Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lnocoi Structured version   Unicode version

Theorem lnocoi 22263
 Description: The composition of two linear operators is linear. (Contributed by NM, 12-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnocoi.l
lnocoi.m
lnocoi.n
lnocoi.u
lnocoi.w
lnocoi.x
lnocoi.s
lnocoi.t
Assertion
Ref Expression
lnocoi

Proof of Theorem lnocoi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnocoi.w . . . 4
2 lnocoi.x . . . 4
3 lnocoi.t . . . 4
4 eqid 2438 . . . . 5
5 eqid 2438 . . . . 5
6 lnocoi.m . . . . 5
74, 5, 6lnof 22261 . . . 4
81, 2, 3, 7mp3an 1280 . . 3
9 lnocoi.u . . . 4
10 lnocoi.s . . . 4
11 eqid 2438 . . . . 5
12 lnocoi.l . . . . 5
1311, 4, 12lnof 22261 . . . 4
149, 1, 10, 13mp3an 1280 . . 3
15 fco 5603 . . 3
168, 14, 15mp2an 655 . 2
17 eqid 2438 . . . . . . . . 9
1811, 17nvscl 22112 . . . . . . . 8
199, 18mp3an1 1267 . . . . . . 7
20 eqid 2438 . . . . . . . . 9
2111, 20nvgcl 22104 . . . . . . . 8
229, 21mp3an1 1267 . . . . . . 7
2319, 22sylan 459 . . . . . 6
24233impa 1149 . . . . 5
25 fvco3 5803 . . . . 5
2614, 24, 25sylancr 646 . . . 4
27 id 21 . . . . . 6
2814ffvelrni 5872 . . . . . 6
2914ffvelrni 5872 . . . . . 6
301, 2, 33pm3.2i 1133 . . . . . . 7
31 eqid 2438 . . . . . . . 8
32 eqid 2438 . . . . . . . 8
33 eqid 2438 . . . . . . . 8
34 eqid 2438 . . . . . . . 8
354, 5, 31, 32, 33, 34, 6lnolin 22260 . . . . . . 7
3630, 35mpan 653 . . . . . 6
3727, 28, 29, 36syl3an 1227 . . . . 5
389, 1, 103pm3.2i 1133 . . . . . . 7
3911, 4, 20, 31, 17, 33, 12lnolin 22260 . . . . . . 7
4038, 39mpan 653 . . . . . 6
4140fveq2d 5735 . . . . 5
42 simp2 959 . . . . . . . 8
43 fvco3 5803 . . . . . . . 8
4414, 42, 43sylancr 646 . . . . . . 7
4544oveq2d 6100 . . . . . 6
46 simp3 960 . . . . . . 7
47 fvco3 5803 . . . . . . 7
4814, 46, 47sylancr 646 . . . . . 6
4945, 48oveq12d 6102 . . . . 5
5037, 41, 493eqtr4rd 2481 . . . 4
5126, 50eqtr4d 2473 . . 3
5251rgen3 2805 . 2
53 lnocoi.n . . . 4
5411, 5, 20, 32, 17, 34, 53islno 22259 . . 3
559, 2, 54mp2an 655 . 2
5616, 52, 55mpbir2an 888 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707   ccom 4885  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084  cc 8993  cnv 22068  cpv 22069  cba 22070  cns 22071   clno 22246 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-map 7023  df-grpo 21784  df-ablo 21875  df-vc 22030  df-nv 22076  df-va 22079  df-ba 22080  df-sm 22081  df-0v 22082  df-nmcv 22084  df-lno 22250
 Copyright terms: Public domain W3C validator