MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lnocoi Unicode version

Theorem lnocoi 21335
Description: The composition of two linear operators is linear. (Contributed by NM, 12-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnocoi.l  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
lnocoi.m  |-  M  =  ( W  LnOp  X
)
lnocoi.n  |-  N  =  ( U  LnOp  X
)
lnocoi.u  |-  U  e.  NrmCVec
lnocoi.w  |-  W  e.  NrmCVec
lnocoi.x  |-  X  e.  NrmCVec
lnocoi.s  |-  S  e.  L
lnocoi.t  |-  T  e.  M
Assertion
Ref Expression
lnocoi  |-  ( T  o.  S )  e.  N

Proof of Theorem lnocoi
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnocoi.w . . . 4  |-  W  e.  NrmCVec
2 lnocoi.x . . . 4  |-  X  e.  NrmCVec
3 lnocoi.t . . . 4  |-  T  e.  M
4 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
5 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( BaseSet `  X )  =  (
BaseSet `  X )
6 lnocoi.m . . . . 5  |-  M  =  ( W  LnOp  X
)
74, 5, 6lnof 21333 . . . 4  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  X  e.  NrmCVec  /\  T  e.  M )  ->  T : ( BaseSet `  W
) --> ( BaseSet `  X
) )
81, 2, 3, 7mp3an 1277 . . 3  |-  T :
( BaseSet `  W ) --> ( BaseSet `  X )
9 lnocoi.u . . . 4  |-  U  e.  NrmCVec
10 lnocoi.s . . . 4  |-  S  e.  L
11 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  U )
12 lnocoi.l . . . . 5  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
1311, 4, 12lnof 21333 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  S  e.  L )  ->  S : ( BaseSet `  U
) --> ( BaseSet `  W
) )
149, 1, 10, 13mp3an 1277 . . 3  |-  S :
( BaseSet `  U ) --> ( BaseSet `  W )
15 fco 5398 . . 3  |-  ( ( T : ( BaseSet `  W ) --> ( BaseSet `  X )  /\  S : ( BaseSet `  U
) --> ( BaseSet `  W
) )  ->  ( T  o.  S ) : ( BaseSet `  U
) --> ( BaseSet `  X
) )
168, 14, 15mp2an 653 . 2  |-  ( T  o.  S ) : ( BaseSet `  U ) --> ( BaseSet `  X )
17 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( .s
OLD `  U )  =  ( .s OLD `  U )
1811, 17nvscl 21184 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( x
( .s OLD `  U
) y )  e.  ( BaseSet `  U )
)
199, 18mp3an1 1264 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( x ( .s
OLD `  U )
y )  e.  (
BaseSet `  U ) )
20 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
2111, 20nvgcl 21176 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x ( .s OLD `  U ) y )  e.  ( BaseSet `  U
)  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( (
x ( .s OLD `  U ) y ) ( +v `  U
) z )  e.  ( BaseSet `  U )
)
229, 21mp3an1 1264 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x ( .s
OLD `  U )
y )  e.  (
BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( ( x ( .s OLD `  U
) y ) ( +v `  U ) z )  e.  (
BaseSet `  U ) )
2319, 22sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U ) )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( ( x ( .s OLD `  U
) y ) ( +v `  U ) z )  e.  (
BaseSet `  U ) )
24233impa 1146 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( (
x ( .s OLD `  U ) y ) ( +v `  U
) z )  e.  ( BaseSet `  U )
)
25 fvco3 5596 . . . . 5  |-  ( ( S : ( BaseSet `  U ) --> ( BaseSet `  W )  /\  (
( x ( .s
OLD `  U )
y ) ( +v
`  U ) z )  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( ( T  o.  S ) `  (
( x ( .s
OLD `  U )
y ) ( +v
`  U ) z ) )  =  ( T `  ( S `
 ( ( x ( .s OLD `  U
) y ) ( +v `  U ) z ) ) ) )
2614, 24, 25sylancr 644 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( ( T  o.  S ) `  ( ( x ( .s OLD `  U
) y ) ( +v `  U ) z ) )  =  ( T `  ( S `  ( (
x ( .s OLD `  U ) y ) ( +v `  U
) z ) ) ) )
27 id 19 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  x  e.  CC )
2814ffvelrni 5664 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( BaseSet `  U
)  ->  ( S `  y )  e.  (
BaseSet `  W ) )
2914ffvelrni 5664 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( BaseSet `  U
)  ->  ( S `  z )  e.  (
BaseSet `  W ) )
301, 2, 33pm3.2i 1130 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  NrmCVec  /\  X  e.  NrmCVec  /\  T  e.  M )
31 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( +v
`  W )  =  ( +v `  W
)
32 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( +v
`  X )  =  ( +v `  X
)
33 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( .s
OLD `  W )  =  ( .s OLD `  W )
34 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( .s
OLD `  X )  =  ( .s OLD `  X )
354, 5, 31, 32, 33, 34, 6lnolin 21332 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  NrmCVec  /\  X  e.  NrmCVec  /\  T  e.  M )  /\  (
x  e.  CC  /\  ( S `  y )  e.  ( BaseSet `  W
)  /\  ( S `  z )  e.  (
BaseSet `  W ) ) )  ->  ( T `  ( ( x ( .s OLD `  W
) ( S `  y ) ) ( +v `  W ) ( S `  z
) ) )  =  ( ( x ( .s OLD `  X
) ( T `  ( S `  y ) ) ) ( +v
`  X ) ( T `  ( S `
 z ) ) ) )
3630, 35mpan 651 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( S `  y )  e.  ( BaseSet `  W
)  /\  ( S `  z )  e.  (
BaseSet `  W ) )  ->  ( T `  ( ( x ( .s OLD `  W
) ( S `  y ) ) ( +v `  W ) ( S `  z
) ) )  =  ( ( x ( .s OLD `  X
) ( T `  ( S `  y ) ) ) ( +v
`  X ) ( T `  ( S `
 z ) ) ) )
3727, 28, 29, 36syl3an 1224 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( T `  ( ( x ( .s OLD `  W
) ( S `  y ) ) ( +v `  W ) ( S `  z
) ) )  =  ( ( x ( .s OLD `  X
) ( T `  ( S `  y ) ) ) ( +v
`  X ) ( T `  ( S `
 z ) ) ) )
389, 1, 103pm3.2i 1130 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  S  e.  L )
3911, 4, 20, 31, 17, 33, 12lnolin 21332 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  S  e.  L )  /\  (
x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  ( S `  ( (
x ( .s OLD `  U ) y ) ( +v `  U
) z ) )  =  ( ( x ( .s OLD `  W
) ( S `  y ) ) ( +v `  W ) ( S `  z
) ) )
4038, 39mpan 651 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( S `  ( ( x ( .s OLD `  U
) y ) ( +v `  U ) z ) )  =  ( ( x ( .s OLD `  W
) ( S `  y ) ) ( +v `  W ) ( S `  z
) ) )
4140fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( T `  ( S `  (
( x ( .s
OLD `  U )
y ) ( +v
`  U ) z ) ) )  =  ( T `  (
( x ( .s
OLD `  W )
( S `  y
) ) ( +v
`  W ) ( S `  z ) ) ) )
42 simp2 956 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  y  e.  ( BaseSet `  U )
)
43 fvco3 5596 . . . . . . . 8  |-  ( ( S : ( BaseSet `  U ) --> ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( ( T  o.  S ) `  y )  =  ( T `  ( S `
 y ) ) )
4414, 42, 43sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( ( T  o.  S ) `  y )  =  ( T `  ( S `
 y ) ) )
4544oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( x
( .s OLD `  X
) ( ( T  o.  S ) `  y ) )  =  ( x ( .s
OLD `  X )
( T `  ( S `  y )
) ) )
46 simp3 957 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  z  e.  ( BaseSet `  U )
)
47 fvco3 5596 . . . . . . 7  |-  ( ( S : ( BaseSet `  U ) --> ( BaseSet `  W )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( ( T  o.  S ) `  z )  =  ( T `  ( S `
 z ) ) )
4814, 46, 47sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( ( T  o.  S ) `  z )  =  ( T `  ( S `
 z ) ) )
4945, 48oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( (
x ( .s OLD `  X ) ( ( T  o.  S ) `
 y ) ) ( +v `  X
) ( ( T  o.  S ) `  z ) )  =  ( ( x ( .s OLD `  X
) ( T `  ( S `  y ) ) ) ( +v
`  X ) ( T `  ( S `
 z ) ) ) )
5037, 41, 493eqtr4rd 2326 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( (
x ( .s OLD `  X ) ( ( T  o.  S ) `
 y ) ) ( +v `  X
) ( ( T  o.  S ) `  z ) )  =  ( T `  ( S `  ( (
x ( .s OLD `  U ) y ) ( +v `  U
) z ) ) ) )
5126, 50eqtr4d 2318 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( ( T  o.  S ) `  ( ( x ( .s OLD `  U
) y ) ( +v `  U ) z ) )  =  ( ( x ( .s OLD `  X
) ( ( T  o.  S ) `  y ) ) ( +v `  X ) ( ( T  o.  S ) `  z
) ) )
5251rgen3 2640 . 2  |-  A. x  e.  CC  A. y  e.  ( BaseSet `  U ) A. z  e.  ( BaseSet
`  U ) ( ( T  o.  S
) `  ( (
x ( .s OLD `  U ) y ) ( +v `  U
) z ) )  =  ( ( x ( .s OLD `  X
) ( ( T  o.  S ) `  y ) ) ( +v `  X ) ( ( T  o.  S ) `  z
) )
53 lnocoi.n . . . 4  |-  N  =  ( U  LnOp  X
)
5411, 5, 20, 32, 17, 34, 53islno 21331 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  X  e.  NrmCVec )  ->  (
( T  o.  S
)  e.  N  <->  ( ( T  o.  S ) : ( BaseSet `  U
) --> ( BaseSet `  X
)  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ( BaseSet `  U ) A. z  e.  ( BaseSet
`  U ) ( ( T  o.  S
) `  ( (
x ( .s OLD `  U ) y ) ( +v `  U
) z ) )  =  ( ( x ( .s OLD `  X
) ( ( T  o.  S ) `  y ) ) ( +v `  X ) ( ( T  o.  S ) `  z
) ) ) ) )
559, 2, 54mp2an 653 . 2  |-  ( ( T  o.  S )  e.  N  <->  ( ( T  o.  S ) : ( BaseSet `  U
) --> ( BaseSet `  X
)  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ( BaseSet `  U ) A. z  e.  ( BaseSet
`  U ) ( ( T  o.  S
) `  ( (
x ( .s OLD `  U ) y ) ( +v `  U
) z ) )  =  ( ( x ( .s OLD `  X
) ( ( T  o.  S ) `  y ) ) ( +v `  X ) ( ( T  o.  S ) `  z
) ) ) )
5616, 52, 55mpbir2an 886 1  |-  ( T  o.  S )  e.  N
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   NrmCVeccnv 21140   +vcpv 21141   BaseSetcba 21142   .s
OLDcns 21143    LnOp clno 21318
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-map 6774  df-grpo 20858  df-ablo 20949  df-vc 21102  df-nv 21148  df-va 21151  df-ba 21152  df-sm 21153  df-0v 21154  df-nmcv 21156  df-lno 21322
  Copyright terms: Public domain W3C validator