Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lnmfg Structured version   Unicode version

Theorem lnmfg 27159
Description: A Noetherian left module is finitely generated. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
lnmfg  |-  ( M  e. LNoeM  ->  M  e. LFinGen )

Proof of Theorem lnmfg
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . 3  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
21ressid 13526 . 2  |-  ( M  e. LNoeM  ->  ( Ms  ( Base `  M ) )  =  M )
3 lnmlmod 27156 . . . 4  |-  ( M  e. LNoeM  ->  M  e.  LMod )
4 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  M )  =  (
LSubSp `  M )
51, 4lss1 16017 . . . 4  |-  ( M  e.  LMod  ->  ( Base `  M )  e.  (
LSubSp `  M ) )
63, 5syl 16 . . 3  |-  ( M  e. LNoeM  ->  ( Base `  M
)  e.  ( LSubSp `  M ) )
7 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Ms  (
Base `  M )
)  =  ( Ms  (
Base `  M )
)
84, 7lnmlssfg 27157 . . 3  |-  ( ( M  e. LNoeM  /\  ( Base `  M )  e.  ( LSubSp `  M )
)  ->  ( Ms  ( Base `  M ) )  e. LFinGen )
96, 8mpdan 651 . 2  |-  ( M  e. LNoeM  ->  ( Ms  ( Base `  M ) )  e. LFinGen )
102, 9eqeltrrd 2513 1  |-  ( M  e. LNoeM  ->  M  e. LFinGen )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1726   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Basecbs 13471   ↾s cress 13472   LModclmod 15952   LSubSpclss 16010  LFinGenclfig 27144  LNoeMclnm 27152
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-ress 13478  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-lnm 27153
  Copyright terms: Public domain W3C validator