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Theorem lnocoi 22219
Description: The composition of two linear operators is linear. (Contributed by NM, 12-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnocoi.l  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
lnocoi.m  |-  M  =  ( W  LnOp  X
)
lnocoi.n  |-  N  =  ( U  LnOp  X
)
lnocoi.u  |-  U  e.  NrmCVec
lnocoi.w  |-  W  e.  NrmCVec
lnocoi.x  |-  X  e.  NrmCVec
lnocoi.s  |-  S  e.  L
lnocoi.t  |-  T  e.  M
Assertion
Ref Expression
lnocoi  |-  ( T  o.  S )  e.  N

Proof of Theorem lnocoi
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnocoi.w . . . 4  |-  W  e.  NrmCVec
2 lnocoi.x . . . 4  |-  X  e.  NrmCVec
3 lnocoi.t . . . 4  |-  T  e.  M
4 eqid 2412 . . . . 5  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
5 eqid 2412 . . . . 5  |-  ( BaseSet `  X )  =  (
BaseSet `  X )
6 lnocoi.m . . . . 5  |-  M  =  ( W  LnOp  X
)
74, 5, 6lnof 22217 . . . 4  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  X  e.  NrmCVec  /\  T  e.  M )  ->  T : ( BaseSet `  W
) --> ( BaseSet `  X
) )
81, 2, 3, 7mp3an 1279 . . 3  |-  T :
( BaseSet `  W ) --> ( BaseSet `  X )
9 lnocoi.u . . . 4  |-  U  e.  NrmCVec
10 lnocoi.s . . . 4  |-  S  e.  L
11 eqid 2412 . . . . 5  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  U )
12 lnocoi.l . . . . 5  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
1311, 4, 12lnof 22217 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  S  e.  L )  ->  S : ( BaseSet `  U
) --> ( BaseSet `  W
) )
149, 1, 10, 13mp3an 1279 . . 3  |-  S :
( BaseSet `  U ) --> ( BaseSet `  W )
15 fco 5567 . . 3  |-  ( ( T : ( BaseSet `  W ) --> ( BaseSet `  X )  /\  S : ( BaseSet `  U
) --> ( BaseSet `  W
) )  ->  ( T  o.  S ) : ( BaseSet `  U
) --> ( BaseSet `  X
) )
168, 14, 15mp2an 654 . 2  |-  ( T  o.  S ) : ( BaseSet `  U ) --> ( BaseSet `  X )
17 eqid 2412 . . . . . . . . 9  |-  ( .s
OLD `  U )  =  ( .s OLD `  U )
1811, 17nvscl 22068 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( x
( .s OLD `  U
) y )  e.  ( BaseSet `  U )
)
199, 18mp3an1 1266 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( x ( .s
OLD `  U )
y )  e.  (
BaseSet `  U ) )
20 eqid 2412 . . . . . . . . 9  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
2111, 20nvgcl 22060 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x ( .s OLD `  U ) y )  e.  ( BaseSet `  U
)  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( (
x ( .s OLD `  U ) y ) ( +v `  U
) z )  e.  ( BaseSet `  U )
)
229, 21mp3an1 1266 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x ( .s
OLD `  U )
y )  e.  (
BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( ( x ( .s OLD `  U
) y ) ( +v `  U ) z )  e.  (
BaseSet `  U ) )
2319, 22sylan 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U ) )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( ( x ( .s OLD `  U
) y ) ( +v `  U ) z )  e.  (
BaseSet `  U ) )
24233impa 1148 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( (
x ( .s OLD `  U ) y ) ( +v `  U
) z )  e.  ( BaseSet `  U )
)
25 fvco3 5767 . . . . 5  |-  ( ( S : ( BaseSet `  U ) --> ( BaseSet `  W )  /\  (
( x ( .s
OLD `  U )
y ) ( +v
`  U ) z )  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( ( T  o.  S ) `  (
( x ( .s
OLD `  U )
y ) ( +v
`  U ) z ) )  =  ( T `  ( S `
 ( ( x ( .s OLD `  U
) y ) ( +v `  U ) z ) ) ) )
2614, 24, 25sylancr 645 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( ( T  o.  S ) `  ( ( x ( .s OLD `  U
) y ) ( +v `  U ) z ) )  =  ( T `  ( S `  ( (
x ( .s OLD `  U ) y ) ( +v `  U
) z ) ) ) )
27 id 20 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  x  e.  CC )
2814ffvelrni 5836 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( BaseSet `  U
)  ->  ( S `  y )  e.  (
BaseSet `  W ) )
2914ffvelrni 5836 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( BaseSet `  U
)  ->  ( S `  z )  e.  (
BaseSet `  W ) )
301, 2, 33pm3.2i 1132 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  NrmCVec  /\  X  e.  NrmCVec  /\  T  e.  M )
31 eqid 2412 . . . . . . . 8  |-  ( +v
`  W )  =  ( +v `  W
)
32 eqid 2412 . . . . . . . 8  |-  ( +v
`  X )  =  ( +v `  X
)
33 eqid 2412 . . . . . . . 8  |-  ( .s
OLD `  W )  =  ( .s OLD `  W )
34 eqid 2412 . . . . . . . 8  |-  ( .s
OLD `  X )  =  ( .s OLD `  X )
354, 5, 31, 32, 33, 34, 6lnolin 22216 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  NrmCVec  /\  X  e.  NrmCVec  /\  T  e.  M )  /\  (
x  e.  CC  /\  ( S `  y )  e.  ( BaseSet `  W
)  /\  ( S `  z )  e.  (
BaseSet `  W ) ) )  ->  ( T `  ( ( x ( .s OLD `  W
) ( S `  y ) ) ( +v `  W ) ( S `  z
) ) )  =  ( ( x ( .s OLD `  X
) ( T `  ( S `  y ) ) ) ( +v
`  X ) ( T `  ( S `
 z ) ) ) )
3630, 35mpan 652 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( S `  y )  e.  ( BaseSet `  W
)  /\  ( S `  z )  e.  (
BaseSet `  W ) )  ->  ( T `  ( ( x ( .s OLD `  W
) ( S `  y ) ) ( +v `  W ) ( S `  z
) ) )  =  ( ( x ( .s OLD `  X
) ( T `  ( S `  y ) ) ) ( +v
`  X ) ( T `  ( S `
 z ) ) ) )
3727, 28, 29, 36syl3an 1226 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( T `  ( ( x ( .s OLD `  W
) ( S `  y ) ) ( +v `  W ) ( S `  z
) ) )  =  ( ( x ( .s OLD `  X
) ( T `  ( S `  y ) ) ) ( +v
`  X ) ( T `  ( S `
 z ) ) ) )
389, 1, 103pm3.2i 1132 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  S  e.  L )
3911, 4, 20, 31, 17, 33, 12lnolin 22216 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  S  e.  L )  /\  (
x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  ( S `  ( (
x ( .s OLD `  U ) y ) ( +v `  U
) z ) )  =  ( ( x ( .s OLD `  W
) ( S `  y ) ) ( +v `  W ) ( S `  z
) ) )
4038, 39mpan 652 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( S `  ( ( x ( .s OLD `  U
) y ) ( +v `  U ) z ) )  =  ( ( x ( .s OLD `  W
) ( S `  y ) ) ( +v `  W ) ( S `  z
) ) )
4140fveq2d 5699 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( T `  ( S `  (
( x ( .s
OLD `  U )
y ) ( +v
`  U ) z ) ) )  =  ( T `  (
( x ( .s
OLD `  W )
( S `  y
) ) ( +v
`  W ) ( S `  z ) ) ) )
42 simp2 958 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  y  e.  ( BaseSet `  U )
)
43 fvco3 5767 . . . . . . . 8  |-  ( ( S : ( BaseSet `  U ) --> ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( ( T  o.  S ) `  y )  =  ( T `  ( S `
 y ) ) )
4414, 42, 43sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( ( T  o.  S ) `  y )  =  ( T `  ( S `
 y ) ) )
4544oveq2d 6064 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( x
( .s OLD `  X
) ( ( T  o.  S ) `  y ) )  =  ( x ( .s
OLD `  X )
( T `  ( S `  y )
) ) )
46 simp3 959 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  z  e.  ( BaseSet `  U )
)
47 fvco3 5767 . . . . . . 7  |-  ( ( S : ( BaseSet `  U ) --> ( BaseSet `  W )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( ( T  o.  S ) `  z )  =  ( T `  ( S `
 z ) ) )
4814, 46, 47sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( ( T  o.  S ) `  z )  =  ( T `  ( S `
 z ) ) )
4945, 48oveq12d 6066 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( (
x ( .s OLD `  X ) ( ( T  o.  S ) `
 y ) ) ( +v `  X
) ( ( T  o.  S ) `  z ) )  =  ( ( x ( .s OLD `  X
) ( T `  ( S `  y ) ) ) ( +v
`  X ) ( T `  ( S `
 z ) ) ) )
5037, 41, 493eqtr4rd 2455 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( (
x ( .s OLD `  X ) ( ( T  o.  S ) `
 y ) ) ( +v `  X
) ( ( T  o.  S ) `  z ) )  =  ( T `  ( S `  ( (
x ( .s OLD `  U ) y ) ( +v `  U
) z ) ) ) )
5126, 50eqtr4d 2447 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( ( T  o.  S ) `  ( ( x ( .s OLD `  U
) y ) ( +v `  U ) z ) )  =  ( ( x ( .s OLD `  X
) ( ( T  o.  S ) `  y ) ) ( +v `  X ) ( ( T  o.  S ) `  z
) ) )
5251rgen3 2771 . 2  |-  A. x  e.  CC  A. y  e.  ( BaseSet `  U ) A. z  e.  ( BaseSet
`  U ) ( ( T  o.  S
) `  ( (
x ( .s OLD `  U ) y ) ( +v `  U
) z ) )  =  ( ( x ( .s OLD `  X
) ( ( T  o.  S ) `  y ) ) ( +v `  X ) ( ( T  o.  S ) `  z
) )
53 lnocoi.n . . . 4  |-  N  =  ( U  LnOp  X
)
5411, 5, 20, 32, 17, 34, 53islno 22215 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  X  e.  NrmCVec )  ->  (
( T  o.  S
)  e.  N  <->  ( ( T  o.  S ) : ( BaseSet `  U
) --> ( BaseSet `  X
)  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ( BaseSet `  U ) A. z  e.  ( BaseSet
`  U ) ( ( T  o.  S
) `  ( (
x ( .s OLD `  U ) y ) ( +v `  U
) z ) )  =  ( ( x ( .s OLD `  X
) ( ( T  o.  S ) `  y ) ) ( +v `  X ) ( ( T  o.  S ) `  z
) ) ) ) )
559, 2, 54mp2an 654 . 2  |-  ( ( T  o.  S )  e.  N  <->  ( ( T  o.  S ) : ( BaseSet `  U
) --> ( BaseSet `  X
)  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ( BaseSet `  U ) A. z  e.  ( BaseSet
`  U ) ( ( T  o.  S
) `  ( (
x ( .s OLD `  U ) y ) ( +v `  U
) z ) )  =  ( ( x ( .s OLD `  X
) ( ( T  o.  S ) `  y ) ) ( +v `  X ) ( ( T  o.  S ) `  z
) ) ) )
5616, 52, 55mpbir2an 887 1  |-  ( T  o.  S )  e.  N
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2674    o. ccom 4849   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   CCcc 8952   NrmCVeccnv 22024   +vcpv 22025   BaseSetcba 22026   .s
OLDcns 22027    LnOp clno 22202
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-map 6987  df-grpo 21740  df-ablo 21831  df-vc 21986  df-nv 22032  df-va 22035  df-ba 22036  df-sm 22037  df-0v 22038  df-nmcv 22040  df-lno 22206
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