Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lnmlsslnm Structured version   Unicode version

Theorem lnmlsslnm 27158
Description: All submodules of a Noetherian module are Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lnmlssfg.s  |-  S  =  ( LSubSp `  M )
lnmlssfg.r  |-  R  =  ( Ms  U )
Assertion
Ref Expression
lnmlsslnm  |-  ( ( M  e. LNoeM  /\  U  e.  S )  ->  R  e. LNoeM )

Proof of Theorem lnmlsslnm
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnmlmod 27156 . . 3  |-  ( M  e. LNoeM  ->  M  e.  LMod )
2 lnmlssfg.r . . . 4  |-  R  =  ( Ms  U )
3 lnmlssfg.s . . . 4  |-  S  =  ( LSubSp `  M )
42, 3lsslmod 16038 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  R  e.  LMod )
51, 4sylan 459 . 2  |-  ( ( M  e. LNoeM  /\  U  e.  S )  ->  R  e.  LMod )
62oveq1i 6093 . . . . 5  |-  ( Rs  a )  =  ( ( Ms  U )s  a )
7 simplr 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e. LNoeM  /\  U  e.  S )  /\  a  e.  ( LSubSp `  R )
)  ->  U  e.  S )
8 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
9 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( LSubSp `  R )  =  (
LSubSp `  R )
108, 9lssss 16015 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ( LSubSp `  R
)  ->  a  C_  ( Base `  R )
)
1110adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e. LNoeM  /\  U  e.  S )  /\  a  e.  ( LSubSp `  R )
)  ->  a  C_  ( Base `  R )
)
12 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
1312, 3lssss 16015 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  S  ->  U  C_  ( Base `  M
) )
142, 12ressbas2 13522 . . . . . . . . 9  |-  ( U 
C_  ( Base `  M
)  ->  U  =  ( Base `  R )
)
1513, 14syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  S  ->  U  =  ( Base `  R
) )
1615ad2antlr 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e. LNoeM  /\  U  e.  S )  /\  a  e.  ( LSubSp `  R )
)  ->  U  =  ( Base `  R )
)
1711, 16sseqtr4d 3387 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e. LNoeM  /\  U  e.  S )  /\  a  e.  ( LSubSp `  R )
)  ->  a  C_  U )
18 ressabs 13529 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  S  /\  a  C_  U )  -> 
( ( Ms  U )s  a )  =  ( Ms  a ) )
197, 17, 18syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e. LNoeM  /\  U  e.  S )  /\  a  e.  ( LSubSp `  R )
)  ->  ( ( Ms  U )s  a )  =  ( Ms  a ) )
206, 19syl5eq 2482 . . . 4  |-  ( ( ( M  e. LNoeM  /\  U  e.  S )  /\  a  e.  ( LSubSp `  R )
)  ->  ( Rs  a
)  =  ( Ms  a ) )
21 simpll 732 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e. LNoeM  /\  U  e.  S )  /\  a  e.  ( LSubSp `  R )
)  ->  M  e. LNoeM )
222, 3, 9lsslss 16039 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  (
a  e.  ( LSubSp `  R )  <->  ( a  e.  S  /\  a  C_  U ) ) )
231, 22sylan 459 . . . . . 6  |-  ( ( M  e. LNoeM  /\  U  e.  S )  ->  (
a  e.  ( LSubSp `  R )  <->  ( a  e.  S  /\  a  C_  U ) ) )
2423simprbda 608 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e. LNoeM  /\  U  e.  S )  /\  a  e.  ( LSubSp `  R )
)  ->  a  e.  S )
25 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( Ms  a )  =  ( Ms  a )
263, 25lnmlssfg 27157 . . . . 5  |-  ( ( M  e. LNoeM  /\  a  e.  S )  ->  ( Ms  a )  e. LFinGen )
2721, 24, 26syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ( ( M  e. LNoeM  /\  U  e.  S )  /\  a  e.  ( LSubSp `  R )
)  ->  ( Ms  a
)  e. LFinGen )
2820, 27eqeltrd 2512 . . 3  |-  ( ( ( M  e. LNoeM  /\  U  e.  S )  /\  a  e.  ( LSubSp `  R )
)  ->  ( Rs  a
)  e. LFinGen )
2928ralrimiva 2791 . 2  |-  ( ( M  e. LNoeM  /\  U  e.  S )  ->  A. a  e.  ( LSubSp `  R )
( Rs  a )  e. LFinGen )
309islnm 27154 . 2  |-  ( R  e. LNoeM 
<->  ( R  e.  LMod  /\ 
A. a  e.  (
LSubSp `  R ) ( Rs  a )  e. LFinGen )
)
315, 29, 30sylanbrc 647 1  |-  ( ( M  e. LNoeM  /\  U  e.  S )  ->  R  e. LNoeM )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707    C_ wss 3322   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Basecbs 13471   ↾s cress 13472   LModclmod 15952   LSubSpclss 16010  LFinGenclfig 27144  LNoeMclnm 27152
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-subg 14943  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-lnm 27153
  Copyright terms: Public domain W3C validator