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Theorem lnomul 22263
Description: Scalar multiplication property of a linear operator. (Contributed by NM, 5-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnomul.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
lnomul.5  |-  R  =  ( .s OLD `  U
)
lnomul.6  |-  S  =  ( .s OLD `  W
)
lnomul.7  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
Assertion
Ref Expression
lnomul  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  -> 
( T `  ( A R B ) )  =  ( A S ( T `  B
) ) )

Proof of Theorem lnomul
StepHypRef Expression
1 simpl 445 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  -> 
( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L ) )
2 simprl 734 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  ->  A  e.  CC )
3 simprr 735 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  ->  B  e.  X )
4 simpl1 961 . . . 4  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  ->  U  e.  NrmCVec )
5 lnomul.1 . . . . 5  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
6 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( 0vec `  U )  =  (
0vec `  U )
75, 6nvzcl 22117 . . . 4  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( 0vec `  U
)  e.  X )
84, 7syl 16 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  -> 
( 0vec `  U )  e.  X )
9 eqid 2438 . . . 4  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
10 eqid 2438 . . . 4  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
11 eqid 2438 . . . 4  |-  ( +v
`  W )  =  ( +v `  W
)
12 lnomul.5 . . . 4  |-  R  =  ( .s OLD `  U
)
13 lnomul.6 . . . 4  |-  S  =  ( .s OLD `  W
)
14 lnomul.7 . . . 4  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
155, 9, 10, 11, 12, 13, 14lnolin 22257 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X  /\  ( 0vec `  U )  e.  X ) )  -> 
( T `  (
( A R B ) ( +v `  U ) ( 0vec `  U ) ) )  =  ( ( A S ( T `  B ) ) ( +v `  W ) ( T `  ( 0vec `  U ) ) ) )
161, 2, 3, 8, 15syl13anc 1187 . 2  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  -> 
( T `  (
( A R B ) ( +v `  U ) ( 0vec `  U ) ) )  =  ( ( A S ( T `  B ) ) ( +v `  W ) ( T `  ( 0vec `  U ) ) ) )
175, 12nvscl 22109 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  CC  /\  B  e.  X )  ->  ( A R B )  e.  X )
184, 2, 3, 17syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  -> 
( A R B )  e.  X )
195, 10, 6nv0rid 22118 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A R B )  e.  X )  ->  (
( A R B ) ( +v `  U ) ( 0vec `  U ) )  =  ( A R B ) )
204, 18, 19syl2anc 644 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( A R B ) ( +v
`  U ) (
0vec `  U )
)  =  ( A R B ) )
2120fveq2d 5734 . 2  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  -> 
( T `  (
( A R B ) ( +v `  U ) ( 0vec `  U ) ) )  =  ( T `  ( A R B ) ) )
22 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( 0vec `  W )  =  (
0vec `  W )
235, 9, 6, 22, 14lno0 22259 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  ( T `  ( 0vec `  U ) )  =  ( 0vec `  W
) )
2423oveq2d 6099 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  (
( A S ( T `  B ) ) ( +v `  W ) ( T `
 ( 0vec `  U
) ) )  =  ( ( A S ( T `  B
) ) ( +v
`  W ) (
0vec `  W )
) )
2524adantr 453 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( A S ( T `  B
) ) ( +v
`  W ) ( T `  ( 0vec `  U ) ) )  =  ( ( A S ( T `  B ) ) ( +v `  W ) ( 0vec `  W
) ) )
26 simpl2 962 . . . 4  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  ->  W  e.  NrmCVec )
275, 9, 14lnof 22258 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  T : X --> ( BaseSet `  W
) )
2827adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  ->  T : X --> ( BaseSet `  W ) )
2928, 3ffvelrnd 5873 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  -> 
( T `  B
)  e.  ( BaseSet `  W ) )
309, 13nvscl 22109 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  A  e.  CC  /\  ( T `
 B )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( A S ( T `  B ) )  e.  ( BaseSet `  W )
)
3126, 2, 29, 30syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  -> 
( A S ( T `  B ) )  e.  ( BaseSet `  W ) )
329, 11, 22nv0rid 22118 . . . 4  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  ( A S ( T `  B ) )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( ( A S ( T `  B ) ) ( +v `  W ) ( 0vec `  W
) )  =  ( A S ( T `
 B ) ) )
3326, 31, 32syl2anc 644 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( A S ( T `  B
) ) ( +v
`  W ) (
0vec `  W )
)  =  ( A S ( T `  B ) ) )
3425, 33eqtrd 2470 . 2  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( A S ( T `  B
) ) ( +v
`  W ) ( T `  ( 0vec `  U ) ) )  =  ( A S ( T `  B
) ) )
3516, 21, 343eqtr3d 2478 1  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  -> 
( T `  ( A R B ) )  =  ( A S ( T `  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   NrmCVeccnv 22065   +vcpv 22066   BaseSetcba 22067   .s
OLDcns 22068   0veccn0v 22069    LnOp clno 22243
This theorem is referenced by:  nmlno0lem  22296  nmblolbii  22302  blocnilem  22307  ubthlem2  22375
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-ltxr 9127  df-sub 9295  df-neg 9296  df-grpo 21781  df-gid 21782  df-ginv 21783  df-ablo 21872  df-vc 22027  df-nv 22073  df-va 22076  df-ba 22077  df-sm 22078  df-0v 22079  df-nmcv 22081  df-lno 22247
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