Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lnomul Structured version   Unicode version

Theorem lnomul 22263
 Description: Scalar multiplication property of a linear operator. (Contributed by NM, 5-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnomul.1
lnomul.5
lnomul.6
lnomul.7
Assertion
Ref Expression
lnomul

Proof of Theorem lnomul
StepHypRef Expression
1 simpl 445 . . 3
2 simprl 734 . . 3
3 simprr 735 . . 3
4 simpl1 961 . . . 4
5 lnomul.1 . . . . 5
6 eqid 2438 . . . . 5
75, 6nvzcl 22117 . . . 4
84, 7syl 16 . . 3
9 eqid 2438 . . . 4
10 eqid 2438 . . . 4
11 eqid 2438 . . . 4
12 lnomul.5 . . . 4
13 lnomul.6 . . . 4
14 lnomul.7 . . . 4
155, 9, 10, 11, 12, 13, 14lnolin 22257 . . 3
161, 2, 3, 8, 15syl13anc 1187 . 2
175, 12nvscl 22109 . . . . 5
184, 2, 3, 17syl3anc 1185 . . . 4
195, 10, 6nv0rid 22118 . . . 4
204, 18, 19syl2anc 644 . . 3
2120fveq2d 5734 . 2
22 eqid 2438 . . . . . 6
235, 9, 6, 22, 14lno0 22259 . . . . 5
2423oveq2d 6099 . . . 4
2524adantr 453 . . 3
26 simpl2 962 . . . 4
275, 9, 14lnof 22258 . . . . . . 7
2827adantr 453 . . . . . 6
2928, 3ffvelrnd 5873 . . . . 5
309, 13nvscl 22109 . . . . 5
3126, 2, 29, 30syl3anc 1185 . . . 4
329, 11, 22nv0rid 22118 . . . 4
3326, 31, 32syl2anc 644 . . 3
3425, 33eqtrd 2470 . 2
3516, 21, 343eqtr3d 2478 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083  cc 8990  cnv 22065  cpv 22066  cba 22067  cns 22068  cn0v 22069   clno 22243 This theorem is referenced by:  nmlno0lem  22296  nmblolbii  22302  blocnilem  22307  ubthlem2  22375 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-ltxr 9127  df-sub 9295  df-neg 9296  df-grpo 21781  df-gid 21782  df-ginv 21783  df-ablo 21872  df-vc 22027  df-nv 22073  df-va 22076  df-ba 22077  df-sm 22078  df-0v 22079  df-nmcv 22081  df-lno 22247
 Copyright terms: Public domain W3C validator