Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lnmlmic Unicode version

Theorem lnmlmic 26855
Description: Noetherian is an invariant property of modules. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
lnmlmic  |-  ( R 
~=ph𝑚  S  ->  ( R  e. LNoeM  <->  S  e. LNoeM ) )

Proof of Theorem lnmlmic
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brlmic 16067 . . 3  |-  ( R 
~=ph𝑚  S 
<->  ( R LMIso  S )  =/=  (/) )
2 n0 3580 . . 3  |-  ( ( R LMIso  S )  =/=  (/) 
<->  E. a  a  e.  ( R LMIso  S ) )
31, 2bitri 241 . 2  |-  ( R 
~=ph𝑚  S 
<->  E. a  a  e.  ( R LMIso  S ) )
4 lmimlmhm 16063 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ( R LMIso  S
)  ->  a  e.  ( R LMHom  S ) )
54adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  ( R LMIso 
S )  /\  R  e. LNoeM )  ->  a  e.  ( R LMHom  S ) )
6 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  ( R LMIso 
S )  /\  R  e. LNoeM )  ->  R  e. LNoeM )
7 eqid 2387 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
8 eqid 2387 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
97, 8lmimf1o 16062 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( R LMIso  S
)  ->  a :
( Base `  R ) -1-1-onto-> ( Base `  S ) )
10 f1ofo 5621 . . . . . . 7  |-  ( a : ( Base `  R
)
-1-1-onto-> ( Base `  S )  ->  a : ( Base `  R ) -onto-> ( Base `  S ) )
11 forn 5596 . . . . . . 7  |-  ( a : ( Base `  R
) -onto-> ( Base `  S
)  ->  ran  a  =  ( Base `  S
) )
129, 10, 113syl 19 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ( R LMIso  S
)  ->  ran  a  =  ( Base `  S
) )
1312adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  ( R LMIso 
S )  /\  R  e. LNoeM )  ->  ran  a  =  ( Base `  S
) )
148lnmepi 26852 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  ( R LMHom 
S )  /\  R  e. LNoeM  /\  ran  a  =  ( Base `  S
) )  ->  S  e. LNoeM )
155, 6, 13, 14syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( a  e.  ( R LMIso 
S )  /\  R  e. LNoeM )  ->  S  e. LNoeM )
16 islmim2 16065 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( R LMIso  S
)  <->  ( a  e.  ( R LMHom  S )  /\  `' a  e.  ( S LMHom  R ) ) )
1716simprbi 451 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ( R LMIso  S
)  ->  `' a  e.  ( S LMHom  R ) )
1817adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  ( R LMIso 
S )  /\  S  e. LNoeM )  ->  `' a  e.  ( S LMHom  R ) )
19 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  ( R LMIso 
S )  /\  S  e. LNoeM )  ->  S  e. LNoeM )
20 dfdm4 5003 . . . . . 6  |-  dom  a  =  ran  `' a
21 f1odm 5618 . . . . . . . 8  |-  ( a : ( Base `  R
)
-1-1-onto-> ( Base `  S )  ->  dom  a  =  (
Base `  R )
)
229, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( R LMIso  S
)  ->  dom  a  =  ( Base `  R
) )
2322adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  ( R LMIso 
S )  /\  S  e. LNoeM )  ->  dom  a  =  ( Base `  R
) )
2420, 23syl5eqr 2433 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  ( R LMIso 
S )  /\  S  e. LNoeM )  ->  ran  `' a  =  ( Base `  R
) )
257lnmepi 26852 . . . . 5  |-  ( ( `' a  e.  ( S LMHom  R )  /\  S  e. LNoeM  /\  ran  `' a  =  ( Base `  R
) )  ->  R  e. LNoeM )
2618, 19, 24, 25syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( a  e.  ( R LMIso 
S )  /\  S  e. LNoeM )  ->  R  e. LNoeM )
2715, 26impbida 806 . . 3  |-  ( a  e.  ( R LMIso  S
)  ->  ( R  e. LNoeM  <-> 
S  e. LNoeM ) )
2827exlimiv 1641 . 2  |-  ( E. a  a  e.  ( R LMIso  S )  -> 
( R  e. LNoeM  <->  S  e. LNoeM ) )
293, 28sylbi 188 1  |-  ( R 
~=ph𝑚  S  ->  ( R  e. LNoeM  <->  S  e. LNoeM ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   (/)c0 3571   class class class wbr 4153   `'ccnv 4817   dom cdm 4818   ran crn 4819   -onto->wfo 5392   -1-1-onto->wf1o 5393   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   Basecbs 13396   LMHom clmhm 16022   LMIso clmim 16023    ~=ph𝑚 clmic 16024  LNoeMclnm 26842
This theorem is referenced by:  pwslnmlem2  26864
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-0g 13654  df-mnd 14617  df-grp 14739  df-minusg 14740  df-sbg 14741  df-subg 14868  df-ghm 14931  df-mgp 15576  df-rng 15590  df-ur 15592  df-lmod 15879  df-lss 15936  df-lsp 15975  df-lmhm 16025  df-lmim 16026  df-lmic 16027  df-lfig 26835  df-lnm 26843
  Copyright terms: Public domain W3C validator