Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lnmlsslnm Unicode version

Theorem lnmlsslnm 27179
Description: All submodules of a Noetherian module are Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lnmlssfg.s  |-  S  =  ( LSubSp `  M )
lnmlssfg.r  |-  R  =  ( Ms  U )
Assertion
Ref Expression
lnmlsslnm  |-  ( ( M  e. LNoeM  /\  U  e.  S )  ->  R  e. LNoeM )

Proof of Theorem lnmlsslnm
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnmlmod 27177 . . 3  |-  ( M  e. LNoeM  ->  M  e.  LMod )
2 lnmlssfg.r . . . 4  |-  R  =  ( Ms  U )
3 lnmlssfg.s . . . 4  |-  S  =  ( LSubSp `  M )
42, 3lsslmod 15717 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  R  e.  LMod )
51, 4sylan 457 . 2  |-  ( ( M  e. LNoeM  /\  U  e.  S )  ->  R  e.  LMod )
62oveq1i 5868 . . . . 5  |-  ( Rs  a )  =  ( ( Ms  U )s  a )
7 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e. LNoeM  /\  U  e.  S )  /\  a  e.  ( LSubSp `  R )
)  ->  U  e.  S )
8 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
9 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( LSubSp `  R )  =  (
LSubSp `  R )
108, 9lssss 15694 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ( LSubSp `  R
)  ->  a  C_  ( Base `  R )
)
1110adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e. LNoeM  /\  U  e.  S )  /\  a  e.  ( LSubSp `  R )
)  ->  a  C_  ( Base `  R )
)
12 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
1312, 3lssss 15694 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  S  ->  U  C_  ( Base `  M
) )
142, 12ressbas2 13199 . . . . . . . . 9  |-  ( U 
C_  ( Base `  M
)  ->  U  =  ( Base `  R )
)
1513, 14syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  S  ->  U  =  ( Base `  R
) )
1615ad2antlr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e. LNoeM  /\  U  e.  S )  /\  a  e.  ( LSubSp `  R )
)  ->  U  =  ( Base `  R )
)
1711, 16sseqtr4d 3215 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e. LNoeM  /\  U  e.  S )  /\  a  e.  ( LSubSp `  R )
)  ->  a  C_  U )
18 ressabs 13206 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  S  /\  a  C_  U )  -> 
( ( Ms  U )s  a )  =  ( Ms  a ) )
197, 17, 18syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e. LNoeM  /\  U  e.  S )  /\  a  e.  ( LSubSp `  R )
)  ->  ( ( Ms  U )s  a )  =  ( Ms  a ) )
206, 19syl5eq 2327 . . . 4  |-  ( ( ( M  e. LNoeM  /\  U  e.  S )  /\  a  e.  ( LSubSp `  R )
)  ->  ( Rs  a
)  =  ( Ms  a ) )
21 simpll 730 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e. LNoeM  /\  U  e.  S )  /\  a  e.  ( LSubSp `  R )
)  ->  M  e. LNoeM )
222, 3, 9lsslss 15718 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  (
a  e.  ( LSubSp `  R )  <->  ( a  e.  S  /\  a  C_  U ) ) )
231, 22sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( M  e. LNoeM  /\  U  e.  S )  ->  (
a  e.  ( LSubSp `  R )  <->  ( a  e.  S  /\  a  C_  U ) ) )
2423simprbda 606 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e. LNoeM  /\  U  e.  S )  /\  a  e.  ( LSubSp `  R )
)  ->  a  e.  S )
25 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( Ms  a )  =  ( Ms  a )
263, 25lnmlssfg 27178 . . . . 5  |-  ( ( M  e. LNoeM  /\  a  e.  S )  ->  ( Ms  a )  e. LFinGen )
2721, 24, 26syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( M  e. LNoeM  /\  U  e.  S )  /\  a  e.  ( LSubSp `  R )
)  ->  ( Ms  a
)  e. LFinGen )
2820, 27eqeltrd 2357 . . 3  |-  ( ( ( M  e. LNoeM  /\  U  e.  S )  /\  a  e.  ( LSubSp `  R )
)  ->  ( Rs  a
)  e. LFinGen )
2928ralrimiva 2626 . 2  |-  ( ( M  e. LNoeM  /\  U  e.  S )  ->  A. a  e.  ( LSubSp `  R )
( Rs  a )  e. LFinGen )
309islnm 27175 . 2  |-  ( R  e. LNoeM 
<->  ( R  e.  LMod  /\ 
A. a  e.  (
LSubSp `  R ) ( Rs  a )  e. LFinGen )
)
315, 29, 30sylanbrc 645 1  |-  ( ( M  e. LNoeM  /\  U  e.  S )  ->  R  e. LNoeM )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    C_ wss 3152   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   ↾s cress 13149   LModclmod 15627   LSubSpclss 15689  LFinGenclfig 27165  LNoeMclnm 27173
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-subg 14618  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lnm 27174
  Copyright terms: Public domain W3C validator