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Theorem lnopcoi 23354
Description: The composition of two linear operators is linear. (Contributed by NM, 8-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnopco.1  |-  S  e. 
LinOp
lnopco.2  |-  T  e. 
LinOp
Assertion
Ref Expression
lnopcoi  |-  ( S  o.  T )  e. 
LinOp

Proof of Theorem lnopcoi
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopco.1 . . . 4  |-  S  e. 
LinOp
21lnopfi 23320 . . 3  |-  S : ~H
--> ~H
3 lnopco.2 . . . 4  |-  T  e. 
LinOp
43lnopfi 23320 . . 3  |-  T : ~H
--> ~H
52, 4hocofi 23117 . 2  |-  ( S  o.  T ) : ~H --> ~H
63lnopli 23319 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( T `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y ) )  +h  ( T `  z
) ) )
76fveq2d 5672 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( S `  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) ) )  =  ( S `  (
( x  .h  ( T `  y )
)  +h  ( T `
 z ) ) ) )
8 id 20 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  x  e.  CC )
94ffvelrni 5808 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( T `  y )  e.  ~H )
104ffvelrni 5808 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ~H  ->  ( T `  z )  e.  ~H )
111lnopli 23319 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( T `  y )  e.  ~H  /\  ( T `  z )  e.  ~H )  ->  ( S `  ( (
x  .h  ( T `
 y ) )  +h  ( T `  z ) ) )  =  ( ( x  .h  ( S `  ( T `  y ) ) )  +h  ( S `  ( T `  z ) ) ) )
128, 9, 10, 11syl3an 1226 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( S `  ( (
x  .h  ( T `
 y ) )  +h  ( T `  z ) ) )  =  ( ( x  .h  ( S `  ( T `  y ) ) )  +h  ( S `  ( T `  z ) ) ) )
137, 12eqtrd 2419 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( S `  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) ) )  =  ( ( x  .h  ( S `  ( T `  y )
) )  +h  ( S `  ( T `  z ) ) ) )
14133expa 1153 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( S `  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) ) )  =  ( ( x  .h  ( S `
 ( T `  y ) ) )  +h  ( S `  ( T `  z ) ) ) )
15 hvmulcl 22364 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  y
)  e.  ~H )
16 hvaddcl 22363 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  .h  y
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z
)  e.  ~H )
1715, 16sylan 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z )  e.  ~H )
182, 4hocoi 23115 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  .h  y
)  +h  z )  e.  ~H  ->  (
( S  o.  T
) `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( S `  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) ) ) )
1917, 18syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( S  o.  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) )  =  ( S `  ( T `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) ) ) )
202, 4hocoi 23115 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( S  o.  T
) `  y )  =  ( S `  ( T `  y ) ) )
2120oveq2d 6036 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
x  .h  ( ( S  o.  T ) `
 y ) )  =  ( x  .h  ( S `  ( T `  y )
) ) )
2221adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  (
( S  o.  T
) `  y )
)  =  ( x  .h  ( S `  ( T `  y ) ) ) )
232, 4hocoi 23115 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ~H  ->  (
( S  o.  T
) `  z )  =  ( S `  ( T `  z ) ) )
2422, 23oveqan12d 6039 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  ( ( S  o.  T ) `  y ) )  +h  ( ( S  o.  T ) `  z
) )  =  ( ( x  .h  ( S `  ( T `  y ) ) )  +h  ( S `  ( T `  z ) ) ) )
2514, 19, 243eqtr4d 2429 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( S  o.  T ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) )  =  ( ( x  .h  (
( S  o.  T
) `  y )
)  +h  ( ( S  o.  T ) `
 z ) ) )
26253impa 1148 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  (
( S  o.  T
) `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( ( S  o.  T ) `  y ) )  +h  ( ( S  o.  T ) `  z
) ) )
2726rgen3 2746 . 2  |-  A. x  e.  CC  A. y  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( ( S  o.  T ) `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( ( S  o.  T ) `
 y ) )  +h  ( ( S  o.  T ) `  z ) )
28 ellnop 23209 . 2  |-  ( ( S  o.  T )  e.  LinOp 
<->  ( ( S  o.  T ) : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  CC  A. y  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( ( S  o.  T ) `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( ( S  o.  T ) `
 y ) )  +h  ( ( S  o.  T ) `  z ) ) ) )
295, 27, 28mpbir2an 887 1  |-  ( S  o.  T )  e. 
LinOp
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649    o. ccom 4822   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   CCcc 8921   ~Hchil 22270    +h cva 22271    .h csm 22272   LinOpclo 22298
This theorem is referenced by:  lnopco0i  23355  nmopcoi  23446  bdopcoi  23449  nmopcoadj0i  23454
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-hilex 22350  ax-hfvadd 22351  ax-hfvmul 22356
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-map 6956  df-lnop 23192
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