syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  ->  p  e.  B )
24 simp1l2 1049 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  ->  X  e.  B )
2519, 5, 6hlatlej1 29564 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  p  .<_  ( p ( join `  K
) q ) )
2613, 16, 17, 25syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  ->  p  .<_  ( p (
join `  K )
q ) )
2726, 12breqtrrd 4049 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  ->  p  .<_  X )
28 simp2 956 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  ->  X  .<_  Y )
294, 19, 21, 23, 24, 14, 27, 28lattrd 14164 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  ->  p  .<_  Y )
304, 6atbase 29479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  e.  ( Atoms `  K
)  ->  q  e.  B )
3117, 30syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  -> 
q  e.  B )
3219, 5, 6hlatlej2 29565 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  q  .<_  ( p ( join `  K
) q ) )
3313, 16, 17, 32syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  -> 
q  .<_  ( p (
join `  K )
q ) )
3433, 12breqtrrd 4049 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  -> 
q  .<_  X )
354, 19, 21, 31, 24, 14, 34, 28lattrd 14164 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  -> 
q  .<_  Y )
364, 19, 5, 6, 7, 8lneq2at 29967 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  B  /\  ( M `  Y )  e.  N )  /\  ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )  /\  p  =/=  q )  /\  (
p  .<_  Y  /\  q  .<_  Y ) )  ->  Y  =  ( p
( join `  K )
q ) )
3713, 14, 15, 16, 17, 18, 29, 35, 36syl332anc 1213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  ->  Y  =  ( p
( join `  K )
q ) )
3812, 37eqtr4d 2318 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) ) )  ->  X  =  Y )
39383expia 1153 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  ( ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) ) )  ->  X  =  Y ) )
4039exp3a 425 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  ( ( p  e.  ( Atoms `  K
)  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( (
p  =/=  q  /\  X  =  ( p
( join `  K )
q ) )  ->  X  =  Y )
) )
4140rexlimdvv 2673 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  ( E. p  e.  ( Atoms `  K ) E. q  e.  ( Atoms `  K ) ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p
( join `  K )
q ) )  ->  X  =  Y )
)
4211, 41mpd 14 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( M `  X
)  e.  N  /\  ( M `  Y )  e.  N ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  X  =  Y )
4342ex 423 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( M `  X )  e.  N  /\  ( M `  Y
)  e.  N ) )  ->  ( X  .<_  Y  ->  X  =  Y ) )
44 simpl1 958 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( M `  X )  e.  N  /\  ( M `  Y
)  e.  N ) )  ->  K  e.  HL )
4544, 20syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( M `  X )  e.  N  /\  ( M `  Y
)  e.  N ) )  ->  K  e.  Lat )
46 simpl2 959 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( M `  X )  e.  N  /\  ( M `  Y
)  e.  N ) )  ->  X  e.  B )
474, 19latref 14159 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B )  ->  X  .<_  X )
4845, 46, 47syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( M `  X )  e.  N  /\  ( M `  Y
)  e.  N ) )  ->  X  .<_  X )
49 breq2 4027 . . 3  |-  ( X  =  Y  ->  ( X  .<_  X  <->  X  .<_  Y ) )
5048, 49syl5ibcom 211 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( M `  X )  e.  N  /\  ( M `  Y
)  e.  N ) )  ->  ( X  =  Y  ->  X  .<_  Y ) )
5143, 50impbid 183 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( M `  X )  e.  N  /\  ( M `  Y
)  e.  N ) )  ->  ( X  .<_  Y  <->  X  =  Y
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   lecple 13215   joincjn 14078   Latclat 14151   Atomscatm 29453   HLchlt 29540   Linesclines 29683   pmapcpmap 29686
This theorem is referenced by:  2lnat  29973
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-lat 14152  df-clat 14214  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-lines 29690  df-pmap 29693
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