Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lncmp Structured version   Unicode version

Theorem lncmp 30580
 Description: If two lines are comparable, they are equal. (Contributed by NM, 30-Apr-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lncmp.b
lncmp.l
lncmp.n
lncmp.m
Assertion
Ref Expression
lncmp

Proof of Theorem lncmp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplrl 737 . . . . 5
2 simpll1 996 . . . . . 6
3 simpll2 997 . . . . . 6
4 lncmp.b . . . . . . 7
5 eqid 2436 . . . . . . 7
6 eqid 2436 . . . . . . 7
7 lncmp.n . . . . . . 7
8 lncmp.m . . . . . . 7
94, 5, 6, 7, 8isline3 30573 . . . . . 6
102, 3, 9syl2anc 643 . . . . 5
111, 10mpbid 202 . . . 4
12 simp3rr 1031 . . . . . . . 8
13 simp1l1 1050 . . . . . . . . 9
14 simp1l3 1052 . . . . . . . . 9
15 simp1rr 1023 . . . . . . . . 9
16 simp3ll 1028 . . . . . . . . 9
17 simp3lr 1029 . . . . . . . . 9
18 simp3rl 1030 . . . . . . . . 9
19 lncmp.l . . . . . . . . . 10
20 hllat 30161 . . . . . . . . . . 11
2113, 20syl 16 . . . . . . . . . 10
224, 6atbase 30087 . . . . . . . . . . 11
2316, 22syl 16 . . . . . . . . . 10
24 simp1l2 1051 . . . . . . . . . 10
2519, 5, 6hlatlej1 30172 . . . . . . . . . . . 12
2613, 16, 17, 25syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11
2726, 12breqtrrd 4238 . . . . . . . . . 10
28 simp2 958 . . . . . . . . . 10
294, 19, 21, 23, 24, 14, 27, 28lattrd 14487 . . . . . . . . 9
304, 6atbase 30087 . . . . . . . . . . 11
3117, 30syl 16 . . . . . . . . . 10
3219, 5, 6hlatlej2 30173 . . . . . . . . . . . 12
3313, 16, 17, 32syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11
3433, 12breqtrrd 4238 . . . . . . . . . 10
354, 19, 21, 31, 24, 14, 34, 28lattrd 14487 . . . . . . . . 9
364, 19, 5, 6, 7, 8lneq2at 30575 . . . . . . . . 9
3713, 14, 15, 16, 17, 18, 29, 35, 36syl332anc 1215 . . . . . . . 8
3812, 37eqtr4d 2471 . . . . . . 7
39383expia 1155 . . . . . 6
4039exp3a 426 . . . . 5
4140rexlimdvv 2836 . . . 4
4211, 41mpd 15 . . 3
4342ex 424 . 2
44 simpl1 960 . . . . 5
4544, 20syl 16 . . . 4
46 simpl2 961 . . . 4
474, 19latref 14482 . . . 4
4845, 46, 47syl2anc 643 . . 3
49 breq2 4216 . . 3
5048, 49syl5ibcom 212 . 2
5143, 50impbid 184 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  wrex 2706   class class class wbr 4212  cfv 5454  (class class class)co 6081  cbs 13469  cple 13536  cjn 14401  clat 14474  catm 30061  chlt 30148  clines 30291  cpmap 30294 This theorem is referenced by:  2lnat  30581 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-undef 6543  df-riota 6549  df-poset 14403  df-plt 14415  df-lub 14431  df-glb 14432  df-join 14433  df-meet 14434  df-p0 14468  df-lat 14475  df-clat 14537  df-oposet 29974  df-ol 29976  df-oml 29977  df-covers 30064  df-ats 30065  df-atl 30096  df-cvlat 30120  df-hlat 30149  df-lines 30298  df-pmap 30301
 Copyright terms: Public domain W3C validator