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Theorem lnopcoi 22599
Description: The composition of two linear operators is linear. (Contributed by NM, 8-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnopco.1  |-  S  e. 
LinOp
lnopco.2  |-  T  e. 
LinOp
Assertion
Ref Expression
lnopcoi  |-  ( S  o.  T )  e. 
LinOp

Proof of Theorem lnopcoi
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopco.1 . . . 4  |-  S  e. 
LinOp
21lnopfi 22565 . . 3  |-  S : ~H
--> ~H
3 lnopco.2 . . . 4  |-  T  e. 
LinOp
43lnopfi 22565 . . 3  |-  T : ~H
--> ~H
52, 4hocofi 22362 . 2  |-  ( S  o.  T ) : ~H --> ~H
63lnopli 22564 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( T `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y ) )  +h  ( T `  z
) ) )
76fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( S `  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) ) )  =  ( S `  (
( x  .h  ( T `  y )
)  +h  ( T `
 z ) ) ) )
8 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  x  e.  CC )
94ffvelrni 5680 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( T `  y )  e.  ~H )
104ffvelrni 5680 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ~H  ->  ( T `  z )  e.  ~H )
111lnopli 22564 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( T `  y )  e.  ~H  /\  ( T `  z )  e.  ~H )  ->  ( S `  ( (
x  .h  ( T `
 y ) )  +h  ( T `  z ) ) )  =  ( ( x  .h  ( S `  ( T `  y ) ) )  +h  ( S `  ( T `  z ) ) ) )
128, 9, 10, 11syl3an 1224 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( S `  ( (
x  .h  ( T `
 y ) )  +h  ( T `  z ) ) )  =  ( ( x  .h  ( S `  ( T `  y ) ) )  +h  ( S `  ( T `  z ) ) ) )
137, 12eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( S `  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) ) )  =  ( ( x  .h  ( S `  ( T `  y )
) )  +h  ( S `  ( T `  z ) ) ) )
14133expa 1151 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( S `  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) ) )  =  ( ( x  .h  ( S `
 ( T `  y ) ) )  +h  ( S `  ( T `  z ) ) ) )
15 hvmulcl 21609 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  y
)  e.  ~H )
16 hvaddcl 21608 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  .h  y
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z
)  e.  ~H )
1715, 16sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z )  e.  ~H )
182, 4hocoi 22360 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  .h  y
)  +h  z )  e.  ~H  ->  (
( S  o.  T
) `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( S `  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) ) ) )
1917, 18syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( S  o.  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) )  =  ( S `  ( T `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) ) ) )
202, 4hocoi 22360 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( S  o.  T
) `  y )  =  ( S `  ( T `  y ) ) )
2120oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
x  .h  ( ( S  o.  T ) `
 y ) )  =  ( x  .h  ( S `  ( T `  y )
) ) )
2221adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  (
( S  o.  T
) `  y )
)  =  ( x  .h  ( S `  ( T `  y ) ) ) )
232, 4hocoi 22360 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ~H  ->  (
( S  o.  T
) `  z )  =  ( S `  ( T `  z ) ) )
2422, 23oveqan12d 5893 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  ( ( S  o.  T ) `  y ) )  +h  ( ( S  o.  T ) `  z
) )  =  ( ( x  .h  ( S `  ( T `  y ) ) )  +h  ( S `  ( T `  z ) ) ) )
2514, 19, 243eqtr4d 2338 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( S  o.  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) )  =  ( ( x  .h  (
( S  o.  T
) `  y )
)  +h  ( ( S  o.  T ) `
 z ) ) )
26253impa 1146 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  (
( S  o.  T
) `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( ( S  o.  T ) `  y ) )  +h  ( ( S  o.  T ) `  z
) ) )
2726rgen3 2653 . 2  |-  A. x  e.  CC  A. y  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( ( S  o.  T ) `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( ( S  o.  T ) `
 y ) )  +h  ( ( S  o.  T ) `  z ) )
28 ellnop 22454 . 2  |-  ( ( S  o.  T )  e.  LinOp 
<->  ( ( S  o.  T ) : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  CC  A. y  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( ( S  o.  T ) `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( ( S  o.  T ) `
 y ) )  +h  ( ( S  o.  T ) `  z ) ) ) )
295, 27, 28mpbir2an 886 1  |-  ( S  o.  T )  e. 
LinOp
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    o. ccom 4709   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   ~Hchil 21515    +h cva 21516    .h csm 21517   LinOpclo 21543
This theorem is referenced by:  lnopco0i  22600  nmopcoi  22691  bdopcoi  22694  nmopcoadj0i  22699
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-hilex 21595  ax-hfvadd 21596  ax-hfvmul 21601
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-map 6790  df-lnop 22437
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