HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopcoi Unicode version

Theorem lnopcoi 22583
Description: The composition of two linear operators is linear. (Contributed by NM, 8-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnopco.1  |-  S  e. 
LinOp
lnopco.2  |-  T  e. 
LinOp
Assertion
Ref Expression
lnopcoi  |-  ( S  o.  T )  e. 
LinOp

Proof of Theorem lnopcoi
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopco.1 . . . 4  |-  S  e. 
LinOp
21lnopfi 22549 . . 3  |-  S : ~H
--> ~H
3 lnopco.2 . . . 4  |-  T  e. 
LinOp
43lnopfi 22549 . . 3  |-  T : ~H
--> ~H
52, 4hocofi 22346 . 2  |-  ( S  o.  T ) : ~H --> ~H
63lnopli 22548 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( T `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y ) )  +h  ( T `  z
) ) )
76fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( S `  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) ) )  =  ( S `  (
( x  .h  ( T `  y )
)  +h  ( T `
 z ) ) ) )
8 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  x  e.  CC )
94ffvelrni 5664 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( T `  y )  e.  ~H )
104ffvelrni 5664 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ~H  ->  ( T `  z )  e.  ~H )
111lnopli 22548 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( T `  y )  e.  ~H  /\  ( T `  z )  e.  ~H )  ->  ( S `  ( (
x  .h  ( T `
 y ) )  +h  ( T `  z ) ) )  =  ( ( x  .h  ( S `  ( T `  y ) ) )  +h  ( S `  ( T `  z ) ) ) )
128, 9, 10, 11syl3an 1224 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( S `  ( (
x  .h  ( T `
 y ) )  +h  ( T `  z ) ) )  =  ( ( x  .h  ( S `  ( T `  y ) ) )  +h  ( S `  ( T `  z ) ) ) )
137, 12eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( S `  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) ) )  =  ( ( x  .h  ( S `  ( T `  y )
) )  +h  ( S `  ( T `  z ) ) ) )
14133expa 1151 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( S `  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) ) )  =  ( ( x  .h  ( S `
 ( T `  y ) ) )  +h  ( S `  ( T `  z ) ) ) )
15 hvmulcl 21593 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  y
)  e.  ~H )
16 hvaddcl 21592 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  .h  y
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z
)  e.  ~H )
1715, 16sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z )  e.  ~H )
182, 4hocoi 22344 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  .h  y
)  +h  z )  e.  ~H  ->  (
( S  o.  T
) `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( S `  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) ) ) )
1917, 18syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( S  o.  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) )  =  ( S `  ( T `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) ) ) )
202, 4hocoi 22344 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( S  o.  T
) `  y )  =  ( S `  ( T `  y ) ) )
2120oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
x  .h  ( ( S  o.  T ) `
 y ) )  =  ( x  .h  ( S `  ( T `  y )
) ) )
2221adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  (
( S  o.  T
) `  y )
)  =  ( x  .h  ( S `  ( T `  y ) ) ) )
232, 4hocoi 22344 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ~H  ->  (
( S  o.  T
) `  z )  =  ( S `  ( T `  z ) ) )
2422, 23oveqan12d 5877 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  ( ( S  o.  T ) `  y ) )  +h  ( ( S  o.  T ) `  z
) )  =  ( ( x  .h  ( S `  ( T `  y ) ) )  +h  ( S `  ( T `  z ) ) ) )
2514, 19, 243eqtr4d 2325 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( S  o.  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) )  =  ( ( x  .h  (
( S  o.  T
) `  y )
)  +h  ( ( S  o.  T ) `
 z ) ) )
26253impa 1146 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  (
( S  o.  T
) `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( ( S  o.  T ) `  y ) )  +h  ( ( S  o.  T ) `  z
) ) )
2726rgen3 2640 . 2  |-  A. x  e.  CC  A. y  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( ( S  o.  T ) `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( ( S  o.  T ) `
 y ) )  +h  ( ( S  o.  T ) `  z ) )
28 ellnop 22438 . 2  |-  ( ( S  o.  T )  e.  LinOp 
<->  ( ( S  o.  T ) : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  CC  A. y  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( ( S  o.  T ) `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( ( S  o.  T ) `
 y ) )  +h  ( ( S  o.  T ) `  z ) ) ) )
295, 27, 28mpbir2an 886 1  |-  ( S  o.  T )  e. 
LinOp
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   ~Hchil 21499    +h cva 21500    .h csm 21501   LinOpclo 21527
This theorem is referenced by:  lnopco0i  22584  nmopcoi  22675  bdopcoi  22678  nmopcoadj0i  22683
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-hilex 21579  ax-hfvadd 21580  ax-hfvmul 21585
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-map 6774  df-lnop 22421
  Copyright terms: Public domain W3C validator