Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lnmlsslnm Unicode version

Theorem lnmlsslnm 26327
Description: All submodules of a Noetherian module are Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lnmlssfg.s  |-  S  =  ( LSubSp `  M )
lnmlssfg.r  |-  R  =  ( Ms  U )
Assertion
Ref Expression
lnmlsslnm  |-  ( ( M  e. LNoeM  /\  U  e.  S )  ->  R  e. LNoeM )

Proof of Theorem lnmlsslnm
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnmlmod 26325 . . 3  |-  ( M  e. LNoeM  ->  M  e.  LMod )
2 lnmlssfg.r . . . 4  |-  R  =  ( Ms  U )
3 lnmlssfg.s . . . 4  |-  S  =  ( LSubSp `  M )
42, 3lsslmod 15766 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  R  e.  LMod )
51, 4sylan 457 . 2  |-  ( ( M  e. LNoeM  /\  U  e.  S )  ->  R  e.  LMod )
62oveq1i 5910 . . . . 5  |-  ( Rs  a )  =  ( ( Ms  U )s  a )
7 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e. LNoeM  /\  U  e.  S )  /\  a  e.  ( LSubSp `  R )
)  ->  U  e.  S )
8 eqid 2316 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
9 eqid 2316 . . . . . . . . 9  |-  ( LSubSp `  R )  =  (
LSubSp `  R )
108, 9lssss 15743 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ( LSubSp `  R
)  ->  a  C_  ( Base `  R )
)
1110adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e. LNoeM  /\  U  e.  S )  /\  a  e.  ( LSubSp `  R )
)  ->  a  C_  ( Base `  R )
)
12 eqid 2316 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
1312, 3lssss 15743 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  S  ->  U  C_  ( Base `  M
) )
142, 12ressbas2 13246 . . . . . . . . 9  |-  ( U 
C_  ( Base `  M
)  ->  U  =  ( Base `  R )
)
1513, 14syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  S  ->  U  =  ( Base `  R
) )
1615ad2antlr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e. LNoeM  /\  U  e.  S )  /\  a  e.  ( LSubSp `  R )
)  ->  U  =  ( Base `  R )
)
1711, 16sseqtr4d 3249 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e. LNoeM  /\  U  e.  S )  /\  a  e.  ( LSubSp `  R )
)  ->  a  C_  U )
18 ressabs 13253 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  S  /\  a  C_  U )  -> 
( ( Ms  U )s  a )  =  ( Ms  a ) )
197, 17, 18syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e. LNoeM  /\  U  e.  S )  /\  a  e.  ( LSubSp `  R )
)  ->  ( ( Ms  U )s  a )  =  ( Ms  a ) )
206, 19syl5eq 2360 . . . 4  |-  ( ( ( M  e. LNoeM  /\  U  e.  S )  /\  a  e.  ( LSubSp `  R )
)  ->  ( Rs  a
)  =  ( Ms  a ) )
21 simpll 730 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e. LNoeM  /\  U  e.  S )  /\  a  e.  ( LSubSp `  R )
)  ->  M  e. LNoeM )
222, 3, 9lsslss 15767 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  (
a  e.  ( LSubSp `  R )  <->  ( a  e.  S  /\  a  C_  U ) ) )
231, 22sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( M  e. LNoeM  /\  U  e.  S )  ->  (
a  e.  ( LSubSp `  R )  <->  ( a  e.  S  /\  a  C_  U ) ) )
2423simprbda 606 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e. LNoeM  /\  U  e.  S )  /\  a  e.  ( LSubSp `  R )
)  ->  a  e.  S )
25 eqid 2316 . . . . . 6  |-  ( Ms  a )  =  ( Ms  a )
263, 25lnmlssfg 26326 . . . . 5  |-  ( ( M  e. LNoeM  /\  a  e.  S )  ->  ( Ms  a )  e. LFinGen )
2721, 24, 26syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( M  e. LNoeM  /\  U  e.  S )  /\  a  e.  ( LSubSp `  R )
)  ->  ( Ms  a
)  e. LFinGen )
2820, 27eqeltrd 2390 . . 3  |-  ( ( ( M  e. LNoeM  /\  U  e.  S )  /\  a  e.  ( LSubSp `  R )
)  ->  ( Rs  a
)  e. LFinGen )
2928ralrimiva 2660 . 2  |-  ( ( M  e. LNoeM  /\  U  e.  S )  ->  A. a  e.  ( LSubSp `  R )
( Rs  a )  e. LFinGen )
309islnm 26323 . 2  |-  ( R  e. LNoeM 
<->  ( R  e.  LMod  /\ 
A. a  e.  (
LSubSp `  R ) ( Rs  a )  e. LFinGen )
)
315, 29, 30sylanbrc 645 1  |-  ( ( M  e. LNoeM  /\  U  e.  S )  ->  R  e. LNoeM )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   A.wral 2577    C_ wss 3186   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   Basecbs 13195   ↾s cress 13196   LModclmod 15676   LSubSpclss 15738  LFinGenclfig 26313  LNoeMclnm 26321
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-5 9852  df-6 9853  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-ress 13202  df-plusg 13268  df-sca 13271  df-vsca 13272  df-0g 13453  df-mnd 14416  df-grp 14538  df-minusg 14539  df-sbg 14540  df-subg 14667  df-mgp 15375  df-rng 15389  df-ur 15391  df-lmod 15678  df-lss 15739  df-lnm 26322
  Copyright terms: Public domain W3C validator