Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lnmfg Unicode version

Theorem lnmfg 27283
Description: A Noetherian left module is finitely generated. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
lnmfg  |-  ( M  e. LNoeM  ->  M  e. LFinGen )

Proof of Theorem lnmfg
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . 3  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
21ressid 13219 . 2  |-  ( M  e. LNoeM  ->  ( Ms  ( Base `  M ) )  =  M )
3 lnmlmod 27280 . . . 4  |-  ( M  e. LNoeM  ->  M  e.  LMod )
4 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  M )  =  (
LSubSp `  M )
51, 4lss1 15712 . . . 4  |-  ( M  e.  LMod  ->  ( Base `  M )  e.  (
LSubSp `  M ) )
63, 5syl 15 . . 3  |-  ( M  e. LNoeM  ->  ( Base `  M
)  e.  ( LSubSp `  M ) )
7 eqid 2296 . . . 4  |-  ( Ms  (
Base `  M )
)  =  ( Ms  (
Base `  M )
)
84, 7lnmlssfg 27281 . . 3  |-  ( ( M  e. LNoeM  /\  ( Base `  M )  e.  ( LSubSp `  M )
)  ->  ( Ms  ( Base `  M ) )  e. LFinGen )
96, 8mpdan 649 . 2  |-  ( M  e. LNoeM  ->  ( Ms  ( Base `  M ) )  e. LFinGen )
102, 9eqeltrrd 2371 1  |-  ( M  e. LNoeM  ->  M  e. LFinGen )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1696   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   ↾s cress 13165   LModclmod 15643   LSubSpclss 15705  LFinGenclfig 27268  LNoeMclnm 27276
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-ress 13171  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lnm 27277
  Copyright terms: Public domain W3C validator